2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第二章 第1-2节）培优卷
一、选择题
1．在同一平面内，有a，b，c三条直线，若a与b不平行，b与c不平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．a与c一定平行 B．a与c一定不平行
C．a与c一定垂直 D．a与c可能相交，也可能平行
【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：∵a、b、c为同一平面内的三条直线，且a与b不平行，b与c不平行，
∴a与c可能平行也可能相交.
故答案为：D.
【分析】此题只给出了同一平面内三条直线a、b、c中a与b和b与c的位置关系，故根据同一平面内两条直线的位置关系是相交或平行可得a与c的位置关系.
2．（2023七下·坪山月考）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝n°，则下列结论：①∠COE＝90°-n°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABO=n°，
∴∠ABO=∠BOD=n°，
∵OE平分∠BOC，∠BOC+∠BOD = 180°，
∴∠COE=∠BOE=(180- n)°=90°-n°，故①正确；
∵OF⊥OE，OP⊥CD，OE平分∠BOC，
∴∠BOE+∠BOF= 90°，∠EOC+∠EOP=90°
∠EOC=∠EOB，∠EOC+∠DOF= 90°
∴∠POE=∠BOF，∠BOF=∠DOF，故③正确；
∴OF平分∠BOD ，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO =∠BOD，
∴∠ABO=2∠DOF，
而题目中不能得到∠ABO=∠POB，故④错误；
综上所述，正确的有：①②③；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可得出①，根据余角的性质可得②和③，综合①②③可得出∠ABO=∠BOD=2∠DOF，无法得出④.
3．（2023七下·拱墅期末）若，，，的位置如图，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BAD=180°-∠1，∠ADC=∠2，∠BCD=180°-∠4，
又∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠3=360°，
∴180°-∠1+∠2+180°-∠4+∠3=360°，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】由邻补角及对顶角可得∠BAD=180°-∠1，∠ADC=∠2，∠BCD=180°-∠4，利用四边形内角和可得∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠3=360°，据此即可求解.
4．（2023七下·坪山月考）若一个角的补角是这个角余角的4倍，则这个角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x°，
则180-x=4（90-x），
解得x=60°，
答：这个角为60°.
故答案为：C.
【分析】设这个角为x°，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
5．（2020七下·惠农期末）如图，直线 ，则 为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°-130°=50°，
又∵∠α与（70°+∠1）的角是对顶角，
∴∠α=70°+50°=120°.
故答案为：D.
【分析】对图形进行角标注，由平行线的性质可得：130°+∠1=180°，求解可得∠1的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
6．（2023七下·包河期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A：，
则，A正确，不符合题意；
B：，
，B正确，不符合题意；
C：，
，则，C错误，符合题意；
D：，
故答案为：C
【分析】根据余角性质，三角形内角和定理及直线平行的判定定理即可求出答案。
7．如图，与∠α构成同位角的角的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【解答】解： ∠α与∠FAE是直线AE与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠FAC是直线AC与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠ACD是直线BF与AC被直线BD所截的一对同位角，
综上∠α的同位角有3个.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
8．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
9．（2023七下·云南期末）如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】 ①，不能说明AD∥BC，不合题意；
②，内错角相等，可证明AD∥BC，符合题意；
③，内错角相等，可证明AB∥DC，但不是AD∥BC，不合题意；
④，同旁内角互补，可证明AD∥BC，符合题意，
综上，符合的条件是②④
故答案为C
【分析】本题考查平行线的判定，灵活选用判定方法是关键。
10．（2023七下·延庆期末）如图，下列条件中能判断的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠E，
∴BC//EF（同位角相等，两直线平行），
∴条件①正确；
②∵∠2=∠E，
∴BC//EF（内错角相等，两直线平行），
∴条件②正确；
③∵∠B=∠1，
∴AB//DE（同位角相等，两直线平行），
∴条件③错误；
④∵，
∴BC//EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴条件④正确；
综上所述：①②④能判断；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法，对每个条件一一判断即可。
二、填空题
11．如图，若∠B=65°，∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C，则AB与CD的位置关系是 .
【答案】平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C（已知），
∴∠DFE=65°（角的和差），
∵ ∠B=65°（已知），
∴∠DFE=∠B=65°（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：平行.
【分析】由已知易得∠DFE=∠B=65°，从而根据同位角相等，两直线平行，可进行判断.
12．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有 (填序号)
【答案】①③
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α与∠β是同一个角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α与∠β一定相等的图形有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据对顶角的性质可判断①；由三角尺的性质、角的和差和为90°的两个角互为余角可判断②；根据同角的余角相等可判断③；根据三角尺的性质及和为180°的两个角互为补角可判断④.
13．（2023七下·牡丹江期末）如图，在三角形中，点分别在上，连接，则下列条件；①；②；③；④；⑤．不能判定的有 （填序号）．
【答案】②④⑤
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ① ，根据内错角相等两直线平行，推出，不符合题意；
② ，根据内错角相等两直线平行，推出，符合题意；
③ ，根据同位角相等两直线平行，推出，不符合题意；
④ ，根据同位角相等两直线平行，推出，符合题意；
⑤ ，根据同旁内角互补两直线平行，推出，符合题意.
故答案为：②④⑤.
【分析】根据内错角相等两直线平行，可判断①②；根据同位角相等两直线平行可判断③④；根据同旁内角互补两直线平行可判断⑤.
14．（2023七下·綦江期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与相交于点G，若， ．
【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1与∠EGC是邻补角，∠1=40°，
∴∠EGC＝180°-∠1＝40°，
∵四边形ABCD是长方形纸片，
∴∠D＝∠C＝90°．
∵折叠后点D、C分别落在点D′、C′位置，
∴∠D′＝∠C′＝90°，
∴EG∥FC′，
∴∠GFC′＝∠EGC＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用邻补角的定义先求出∠EGC的度数，再利用平行线的判定和性质计算求解即可。
15．（2022七下·石景山期末）如图，在直线外取一点C，经过点C作的平行线，这种画法的依据是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由图形痕迹可得∠BDE=∠CEF，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与AB平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】先求出∠BDE=∠CEF，再根据平行线的判定方法证明即可。
16．纸带沿AB折叠的三种方法如图所示，有以下结论：①如图1，展开后测得∠1=∠2；②如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4；③如图3，测得∠1=∠2.其中能判定纸带两条边a，b互相平行的是 .(填序号).
【答案】①②
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
②∵∠1=∠2且∠3=∠4，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
③∵∠1与∠2既不是内错角也不是同位角，
∴∠1=∠2 不能判定a与b平行.
故答案为：①②.
【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，分析即可.
三、解答题
17．如图，∠ABC=∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，请说明BP∥EF．
【答案】解：∵BP平分∠ABC（已知），
∴∠PBC=∠ABC（角平分线定义），
∵EF平分∠DEC（已知），
∴∠FEC=∠DEC（角平分线定义），
∵ ∠ABC=∠DEC（已知），
∴∠PBC=∠FEC（等量代换），
∴BP∥EF（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线定义可得∠PBC=∠ABC，∠FEC=∠DEC，再结合∠ABC=∠DEC可得∠PBC=∠FEC，最后根据同旁内角互补，两直线平行，得出结论.
18．如图，已知BE、EC分别平分∠ABC、∠BCD，且∠1与∠2互余，试说明AB∥DC．
【答案】证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵ BE、EC分别平分∠ABC、∠BCD ，
∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，
∴∠ABC+∠BCD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】由互余定义得∠1+∠2=90°，由角平分线定义得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则可推出∠ABC+∠BCD=180°，进而根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AB∥CD.
19．（2023八上·天津市月考）如图，在四边形中，，平分，平分．
求证：．
【答案】解：证明：，，
平分，平分，
，，
又，，．
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再根据角平分线求出 ，， 最后根据平行线的判定方法证明求解即可。
20．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．
【答案】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2=∠CDM，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠AMN，
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠AMN，
∴AB∥MN．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2=∠CDM，而∠1=∠2，则∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C=∠AMN，又∠3=∠C，于是∠3=∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．
21．（2023七下·南宁期末）如图，，，点，，在同一直线上．
（1）等于多少度？
（2）若，与平行吗？证明你的结论．
【答案】（1），
，
又，，
，
故等于度．
（2），
由（1）得：，
，
与平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1） 由垂线的定义可得∠BAC=90°，结合已知可得：∠BAD+∠B=∠BAC+∠CAD+∠B=180°；
（2）结合（1）的结论和已知条件可得∠BAD+∠D=180°，根据同旁内角互补两直线平行可求解.
22．（2023七下·禅城期中）将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起如图，其中，，．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
．
（2）解：理由如下：
，
，
；
（3）解：当或时，．
如图，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，此时；
如图，根据内错角相等，两直线平行，
时，．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）由角的和差关系可得∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，然后根据∠ACE=∠ECD-∠DCA进行计算；
（2）由角的和差关系可得∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，然后将两式相加即可；
（3）当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，求解可得∠BCD的度数；当∠B=∠BCD时，CD∥AB，据此求解.
23．（2022七下·深圳期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论．
【答案】（1）解：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，PO∥AB，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A＝20°，
∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，
∵∠APC＝70°，
∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；
（2）解：∠A+∠C＝∠APC，理由如下：
过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，PO∥AB，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C．
【知识点】内错角
【解析】【分析】（1）作出平行线，根据平行线的性质就可以求∠C
（2）做一条平行线，根据内错角就可以表示出三个角的数量关系
24．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
1 / 12024年北师大版数学七年级下册周测卷（第二章 第1-2节）培优卷
一、选择题
1．在同一平面内，有a，b，c三条直线，若a与b不平行，b与c不平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．a与c一定平行 B．a与c一定不平行
C．a与c一定垂直 D．a与c可能相交，也可能平行
2．（2023七下·坪山月考）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝n°，则下列结论：①∠COE＝90°-n°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．（2023七下·拱墅期末）若，，，的位置如图，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·坪山月考）若一个角的补角是这个角余角的4倍，则这个角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2020七下·惠农期末）如图，直线 ，则 为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
6．（2023七下·包河期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，与∠α构成同位角的角的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023七下·云南期末）如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③④
10．（2023七下·延庆期末）如图，下列条件中能判断的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
11．如图，若∠B=65°，∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C，则AB与CD的位置关系是 .
12．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有 (填序号)
13．（2023七下·牡丹江期末）如图，在三角形中，点分别在上，连接，则下列条件；①；②；③；④；⑤．不能判定的有 （填序号）．
14．（2023七下·綦江期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与相交于点G，若， ．
15．（2022七下·石景山期末）如图，在直线外取一点C，经过点C作的平行线，这种画法的依据是 ．
16．纸带沿AB折叠的三种方法如图所示，有以下结论：①如图1，展开后测得∠1=∠2；②如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4；③如图3，测得∠1=∠2.其中能判定纸带两条边a，b互相平行的是 .(填序号).
三、解答题
17．如图，∠ABC=∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，请说明BP∥EF．
18．如图，已知BE、EC分别平分∠ABC、∠BCD，且∠1与∠2互余，试说明AB∥DC．
19．（2023八上·天津市月考）如图，在四边形中，，平分，平分．
求证：．
20．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．
21．（2023七下·南宁期末）如图，，，点，，在同一直线上．
（1）等于多少度？
（2）若，与平行吗？证明你的结论．
22．（2023七下·禅城期中）将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起如图，其中，，．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．
23．（2022七下·深圳期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论．
24．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：∵a、b、c为同一平面内的三条直线，且a与b不平行，b与c不平行，
∴a与c可能平行也可能相交.
故答案为：D.
【分析】此题只给出了同一平面内三条直线a、b、c中a与b和b与c的位置关系，故根据同一平面内两条直线的位置关系是相交或平行可得a与c的位置关系.
2．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABO=n°，
∴∠ABO=∠BOD=n°，
∵OE平分∠BOC，∠BOC+∠BOD = 180°，
∴∠COE=∠BOE=(180- n)°=90°-n°，故①正确；
∵OF⊥OE，OP⊥CD，OE平分∠BOC，
∴∠BOE+∠BOF= 90°，∠EOC+∠EOP=90°
∠EOC=∠EOB，∠EOC+∠DOF= 90°
∴∠POE=∠BOF，∠BOF=∠DOF，故③正确；
∴OF平分∠BOD ，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO =∠BOD，
∴∠ABO=2∠DOF，
而题目中不能得到∠ABO=∠POB，故④错误；
综上所述，正确的有：①②③；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可得出①，根据余角的性质可得②和③，综合①②③可得出∠ABO=∠BOD=2∠DOF，无法得出④.
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BAD=180°-∠1，∠ADC=∠2，∠BCD=180°-∠4，
又∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠3=360°，
∴180°-∠1+∠2+180°-∠4+∠3=360°，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】由邻补角及对顶角可得∠BAD=180°-∠1，∠ADC=∠2，∠BCD=180°-∠4，利用四边形内角和可得∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠3=360°，据此即可求解.
4．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x°，
则180-x=4（90-x），
解得x=60°，
答：这个角为60°.
故答案为：C.
【分析】设这个角为x°，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°-130°=50°，
又∵∠α与（70°+∠1）的角是对顶角，
∴∠α=70°+50°=120°.
故答案为：D.
【分析】对图形进行角标注，由平行线的性质可得：130°+∠1=180°，求解可得∠1的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
6．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：A：，
则，A正确，不符合题意；
B：，
，B正确，不符合题意；
C：，
，则，C错误，符合题意；
D：，
故答案为：C
【分析】根据余角性质，三角形内角和定理及直线平行的判定定理即可求出答案。
7．【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【解答】解： ∠α与∠FAE是直线AE与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠FAC是直线AC与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠ACD是直线BF与AC被直线BD所截的一对同位角，
综上∠α的同位角有3个.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】 ①，不能说明AD∥BC，不合题意；
②，内错角相等，可证明AD∥BC，符合题意；
③，内错角相等，可证明AB∥DC，但不是AD∥BC，不合题意；
④，同旁内角互补，可证明AD∥BC，符合题意，
综上，符合的条件是②④
故答案为C
【分析】本题考查平行线的判定，灵活选用判定方法是关键。
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠E，
∴BC//EF（同位角相等，两直线平行），
∴条件①正确；
②∵∠2=∠E，
∴BC//EF（内错角相等，两直线平行），
∴条件②正确；
③∵∠B=∠1，
∴AB//DE（同位角相等，两直线平行），
∴条件③错误；
④∵，
∴BC//EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴条件④正确；
综上所述：①②④能判断；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法，对每个条件一一判断即可。
11．【答案】平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠C=15°，∠E=50°，∠DFE=∠E+∠C（已知），
∴∠DFE=65°（角的和差），
∵ ∠B=65°（已知），
∴∠DFE=∠B=65°（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：平行.
【分析】由已知易得∠DFE=∠B=65°，从而根据同位角相等，两直线平行，可进行判断.
12．【答案】①③
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α与∠β是同一个角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α与∠β一定相等的图形有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据对顶角的性质可判断①；由三角尺的性质、角的和差和为90°的两个角互为余角可判断②；根据同角的余角相等可判断③；根据三角尺的性质及和为180°的两个角互为补角可判断④.
13．【答案】②④⑤
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ① ，根据内错角相等两直线平行，推出，不符合题意；
② ，根据内错角相等两直线平行，推出，符合题意；
③ ，根据同位角相等两直线平行，推出，不符合题意；
④ ，根据同位角相等两直线平行，推出，符合题意；
⑤ ，根据同旁内角互补两直线平行，推出，符合题意.
故答案为：②④⑤.
【分析】根据内错角相等两直线平行，可判断①②；根据同位角相等两直线平行可判断③④；根据同旁内角互补两直线平行可判断⑤.
14．【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1与∠EGC是邻补角，∠1=40°，
∴∠EGC＝180°-∠1＝40°，
∵四边形ABCD是长方形纸片，
∴∠D＝∠C＝90°．
∵折叠后点D、C分别落在点D′、C′位置，
∴∠D′＝∠C′＝90°，
∴EG∥FC′，
∴∠GFC′＝∠EGC＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用邻补角的定义先求出∠EGC的度数，再利用平行线的判定和性质计算求解即可。
15．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由图形痕迹可得∠BDE=∠CEF，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与AB平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】先求出∠BDE=∠CEF，再根据平行线的判定方法证明即可。
16．【答案】①②
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
②∵∠1=∠2且∠3=∠4，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
③∵∠1与∠2既不是内错角也不是同位角，
∴∠1=∠2 不能判定a与b平行.
故答案为：①②.
【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，分析即可.
17．【答案】解：∵BP平分∠ABC（已知），
∴∠PBC=∠ABC（角平分线定义），
∵EF平分∠DEC（已知），
∴∠FEC=∠DEC（角平分线定义），
∵ ∠ABC=∠DEC（已知），
∴∠PBC=∠FEC（等量代换），
∴BP∥EF（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线定义可得∠PBC=∠ABC，∠FEC=∠DEC，再结合∠ABC=∠DEC可得∠PBC=∠FEC，最后根据同旁内角互补，两直线平行，得出结论.
18．【答案】证明：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵ BE、EC分别平分∠ABC、∠BCD ，
∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，
∴∠ABC+∠BCD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】由互余定义得∠1+∠2=90°，由角平分线定义得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则可推出∠ABC+∠BCD=180°，进而根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AB∥CD.
19．【答案】解：证明：，，
平分，平分，
，，
又，，．
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再根据角平分线求出 ，， 最后根据平行线的判定方法证明求解即可。
20．【答案】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2=∠CDM，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠AMN，
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠AMN，
∴AB∥MN．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2=∠CDM，而∠1=∠2，则∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C=∠AMN，又∠3=∠C，于是∠3=∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．
21．【答案】（1），
，
又，，
，
故等于度．
（2），
由（1）得：，
，
与平行．（同旁内角互补，两直线平行）
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1） 由垂线的定义可得∠BAC=90°，结合已知可得：∠BAD+∠B=∠BAC+∠CAD+∠B=180°；
（2）结合（1）的结论和已知条件可得∠BAD+∠D=180°，根据同旁内角互补两直线平行可求解.
22．【答案】（1）解：，，
，
．
（2）解：理由如下：
，
，
；
（3）解：当或时，．
如图，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，此时；
如图，根据内错角相等，两直线平行，
时，．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）由角的和差关系可得∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，然后根据∠ACE=∠ECD-∠DCA进行计算；
（2）由角的和差关系可得∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，然后将两式相加即可；
（3）当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，求解可得∠BCD的度数；当∠B=∠BCD时，CD∥AB，据此求解.
23．【答案】（1）解：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，PO∥AB，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A＝20°，
∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，
∵∠APC＝70°，
∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；
（2）解：∠A+∠C＝∠APC，理由如下：
过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，PO∥AB，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C．
【知识点】内错角
【解析】【分析】（1）作出平行线，根据平行线的性质就可以求∠C
（2）做一条平行线，根据内错角就可以表示出三个角的数量关系
24．【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
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