2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第四章 第1-3节）培优卷
一、选择题
1．（2021七下·桥西期末）一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取（ ）
A．10 B．70 C．130 D．40
2．（2019七下·荔湾期末）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
3．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的中线、高、角平分线都是线段
B．任意三角形内角和都是180°
C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D．直角三角形两锐角互余
4．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2017七下·滦县期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，若∠BFC=116°，则∠A=（ ）
A．51° B．52° C．53° D．58°
6．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等
D．所有等边三角形是全等三角形
7．（2023七下·巴州期末）如图，强强想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为米的大楼，大楼与旗杆相距米（米），在大楼前米的点P处，测得，且，，则旗杆的高为（ ）
A．8米 B．米 C．米 D．米
8．（2023七下·瑞金期末）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023七下·佛山期末）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
11．（2023八上·章贡期中）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则 度.
12．（2016八上·大同期中）已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 ．
13．（2023八上·六安期中）如图，为的中线，，，若的周长28cm，则的周长为 .
14．（2023八上·遵义月考）已知≌，且的周长为，若，， ．
15．（2023八上·南明期中）如图所示，△ABD≌△EBC，则下列结论：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③
∠EAD=∠ECD.其中正确的有 (只填序号).
16．（2024八上·宽城期末）如图，点在同一直线上，，添加条件： ，则可用证明．
三、解答题
17．（2023八上·大冶期中）如图，在中，于点D，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的度数（用含、的式子来表示）．
18．（2023八上·八公山月考）如图，三点在同一条直线上，且.
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数.
19．（2017八上·宁河月考）如图，如图，点P在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4.
（1）求证： △BDP≌△BCP；
（2）求证：AD=AC．
20．（2023·营口）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2023八上·怀远期中）如图，BE平分△ABC的内角∠ABC，CE平分△ABC 的外角.，BE，CE 相交于点 E.
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠E 的度数；
（2）若∠ABC+∠ACB=100°，求∠E的度数.
22．（2023八上·六安期中）如图，在中，点D为的平分线BD上一点，连接AD，过点D作交AB于点E，交AC于点F.
（1）如图1，若于点D，，求的度数；
（2）如图2，若，，求的度数（用含和的代数式表示）.
23．（2023八上·龙马潭月考）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．问：
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ （用含x或t的代数式表示）；
（2）当运动时间t为何值时，△ACP与△BPQ全等．
24．（2023八上·铜官期中）在中，平分，．
图1 图2 图3
（1）如图1，若于点，，，则 ；
（2）如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是 ；
（3）如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即 ；而小于两边之和，即 ．
下列答案中，只有70符合条件．
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系求解即可。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故答案为：B.
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得∠ABD=60°，即而求解。
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项正确；
B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项正确；
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；
D、直角三角形两锐角互余，故本选项正确；
故选C．
【分析】根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为E，
纵观各图形，ABD都不符合高线的定义，
C符合高线的定义．
故选C．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知：∠FBC+∠FCB=180°﹣∠A=64°，
∵在△ABC中，∠B、∠C的平分线是BE，CD，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠FBC+∠FCB）=128°，
∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=52°
故答案为：B
【分析】由三角形内角和定理得到∠FBC+∠FCB=180°﹣∠A=64°，在△ABC中，∠B、∠C的平分线是BE，CD，得到ABC+∠ACB=2（∠FBC+∠FCB）=128°，得到∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=52°.
6．【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；
B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；
C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，则C正确．
D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．
故选C．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．做题时严格按定义逐个验证．全等形的面积和周长相等．
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由题意可得，
CD=18m，BD=28m，PD=10m，
∴BP=BD-PD=18m，
∴BP=DC，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠PDC=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°，
∵∠APC=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠PAB=∠CPD，
在△PBA和△CDP中，
∴△PBA≌△CDP（AAS），
∴AB=PD=10m，
故答案为：B．
【分析】 根据题意计算可得BP=18m，所以BP=DC，根据AB⊥BD，CD⊥BD得∠ABP=∠PDC=90°，则∠PAB+∠APB=90°，根据∠APC=90°得∠APB+∠CPD=90°，所以∠PAB=∠CPD，利用（AAS）可证明△PBA≌△CDP，即可得出AB=10.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】 解：当 时， 与 全等，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点P在线段 上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间是1s，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴运动时间为 ，
∴ ，
故选D．
【分析】分类讨论：①当 时， 与 全等，②当 时， ，再分别列出全等三角形的性质及“速度=路程÷时间”求解即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°，故此选项正确，
故选：D．
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM，如下图：
∴
∵是边上的中线，
∴
在和中
∴
∴
∵
即：
∴
∴
故答案为：C.
【分析】延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM，利用"SAS"证明，得到再根据三角形三边关系定理即可求出AM的取值范围，最后根据线段间的数量关系，即可求出AD的取值范围.
11．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图
∴
故答案为：75
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.
12．【答案】2（b﹣c）
【知识点】相反数及有理数的相反数；整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2（b﹣c）；
故答案为：2（b﹣c）
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
13．【答案】31cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵若的周长为28cm，
∴AD+DC+AC=28，
∵AC=10cm，
∴AD+DC=18cm，
∵为的中线 ，
∴BD=DC，
∴的周长为 ：AB+BD+AD=AB+AD+DC=13+18=31(cm).
故答案为：31cm.
【分析】首先根据的周长，可求得AD+DC=18cm，再根据中线的定义得出BD=DC，从而得出的周长。
14．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵≌，且的周长为
∴△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∵，，
∴3
故答案为：3．
【分析】根据全等三角形的周长相等可得AB+BC+AC=12，即可求解．
15．【答案】①②③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：延长AD交CE于点F，延长CD交AE于点G，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠DAB=∠CEB，∠ABD=∠EBC，AB=BE，BD=BC，
∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴EB⊥AC；
∴∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠DAB+∠BCE=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AD⊥CE②；
∴①CD⊥AE；
∵AB=BE，BD=BC，EB⊥AC，
∴是等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠BCD=45°，
∴∠EAD=45°-∠DAB，∠ECD=90°-∠BCD-∠CEB=90°-45°-∠CEB=45°-∠CEB，
∴∠EAD=∠ECD③。
综上，正确的有①②③。
故答案为：①②③。
【分析】延长AD交CE于点F，延长CD交AE于点G，根据△ABD≌△EBC，可得出∠DAB=∠CEB，∠ABD=∠EBC，AB=BE，BD=BC，进而得出EB⊥AC，AD⊥CE②；再根据三角形的三条高相交于一点，得出AD⊥CE②；再根据等腰直角三角形的性质，得出∠EAB=∠BCD=45°，进而通过计算得出∠EAD=45°-∠DAB，∠ECD=45°-∠CEB，从而得出∠EAD=∠ECD③。即可得出答案为①②③。
16．【答案】∠B=∠D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： 添加条件：∠B=∠D.
理由：∵AB∥CE
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(ASA).
故答案为：∠B=∠D.
【分析】由AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上条件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理证明三角形全等.
17．【答案】（1）解：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵平分， ，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理得∠BAC=80°，再根据角平分线的定义得∠CAE=40°，再根据直角三角形两锐角互余得∠CAD=30°，进而由∠DAE=∠CAE-∠CAD可求解；
（2）根据三角形的内角和定理得∠BAC=180°- α-β，再根据角平分线的定义得∠CAE=，再根据直角三角形两锐角互余得∠CAD=90°-α，进而由∠DAE=∠CAE-∠CAD求解.
18．【答案】（1）解： ，
，，
（2）解：，
，，
，，
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）由三角形全等得出AD=CE=3，AE=BD=5，进而求出AD的值；
（2）由BD∥CE，可得内错角∠BDE与∠DEC相等，再由三角形全等得到∠ADB=∠CEA，再通过转化得出∠ADB=∠BDE，因此可知∠ADB=∠BDE=90°，再由全等转化即可求出∠BAC=90°。
19．【答案】（1）证明：
在 和 中
（2）证明：
在 和 中
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等角的补角相等证得∠DPB=∠CPB，再结合公共边即可由角边角证得△BDP≌△BCP；（2）由（1）中△BDP≌△BCP可得DP=CP，从而可由边角边证得△ADP≌△ACP，又全等三角形的对应边相等，故AD=AC.
20．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD=AC=2，然后根据CD=AB-AC-BD进行计算.
21．【答案】（1）解：∵BE 平分
∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-80°=100°，
∵CE 平分.
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°.
（2）解：∵∠ABC+∠ACB=100°，∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD-∠ABC=80°，
∵BE 平分
∵CE 平分
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质，结合角平分线的定义求解。由角平分线的定义可得、，再根据平角的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差解答；
（2）根据三角形外角的性质，结合角平分线的定义求解。先说明，再根据角平分线的定义可得、，最后根据角的和差解答．
22．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，∠AEF=60°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，
又∵∠BDA=90°，
∴∠EDA=60°，
∴∠BAD=60°；
（2）如图2，过点A作AG∥BC，
则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，
则∠FAD+∠C=β-∠DBC=β-∠ABC=β-α．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，据此即可求解．
23．【答案】（1）tcm；（8-t）cm；txcm
（2）解：当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP，
∴8-t＝6，
∴t＝2；
当△ACP≌△BQP时，AP＝BP，
∴t＝4，
∴t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
【知识点】列式表示数量关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
∴AP=tcm；
∵AB=8cm，
∴BP=(8-t)cm；
∵点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，
∴BQ=txcm.
故第1空答案为：tcm；故第2空答案为： （8-t）cm ；故第3空答案为： txcm 。
【分析】（1）首先根据运动的速度和时间得出AP=tcm；BQ=txcm；再根据AB=8cm，即可得出BP=（8-t）cm ；
（2） △ACP与△BPQ全等 ，可分为两种情况：①当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP， 可得 8-t＝6， 可得 t＝2；当△ACP≌△BQP时，AP＝BP， 可得t=4，即可得出 t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：
所作图形如图所示
证明：过点作的垂线交于点，平分，，
，，，，
又，，
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）∵∠C=60°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=10°，
故答案为：10°；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠BAE=90°-∠B-∠C，
∴∠PEG=∠B+∠BAE=90°+∠B-∠C，
∵PG⊥BC，
∴∠PGE=90°，
∴∠EPG=90°-∠PEG=（∠C-∠B），
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义求出∠CAE=∠BAC=40°，再利用角的运算求出∠CAD的度数，最后利用角的运算求出∠DAE的度数即可；
（2）利用角平分线的定义可得∠BAE=∠BAC，再结合∠BAC=180°-∠B-∠C，求出∠PEG=∠B+∠BAE=90°+∠B-∠C，再利用角的运算和等量代换可得∠EPG=90°-∠PEG=（∠C-∠B）；
（3）过点作的垂线交于点，先利用角的运算求出，再利用PG//AF，可得，从而得解.
1 / 12024年北师大版数学七年级下册周测卷（第四章 第1-3节）培优卷
一、选择题
1．（2021七下·桥西期末）一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取（ ）
A．10 B．70 C．130 D．40
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即 ；而小于两边之和，即 ．
下列答案中，只有70符合条件．
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系求解即可。
2．（2019七下·荔湾期末）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故答案为：B.
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得∠ABD=60°，即而求解。
3．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的中线、高、角平分线都是线段
B．任意三角形内角和都是180°
C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D．直角三角形两锐角互余
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项正确；
B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项正确；
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；
D、直角三角形两锐角互余，故本选项正确；
故选C．
【分析】根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．
4．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为E，
纵观各图形，ABD都不符合高线的定义，
C符合高线的定义．
故选C．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
5．（2017七下·滦县期末）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，若∠BFC=116°，则∠A=（ ）
A．51° B．52° C．53° D．58°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知：∠FBC+∠FCB=180°﹣∠A=64°，
∵在△ABC中，∠B、∠C的平分线是BE，CD，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠FBC+∠FCB）=128°，
∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=52°
故答案为：B
【分析】由三角形内角和定理得到∠FBC+∠FCB=180°﹣∠A=64°，在△ABC中，∠B、∠C的平分线是BE，CD，得到ABC+∠ACB=2（∠FBC+∠FCB）=128°，得到∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=52°.
6．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积相等
D．所有等边三角形是全等三角形
【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；
B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；
C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，则C正确．
D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．
故选C．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．做题时严格按定义逐个验证．全等形的面积和周长相等．
7．（2023七下·巴州期末）如图，强强想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为米的大楼，大楼与旗杆相距米（米），在大楼前米的点P处，测得，且，，则旗杆的高为（ ）
A．8米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由题意可得，
CD=18m，BD=28m，PD=10m，
∴BP=BD-PD=18m，
∴BP=DC，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠PDC=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°，
∵∠APC=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠PAB=∠CPD，
在△PBA和△CDP中，
∴△PBA≌△CDP（AAS），
∴AB=PD=10m，
故答案为：B．
【分析】 根据题意计算可得BP=18m，所以BP=DC，根据AB⊥BD，CD⊥BD得∠ABP=∠PDC=90°，则∠PAB+∠APB=90°，根据∠APC=90°得∠APB+∠CPD=90°，所以∠PAB=∠CPD，利用（AAS）可证明△PBA≌△CDP，即可得出AB=10.
8．（2023七下·瑞金期末）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】 解：当 时， 与 全等，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点P在线段 上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间是1s，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴运动时间为 ，
∴ ，
故选D．
【分析】分类讨论：①当 时， 与 全等，②当 时， ，再分别列出全等三角形的性质及“速度=路程÷时间”求解即可.
9．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°，故此选项正确，
故选：D．
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
10．（2023七下·佛山期末）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM，如下图：
∴
∵是边上的中线，
∴
在和中
∴
∴
∵
即：
∴
∴
故答案为：C.
【分析】延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM，利用"SAS"证明，得到再根据三角形三边关系定理即可求出AM的取值范围，最后根据线段间的数量关系，即可求出AD的取值范围.
二、填空题
11．（2023八上·章贡期中）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则 度.
【答案】75
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图
∴
故答案为：75
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.
12．（2016八上·大同期中）已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 ．
【答案】2（b﹣c）
【知识点】相反数及有理数的相反数；整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2（b﹣c）；
故答案为：2（b﹣c）
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
13．（2023八上·六安期中）如图，为的中线，，，若的周长28cm，则的周长为 .
【答案】31cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵若的周长为28cm，
∴AD+DC+AC=28，
∵AC=10cm，
∴AD+DC=18cm，
∵为的中线 ，
∴BD=DC，
∴的周长为 ：AB+BD+AD=AB+AD+DC=13+18=31(cm).
故答案为：31cm.
【分析】首先根据的周长，可求得AD+DC=18cm，再根据中线的定义得出BD=DC，从而得出的周长。
14．（2023八上·遵义月考）已知≌，且的周长为，若，， ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵≌，且的周长为
∴△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∵，，
∴3
故答案为：3．
【分析】根据全等三角形的周长相等可得AB+BC+AC=12，即可求解．
15．（2023八上·南明期中）如图所示，△ABD≌△EBC，则下列结论：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③
∠EAD=∠ECD.其中正确的有 (只填序号).
【答案】①②③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：延长AD交CE于点F，延长CD交AE于点G，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠DAB=∠CEB，∠ABD=∠EBC，AB=BE，BD=BC，
∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴EB⊥AC；
∴∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠DAB+∠BCE=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AD⊥CE②；
∴①CD⊥AE；
∵AB=BE，BD=BC，EB⊥AC，
∴是等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠BCD=45°，
∴∠EAD=45°-∠DAB，∠ECD=90°-∠BCD-∠CEB=90°-45°-∠CEB=45°-∠CEB，
∴∠EAD=∠ECD③。
综上，正确的有①②③。
故答案为：①②③。
【分析】延长AD交CE于点F，延长CD交AE于点G，根据△ABD≌△EBC，可得出∠DAB=∠CEB，∠ABD=∠EBC，AB=BE，BD=BC，进而得出EB⊥AC，AD⊥CE②；再根据三角形的三条高相交于一点，得出AD⊥CE②；再根据等腰直角三角形的性质，得出∠EAB=∠BCD=45°，进而通过计算得出∠EAD=45°-∠DAB，∠ECD=45°-∠CEB，从而得出∠EAD=∠ECD③。即可得出答案为①②③。
16．（2024八上·宽城期末）如图，点在同一直线上，，添加条件： ，则可用证明．
【答案】∠B=∠D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： 添加条件：∠B=∠D.
理由：∵AB∥CE
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(ASA).
故答案为：∠B=∠D.
【分析】由AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上条件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理证明三角形全等.
三、解答题
17．（2023八上·大冶期中）如图，在中，于点D，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的度数（用含、的式子来表示）．
【答案】（1）解：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵平分， ，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理得∠BAC=80°，再根据角平分线的定义得∠CAE=40°，再根据直角三角形两锐角互余得∠CAD=30°，进而由∠DAE=∠CAE-∠CAD可求解；
（2）根据三角形的内角和定理得∠BAC=180°- α-β，再根据角平分线的定义得∠CAE=，再根据直角三角形两锐角互余得∠CAD=90°-α，进而由∠DAE=∠CAE-∠CAD求解.
18．（2023八上·八公山月考）如图，三点在同一条直线上，且.
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解： ，
，，
（2）解：，
，，
，，
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）由三角形全等得出AD=CE=3，AE=BD=5，进而求出AD的值；
（2）由BD∥CE，可得内错角∠BDE与∠DEC相等，再由三角形全等得到∠ADB=∠CEA，再通过转化得出∠ADB=∠BDE，因此可知∠ADB=∠BDE=90°，再由全等转化即可求出∠BAC=90°。
19．（2017八上·宁河月考）如图，如图，点P在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4.
（1）求证： △BDP≌△BCP；
（2）求证：AD=AC．
【答案】（1）证明：
在 和 中
（2）证明：
在 和 中
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等角的补角相等证得∠DPB=∠CPB，再结合公共边即可由角边角证得△BDP≌△BCP；（2）由（1）中△BDP≌△BCP可得DP=CP，从而可由边角边证得△ADP≌△ACP，又全等三角形的对应边相等，故AD=AC.
20．（2023·营口）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD=AC=2，然后根据CD=AB-AC-BD进行计算.
21．（2023八上·怀远期中）如图，BE平分△ABC的内角∠ABC，CE平分△ABC 的外角.，BE，CE 相交于点 E.
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠E 的度数；
（2）若∠ABC+∠ACB=100°，求∠E的度数.
【答案】（1）解：∵BE 平分
∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-80°=100°，
∵CE 平分.
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°.
（2）解：∵∠ABC+∠ACB=100°，∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD-∠ABC=80°，
∵BE 平分
∵CE 平分
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质，结合角平分线的定义求解。由角平分线的定义可得、，再根据平角的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差解答；
（2）根据三角形外角的性质，结合角平分线的定义求解。先说明，再根据角平分线的定义可得、，最后根据角的和差解答．
22．（2023八上·六安期中）如图，在中，点D为的平分线BD上一点，连接AD，过点D作交AB于点E，交AC于点F.
（1）如图1，若于点D，，求的度数；
（2）如图2，若，，求的度数（用含和的代数式表示）.
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，∠AEF=60°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，
又∵∠BDA=90°，
∴∠EDA=60°，
∴∠BAD=60°；
（2）如图2，过点A作AG∥BC，
则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，
则∠FAD+∠C=β-∠DBC=β-∠ABC=β-α．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，据此即可求解．
23．（2023八上·龙马潭月考）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．问：
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ （用含x或t的代数式表示）；
（2）当运动时间t为何值时，△ACP与△BPQ全等．
【答案】（1）tcm；（8-t）cm；txcm
（2）解：当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP，
∴8-t＝6，
∴t＝2；
当△ACP≌△BQP时，AP＝BP，
∴t＝4，
∴t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
【知识点】列式表示数量关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
∴AP=tcm；
∵AB=8cm，
∴BP=(8-t)cm；
∵点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，
∴BQ=txcm.
故第1空答案为：tcm；故第2空答案为： （8-t）cm ；故第3空答案为： txcm 。
【分析】（1）首先根据运动的速度和时间得出AP=tcm；BQ=txcm；再根据AB=8cm，即可得出BP=（8-t）cm ；
（2） △ACP与△BPQ全等 ，可分为两种情况：①当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP， 可得 8-t＝6， 可得 t＝2；当△ACP≌△BQP时，AP＝BP， 可得t=4，即可得出 t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
24．（2023八上·铜官期中）在中，平分，．
图1 图2 图3
（1）如图1，若于点，，，则 ；
（2）如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是 ；
（3）如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
所作图形如图所示
证明：过点作的垂线交于点，平分，，
，，，，
又，，
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）∵∠C=60°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=10°，
故答案为：10°；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠BAE=90°-∠B-∠C，
∴∠PEG=∠B+∠BAE=90°+∠B-∠C，
∵PG⊥BC，
∴∠PGE=90°，
∴∠EPG=90°-∠PEG=（∠C-∠B），
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义求出∠CAE=∠BAC=40°，再利用角的运算求出∠CAD的度数，最后利用角的运算求出∠DAE的度数即可；
（2）利用角平分线的定义可得∠BAE=∠BAC，再结合∠BAC=180°-∠B-∠C，求出∠PEG=∠B+∠BAE=90°+∠B-∠C，再利用角的运算和等量代换可得∠EPG=90°-∠PEG=（∠C-∠B）；
（3）过点作的垂线交于点，先利用角的运算求出，再利用PG//AF，可得，从而得解.
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