2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第四章 第3-5节）培优卷
一、选择题
1．（2018·黔西南）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
2．（2023·长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
3．（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．（2023·凉山）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在 的两边 、 上分别在取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重合，这时过角尺顶点 的射线 就是 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·重庆）如图，在 和 中， ，添加一个条件，不能证明 和 全等的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·亳州月考）在中，，点是边的中点，过点作于点，点是延长线上一点，已知，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019八上·徐州月考）如图 ，要测量河两岸相对的两点 A，B的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C，D，使 BC＝CD，再作出 BF的垂线 DE，使点 A，C，E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得 AB＝DE，因此测得 DE的 长就是 AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
9．（2023八上·禹城月考）如图，在中，点E在延长线上，已知，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七下·深圳期中）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
11．（2023八上·亳州月考）某数学兴趣小组利用全等三角形的知识测试某小河的宽度，如图，点是小河两边的三点，在河边下方选择一点，使得，若测得米，的面积为30平方米，则点到的距离为 米．
12．（2020八上·仙桃期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出 个.
13．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
14．（2022·龙东）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件 ，使．
15．（2021·广州）如图，在 中， ， ，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为 ，当 时，则 的度数为 ．
16．（2021·泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 ．
三、解答题
17．（2023·陕西）如图，在中，，作，且使，作，交的延长线于点求证：．
18．（2023·大连）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．
19．（2023·宜宾）已知：如图，，，．求证：．
20．（2021·黄石）如图， 是 的边 上一点， ， 交 于 点， .
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，求 的长.
21．（2020·徐州）如图， ， ， . ， 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
22．（2022八上·滨海期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
23．（2021八上·昆明期末）如图，在中，．
（1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：．
（2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由．
24．（2023八上·遵义月考）如图与相交于点，，，点从点出发，沿的路径以的速度运动；方向以的速度运动；点从点出发，沿的方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为．
（1）求证：；
（2）用含的式子表示线段的长；
（3）连接，当线段经过点时如图求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故答案为：B．
【分析】根据两边及夹角对应相等的两个三角形全等可以判断出乙和△ABC全等，根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等判断出丙和△ABC全等。
2．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点O为、的中点，
∴OB=OB'，OA=OA'，
∵∠A'OB'=∠AOB，
∴△B'OA'≌△BOA（SAS），
∴AB=A'B'，
故答案为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据对顶角的性质结合三角形全等的判定证明△B'OA'≌△BOA（SAS）即可求解。
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴BF=CE，
A、添加，可运用ASA证明，A不符合题意；
B、添加，可运用SAS证明，B不符合题意；
C、添加，可运用AAS证明，C不符合题意；
D、添加，无法证明，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形全等的判定结合题意逐一判断即可求解。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知
在 中
∴ (SSS)
∴
∴ 就是 的平分线
故答案为：D
【分析】证明 (SSS)，可得，根据角平分线的定义判断即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：选项A，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ASA），
选项B，添加 ，
在 和 中， ， ， ，无法证明 ≌ ；
选项C，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS）；
选项D，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （AAS）；
综上，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图形可知：隐含条件为BC=CB，已知了∠ACB=∠DBC，可以添加另一组对应角相等或添加边AC=DB，再对各选项逐一判断.
7．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
，，
，
，
又，，
，
，
，
，
又，
，
故选项A、C、D正确，
而与不一定相等，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定和性质求解。过点作于点，证明，进一步证明，利用全等的性质得到，再判定即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵点 A、C、E在同一条直线上
∴∠ACB=∠ECD，又∠ABC=∠EDC=90°，BC＝CD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
故答案为：D
【分析】由题意用角边角可判断两个三角形全等.
9．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵∠DAB=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC，∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠CAE
在，，∴（SAS），∴∠DAB=∠CAE=35°，∴∠ADE=∠ABD+∠DAB=25°+35°=60°，又∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=60°，C正确。
故答案为：C。
【分析】由AD=AE，得∠AED=∠ADE，可转化为求∠ADB的度数，且∠ADE为的一个外角，∠ABD度数也已知，通过证明，得到∠DAB度数，从而求出∠ADE的度数，最终得到∠AED的度数。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】∵AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，
∴BD＝12，
设点P、Q的运动时间为ts，
∴BP＝4t，
∴PC＝（16-4t），
若△BPD与△CQP全等．则有：
①当BD＝CP时，16-4t＝12，
解得：t＝1，
则BP＝CQ＝4，
故点Q的运动速度为：4÷1＝4；
②当BP＝PC时，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8，
∴t＝8÷4＝2．
故点Q的运动速度为12÷2＝6．
所以，点Q的运动速度为4cm/s或6cm/s
故答案为： D
【分析】设点P、Q的运动时间为ts，分别表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD、CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
11．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的应用
【解析】【解答】解：米，的面积为平方米，
点到距离为：（米），
，，，
≌，
点到的距离为米，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的判定与性质求解。根据米，的面积为平方米，得到点到距离，根据题意证明≌，由全等三角形的性质即可求解．
12．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图：
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等.
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等.
所以可画出6个.
故答案为：6.
【分析】根据网格的特点及全等三角形的性质可以以AB和BC为公共边分别画出3个，而AC得不到，从而得出结论.
13．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠F=90°，∠AEB=90°，
∴∠ACF+∠FAC=90°
∵，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
∵，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF=1，AF=BE=4，
∴EF=4-1=3，
故答案为：3
【分析】先根据题意结合三角形全等判定得到△ABE≌△CAF（AAS），再根据三角形全等的性质得到AE=CF=1，AF=BE=4，进而即可求解。
14．【答案】OB=OD（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加OB=OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴（SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）
【分析】利用三角形全等的判定方法求解即可。
15．【答案】33°
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，连接
∵点B关于直线CD的对称点为 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：33°．
【分析】先证明，再求出∠ACB=104°，最后计算求解即可。
16．【答案】4+2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得，EB=EB'，∠B=∠AB'E=∠EB'D=90°
∴Rt△EBF≌Rt△EB'D
∴BF=DB'
∵四边形ABCD为矩形
∴∠C=∠CDB'=∠EB'D=90°
∴四边形ECDB'为矩形
∴DB'=EC=2
∴BF=EC=2
由折叠的性质可得，BF=FG=2，∠FAG=45°
∠AGF=∠B=∠AGF=90°
∴AG=GF=2
∴AF=
∴AB=AB'=2+
∴AD=AB'+DB'=4+
【分析】根据题意，由全等三角形的判定证明Rt△EBF≌Rt△EB'D，继而由全等三角形的性质，证明得到答案即可。
17．【答案】证明：于点，
，
于点，
．
在和中，
，
≌．
．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用垂直的定义和余角的性质可证得∠A=∠DCE，∠B=∠E，利用AAS可证得△ABC≌△CED，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
18．【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知条件可知∠ACF+∠AED=180°，根据邻补角的性质可得∠ACF+∠ACB=180°，则∠ACB=∠AED，利用SAS证明△ABC≌△ADE，据此可得结论.
19．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，再根据题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可求解。
20．【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中，
（2）解：由（1）得
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ADE=∠F，利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得AD=CF，然后证明BD=AB-CF，可求出BD的长.
21．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又 .
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）解：∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点，
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故 =180°-∠BFO=90°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ECD=90，再证明∠ACE=∠BCD，然后根据SAS证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等可证得∠A=∠B，利用三角形的内角和定理可证得∠BFO=∠ACO，从而可求出∠AFD的度数。
22．【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE-DE，
∴BE＝AD-DE＝5-3＝2（cm），
即BE的长度是2cm．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据余角的性质可得∠BCE＝∠CAD， 根据AAS证明△ADC≌△CEB；
（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，可得AD＝CE＝5cm，CD＝BE，利用线段的和差关系即可求解．
23．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得出，则，，则，根据等量代换得出，根据AAS可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可；
（2）根据三角形内角和定理和平角的定义证得，根据AAS证得，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可。
24．【答案】（1）证明：在和中，
，
≌，
，
．
（2）解：当时，；
当时，，
则；
综上所述，线段的长为或；
（3）解：
由得：，，
在和中，
，
≌，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，当线段经过点时，的值为或．
【知识点】列式表示数量关系；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS，直接证明≌，得出，即可证明；
（2）分时，当时，结合图形，即可求解．
（3）由得：，证明≌，则，再分情况讨论，即可求解．
1 / 12024年北师大版数学七年级下册周测卷（第四章 第3-5节）培优卷
一、选择题
1．（2018·黔西南）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故答案为：B．
【分析】根据两边及夹角对应相等的两个三角形全等可以判断出乙和△ABC全等，根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等判断出丙和△ABC全等。
2．（2023·长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵点O为、的中点，
∴OB=OB'，OA=OA'，
∵∠A'OB'=∠AOB，
∴△B'OA'≌△BOA（SAS），
∴AB=A'B'，
故答案为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据对顶角的性质结合三角形全等的判定证明△B'OA'≌△BOA（SAS）即可求解。
3．（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
4．（2023·凉山）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴BF=CE，
A、添加，可运用ASA证明，A不符合题意；
B、添加，可运用SAS证明，B不符合题意；
C、添加，可运用AAS证明，C不符合题意；
D、添加，无法证明，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形全等的判定结合题意逐一判断即可求解。
5．（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在 的两边 、 上分别在取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 、 重合，这时过角尺顶点 的射线 就是 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知
在 中
∴ (SSS)
∴
∴ 就是 的平分线
故答案为：D
【分析】证明 (SSS)，可得，根据角平分线的定义判断即可.
6．（2021·重庆）如图，在 和 中， ，添加一个条件，不能证明 和 全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：选项A，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ASA），
选项B，添加 ，
在 和 中， ， ， ，无法证明 ≌ ；
选项C，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS）；
选项D，添加 ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （AAS）；
综上，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】由图形可知：隐含条件为BC=CB，已知了∠ACB=∠DBC，可以添加另一组对应角相等或添加边AC=DB，再对各选项逐一判断.
7．（2023八上·亳州月考）在中，，点是边的中点，过点作于点，点是延长线上一点，已知，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
，，
，
，
又，，
，
，
，
，
又，
，
故选项A、C、D正确，
而与不一定相等，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定和性质求解。过点作于点，证明，进一步证明，利用全等的性质得到，再判定即可．
8．（2019八上·徐州月考）如图 ，要测量河两岸相对的两点 A，B的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C，D，使 BC＝CD，再作出 BF的垂线 DE，使点 A，C，E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得 AB＝DE，因此测得 DE的 长就是 AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵点 A、C、E在同一条直线上
∴∠ACB=∠ECD，又∠ABC=∠EDC=90°，BC＝CD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
故答案为：D
【分析】由题意用角边角可判断两个三角形全等.
9．（2023八上·禹城月考）如图，在中，点E在延长线上，已知，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】∵∠DAB=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC，∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠CAE
在，，∴（SAS），∴∠DAB=∠CAE=35°，∴∠ADE=∠ABD+∠DAB=25°+35°=60°，又∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=60°，C正确。
故答案为：C。
【分析】由AD=AE，得∠AED=∠ADE，可转化为求∠ADB的度数，且∠ADE为的一个外角，∠ABD度数也已知，通过证明，得到∠DAB度数，从而求出∠ADE的度数，最终得到∠AED的度数。
10．（2023七下·深圳期中）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】∵AB＝AC＝24cm，∠B＝∠C，BC＝16cm，点D为AB的中点，
∴BD＝12，
设点P、Q的运动时间为ts，
∴BP＝4t，
∴PC＝（16-4t），
若△BPD与△CQP全等．则有：
①当BD＝CP时，16-4t＝12，
解得：t＝1，
则BP＝CQ＝4，
故点Q的运动速度为：4÷1＝4；
②当BP＝PC时，
∵BC＝16cm，
∴BP＝PC＝8，
∴t＝8÷4＝2．
故点Q的运动速度为12÷2＝6．
所以，点Q的运动速度为4cm/s或6cm/s
故答案为： D
【分析】设点P、Q的运动时间为ts，分别表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD、CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
二、填空题
11．（2023八上·亳州月考）某数学兴趣小组利用全等三角形的知识测试某小河的宽度，如图，点是小河两边的三点，在河边下方选择一点，使得，若测得米，的面积为30平方米，则点到的距离为 米．
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的应用
【解析】【解答】解：米，的面积为平方米，
点到距离为：（米），
，，，
≌，
点到的距离为米，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的判定与性质求解。根据米，的面积为平方米，得到点到距离，根据题意证明≌，由全等三角形的性质即可求解．
12．（2020八上·仙桃期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出 个.
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图：
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等.
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等.
所以可画出6个.
故答案为：6.
【分析】根据网格的特点及全等三角形的性质可以以AB和BC为公共边分别画出3个，而AC得不到，从而得出结论.
13．（2023·重庆）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠F=90°，∠AEB=90°，
∴∠ACF+∠FAC=90°
∵，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
∵，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF=1，AF=BE=4，
∴EF=4-1=3，
故答案为：3
【分析】先根据题意结合三角形全等判定得到△ABE≌△CAF（AAS），再根据三角形全等的性质得到AE=CF=1，AF=BE=4，进而即可求解。
14．（2022·龙东）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件 ，使．
【答案】OB=OD（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加OB=OD，
在△AOB和△COD中，
，
∴（SAS）
故答案为OB=OD（答案不唯一）
【分析】利用三角形全等的判定方法求解即可。
15．（2021·广州）如图，在 中， ， ，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为 ，当 时，则 的度数为 ．
【答案】33°
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，连接
∵点B关于直线CD的对称点为 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：33°．
【分析】先证明，再求出∠ACB=104°，最后计算求解即可。
16．（2021·泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为 ．
【答案】4+2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得，EB=EB'，∠B=∠AB'E=∠EB'D=90°
∴Rt△EBF≌Rt△EB'D
∴BF=DB'
∵四边形ABCD为矩形
∴∠C=∠CDB'=∠EB'D=90°
∴四边形ECDB'为矩形
∴DB'=EC=2
∴BF=EC=2
由折叠的性质可得，BF=FG=2，∠FAG=45°
∠AGF=∠B=∠AGF=90°
∴AG=GF=2
∴AF=
∴AB=AB'=2+
∴AD=AB'+DB'=4+
【分析】根据题意，由全等三角形的判定证明Rt△EBF≌Rt△EB'D，继而由全等三角形的性质，证明得到答案即可。
三、解答题
17．（2023·陕西）如图，在中，，作，且使，作，交的延长线于点求证：．
【答案】证明：于点，
，
于点，
．
在和中，
，
≌．
．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用垂直的定义和余角的性质可证得∠A=∠DCE，∠B=∠E，利用AAS可证得△ABC≌△CED，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
18．（2023·大连）如图，在和中，延长交于， ，．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知条件可知∠ACF+∠AED=180°，根据邻补角的性质可得∠ACF+∠ACB=180°，则∠ACB=∠AED，利用SAS证明△ABC≌△ADE，据此可得结论.
19．（2023·宜宾）已知：如图，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，再根据题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可求解。
20．（2021·黄石）如图， 是 的边 上一点， ， 交 于 点， .
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中，
（2）解：由（1）得
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ADE=∠F，利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得AD=CF，然后证明BD=AB-CF，可求出BD的长.
21．（2020·徐州）如图， ， ， . ， 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又 .
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）解：∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点，
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故 =180°-∠BFO=90°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACB=∠ECD=90，再证明∠ACE=∠BCD，然后根据SAS证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等可证得∠A=∠B，利用三角形的内角和定理可证得∠BFO=∠ACO，从而可求出∠AFD的度数。
22．（2022八上·滨海期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE-DE，
∴BE＝AD-DE＝5-3＝2（cm），
即BE的长度是2cm．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据余角的性质可得∠BCE＝∠CAD， 根据AAS证明△ADC≌△CEB；
（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，可得AD＝CE＝5cm，CD＝BE，利用线段的和差关系即可求解．
23．（2021八上·昆明期末）如图，在中，．
（1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：．
（2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得出，则，，则，根据等量代换得出，根据AAS可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可；
（2）根据三角形内角和定理和平角的定义证得，根据AAS证得，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可。
24．（2023八上·遵义月考）如图与相交于点，，，点从点出发，沿的路径以的速度运动；方向以的速度运动；点从点出发，沿的方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为．
（1）求证：；
（2）用含的式子表示线段的长；
（3）连接，当线段经过点时如图求的值．
【答案】（1）证明：在和中，
，
≌，
，
．
（2）解：当时，；
当时，，
则；
综上所述，线段的长为或；
（3）解：
由得：，，
在和中，
，
≌，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，当线段经过点时，的值为或．
【知识点】列式表示数量关系；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据SAS，直接证明≌，得出，即可证明；
（2）分时，当时，结合图形，即可求解．
（3）由得：，证明≌，则，再分情况讨论，即可求解．
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