2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第四章） 基础卷
一、选择题
1．（2023·金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
3．（2023·江西）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·南充期末）如图， ， cm， cm，则 的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．不能确定
5．（2018·黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
6．（2021八上·中山期中）如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
7．如图，点E，F均在线段BC上，AB=DC，AE=DF，BF=CE．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．∠B=∠C B．AF∥DE C．AE=DE D．AB∥DC
8．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，下面选项中的两个三角形全等的是（ ）
A．①② B．④③ C．③④ D．①④
10．如图，与都是等边三角形，且，下列结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．（2023八上·潼南期中）如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 （只填一个即可），使△ABD≌△ACE．
12．（2023八上·蚌山期中）如图，在中，，为边的中线，的周长与的周长相差3，，则 ．
13．如图，，若，则 .
14．（2023八上·天津市月考）如图，，，请你添加一个条件： ，使．（写出一个条件即可）
15．（2023七下·深圳期末）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，若，，则 ．
16．（2022八上·京山期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是 .
三、解答题
17．（2023八上·潼南期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长．
18．（2023·衢州）已知：如图，在和中，在同一条直线上.下面四个条件：
①②；③；④
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可).
（2）在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF.
19．（2019八上·台安月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数.
20．（2021八上·内江期中）如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
21．（2021·石狮模拟）如图， 是四边形 的对角线， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ∥ ， ，求 的度数.
22．（2020七下·碑林期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E.
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是 .
23．（2021八上·拱墅期末）如图，AC与BD相交于点O，且 ， .
（1）求证： ；
（2）直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由.
24．如图，，在中，FG是最长的边，在中，MH是最长的边，和是对应角，且.
（1）写出对应相等的边及对应相等的角.
（2）求线段NM及线段HG的长度.
25．如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，
由题意，得8-6＜x＜8+6，
即2＜x＜14，
∴A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与这个顶点对边中点的线段，就是三角形的中线。
3．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为∠AOC=35°，所以∠BOD=∠AOC=35°，在直角三角形OBD中，∠OBD=90°-∠BOD=90°-35°=55°。
故答案为：C。
【分析】根据入射角等于反射角，可以得出∠BOD=∠AOC=35°，然后根据直角三角形的两个锐角互余，可直接求得∠OBD。
4．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ADE≌△BCF，
∴AD＝BC＝10cm，
∵BD＝BC CD，CD＝6cm，
∴BD＝10 6＝4（cm）.
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的对应边相等可求出BC的长，根据BD=BC-CD，可求出BD的长.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故答案为：A．
【分析】根据垂直的定义及三角形的内角和得出∠BAD=30°，根据角平分线的定义得出∠BAE=25°，根据角的和差得出∠DAE=30°﹣25°=5°，△ABC中，根据三角形的内角和得出∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，从而可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α是a、c边的夹角，50°的角是a、c边的夹角，
又∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是50°．
故答案为：D．
【分析】要根据已知的对应边去找对应角，运用全等三角形对应角相等即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BF=CE ，
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，
又因为 AB=DC，AE=DF ，
∴，
∴∠B=∠C ，∠AEB=∠DFC，
∴AB∥DC ， AE∥DF
故答案为：C.
【分析】由已知 AB=DC，AE=DF，BF=CE可证，根据全等三角形的性质，逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；
条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④共3个.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等，对应边相等即可一一判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：若两边和一角判定两个三角形全等，则只有SAS方法，即角需为两边的夹角.
故答案为：A.
【分析】根据SAS判定即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵△ABD与△ACE都是等边三角形
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
∴△DAC△BAE（SAS）
∴BE=CD，①正确；
∵△DAC△BAE
∴∠ADC=∠ABE
∴∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，②正确；
∵∠ADB=∠AEC=60°
∵无法判断∠ADC=∠AEB
∴无法判断∠BDO=∠CEO，③错误；
∵∠BAC=90°，DA||BC
∴∠ABC=∠DAB=60°
∴∠ACB=30°
∴∠BCE=60°+30°=90°
∴BCEC，④正确；
∴正确的是①②④
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定和性质，可得BE=CD；根据三角形内角和定理，可得∠BOD的度数；根据直角三角形的判定和性质，BCEC.
11．【答案】AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵∠1＝∠2
∴∠BAD=∠CAE
∵AD=AE
当添加条件AB=AC时，由SAS，可证得 △ABD≌△ACE ；
当添加条件 ∠ADB＝∠E 时，由ASA，可证得 △ABD≌△ACE ；
当添加条件 ∠B＝∠C 时，由AAS，可证得 △ABD≌△ACE .
故答案为：AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C（填其中一个即可）.
【分析】判定三角形全等的条件应为两个三角形的对应角和对应边，要将 ∠1＝∠2转化为∠BAD=∠CAE.本题为开放题，题目中已知 AD＝AE ，添加的条件可以考虑“SAS”、“ASA”、“AAS”的应用，故添加 AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C 均可.
12．【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：AD为BC边的中线
∴BD=DC
∵∠B＜∠C，△ABD的周长与△ADC周长相差3
∴AB-AC=3
又∵AB=8
∴AC=5
故答案为：5.
【分析】由题知△ABD的周长与△ADC周长相差3，根据已知实际就是AB比AC多3，代入数据解题即可。
13．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴AC=DB
∵AB+BC=BC+CD
∴AB=CD=5-2=3
故答案为：3.
【分析】根据三角形全等的性质，可得AC=DB；根据等量代换原则，可得CD的长.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠A=∠C，
∵AD=BC，
∴添加∠D=∠B，利用ASA可以证明 ，
故答案为： （答案不唯一） .
【分析】利用平行线的性质求出∠A=∠C，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
15．【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB//EF，AC//DE
∴∠B=∠F，∠ACB=∠EDF
又∵AC=DE
∴△ABC≌△EFD
∴BC=DF
∴BD=CF==3
故答案为：3.
【分析】根据三角形全等的判定和性质解题即可.
16．【答案】1
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：1.
【分析】利用SAS可以判断出△AOB≌△DOC，根据全等三角形对应边相等得AB=CD=5Cm，进而根据圆形容器的壁厚等于EF与CD差的一半即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△ACE与△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF
（2）解：由（1）得△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
又∵AD＝AC+DB﹣BC，AD＝8，BC＝2，
∴2AC﹣2＝8，
∴AC＝5．
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)要证 AE＝DF ，可证 △ACE≌△DBF ；由 AB＝CD 可得 AC＝BD ，由 AE//DF，EC//BF ，根据两直线平行，内错角相等可得， ∠A＝∠D ， ∠ECA＝∠FBD ，得证△ACE≌△DBF，故AE＝DF.
(2)由（1）可知 △ACE≌△DBF，故AC＝DB ， AD＝AC+DB﹣BC， 即8=2AC-2，可得AC=5.
18．【答案】（1）解：由题知：选择的三个条件是①②③或①③④；
（2）证明：当选①②③时，
，
，即.
又，
，
或，
，即.
又，
；
当选①③④时，
，
，即，
又∵∠ABC=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS或SAS进行选择即可；
（2）当选①②③时，由BE=CF推出BC=EF，从而由SSS可判断出△ABC≌△DEF；当选①③④时，由BE=CF推出BC=EF，从而由SAS可判断出△ABC≌△DEF.
19．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°.
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两内角互余得出∠ABC的度数，根据邻补角的定义得出 ∠CBD=130°，根据角平分线的定义得出 ∠CBE= ∠CBD=65° ；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出 ∠CEB 的度数，进而根据二直线平行，同位角相等得出 ∠F=∠CEB=25° .
20．【答案】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
在 中， .
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，根据SAS证明△ABE≌△DBE；
（2）利用三角形内角和求出∠ABC=30°，由角平分线的定义可得 ， 在 中，利用即可求解.
21．【答案】（1）证明：在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△BEF≌△CDA，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；
（2）利用平行线的性质可证得∠BAC=∠BEF，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BEF的度数，从而可求出∠BAC的度数.
22．【答案】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°.
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）30
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，
∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12.
∴由勾股定理得：AC＝13，
∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，
故答案为：30.
【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；
23．【答案】（1）证明：由题可知，
在△AOB与△COD中，
，
，
，
；
（2）OE=OF，理由如下：
由（1）可知： ，
∴∠A=∠C，
在△AOE于△COF中，
，
.
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AOB=∠COD，利用边角边可证△AOB≌△COD，可得∠B=∠D，然后根据内错角相等两直线平行得出结论；
（2）由（1）可得 ∠A=∠C ，再根据角边角可证△AOE≌△COF，最后根据全等三角形的对应边相等可得结果.
24．【答案】（1）解：，
（2）解：∵△EFG≌△NMH，
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的性质，可得全等三角形的对应边和对应角都相等；
（2）根据三角形全等的性质，可得NM=EF，FG=MH；根据等量关系列代数式，求值即可.
25．【答案】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAD=20°，
∴∠CAE=∠BAD=20°，
∵∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，
∴∠CAE=∠CDE，
∴∠CDE=20°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）直接利用SAS判断出△ABC≌△ADE；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，根据等式的性质从而得出∠CAE=∠BAD=20°，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，故∠CAE=∠CDE=20°。
1 / 12024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第四章） 基础卷
一、选择题
1．（2023·金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，
由题意，得8-6＜x＜8+6，
即2＜x＜14，
∴A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】设以6cm与8cm为边长的三角形的第三边长为xcm，根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可求出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
2．（2018·贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与这个顶点对边中点的线段，就是三角形的中线。
3．（2023·江西）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为∠AOC=35°，所以∠BOD=∠AOC=35°，在直角三角形OBD中，∠OBD=90°-∠BOD=90°-35°=55°。
故答案为：C。
【分析】根据入射角等于反射角，可以得出∠BOD=∠AOC=35°，然后根据直角三角形的两个锐角互余，可直接求得∠OBD。
4．（2021八上·南充期末）如图， ， cm， cm，则 的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ADE≌△BCF，
∴AD＝BC＝10cm，
∵BD＝BC CD，CD＝6cm，
∴BD＝10 6＝4（cm）.
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的对应边相等可求出BC的长，根据BD=BC-CD，可求出BD的长.
5．（2018·黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故答案为：A．
【分析】根据垂直的定义及三角形的内角和得出∠BAD=30°，根据角平分线的定义得出∠BAE=25°，根据角的和差得出∠DAE=30°﹣25°=5°，△ABC中，根据三角形的内角和得出∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，从而可得出答案。
6．（2021八上·中山期中）如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α是a、c边的夹角，50°的角是a、c边的夹角，
又∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是50°．
故答案为：D．
【分析】要根据已知的对应边去找对应角，运用全等三角形对应角相等即可得出答案。
7．如图，点E，F均在线段BC上，AB=DC，AE=DF，BF=CE．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．∠B=∠C B．AF∥DE C．AE=DE D．AB∥DC
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BF=CE ，
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，
又因为 AB=DC，AE=DF ，
∴，
∴∠B=∠C ，∠AEB=∠DFC，
∴AB∥DC ， AE∥DF
故答案为：C.
【分析】由已知 AB=DC，AE=DF，BF=CE可证，根据全等三角形的性质，逐项判断即可.
8．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；
条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④共3个.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等，对应边相等即可一一判断得出答案.
9．如图，下面选项中的两个三角形全等的是（ ）
A．①② B．④③ C．③④ D．①④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：若两边和一角判定两个三角形全等，则只有SAS方法，即角需为两边的夹角.
故答案为：A.
【分析】根据SAS判定即可.
10．如图，与都是等边三角形，且，下列结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵△ABD与△ACE都是等边三角形
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
∴△DAC△BAE（SAS）
∴BE=CD，①正确；
∵△DAC△BAE
∴∠ADC=∠ABE
∴∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，②正确；
∵∠ADB=∠AEC=60°
∵无法判断∠ADC=∠AEB
∴无法判断∠BDO=∠CEO，③错误；
∵∠BAC=90°，DA||BC
∴∠ABC=∠DAB=60°
∴∠ACB=30°
∴∠BCE=60°+30°=90°
∴BCEC，④正确；
∴正确的是①②④
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定和性质，可得BE=CD；根据三角形内角和定理，可得∠BOD的度数；根据直角三角形的判定和性质，BCEC.
二、填空题
11．（2023八上·潼南期中）如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 （只填一个即可），使△ABD≌△ACE．
【答案】AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵∠1＝∠2
∴∠BAD=∠CAE
∵AD=AE
当添加条件AB=AC时，由SAS，可证得 △ABD≌△ACE ；
当添加条件 ∠ADB＝∠E 时，由ASA，可证得 △ABD≌△ACE ；
当添加条件 ∠B＝∠C 时，由AAS，可证得 △ABD≌△ACE .
故答案为：AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C（填其中一个即可）.
【分析】判定三角形全等的条件应为两个三角形的对应角和对应边，要将 ∠1＝∠2转化为∠BAD=∠CAE.本题为开放题，题目中已知 AD＝AE ，添加的条件可以考虑“SAS”、“ASA”、“AAS”的应用，故添加 AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C 均可.
12．（2023八上·蚌山期中）如图，在中，，为边的中线，的周长与的周长相差3，，则 ．
【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：AD为BC边的中线
∴BD=DC
∵∠B＜∠C，△ABD的周长与△ADC周长相差3
∴AB-AC=3
又∵AB=8
∴AC=5
故答案为：5.
【分析】由题知△ABD的周长与△ADC周长相差3，根据已知实际就是AB比AC多3，代入数据解题即可。
13．如图，，若，则 .
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴AC=DB
∵AB+BC=BC+CD
∴AB=CD=5-2=3
故答案为：3.
【分析】根据三角形全等的性质，可得AC=DB；根据等量代换原则，可得CD的长.
14．（2023八上·天津市月考）如图，，，请你添加一个条件： ，使．（写出一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠A=∠C，
∵AD=BC，
∴添加∠D=∠B，利用ASA可以证明 ，
故答案为： （答案不唯一） .
【分析】利用平行线的性质求出∠A=∠C，再利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
15．（2023七下·深圳期末）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，若，，则 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB//EF，AC//DE
∴∠B=∠F，∠ACB=∠EDF
又∵AC=DE
∴△ABC≌△EFD
∴BC=DF
∴BD=CF==3
故答案为：3.
【分析】根据三角形全等的判定和性质解题即可.
16．（2022八上·京山期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是 .
【答案】1
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：1.
【分析】利用SAS可以判断出△AOB≌△DOC，根据全等三角形对应边相等得AB=CD=5Cm，进而根据圆形容器的壁厚等于EF与CD差的一半即可得出答案.
三、解答题
17．（2023八上·潼南期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD＝8，BC＝2，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△ACE与△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF
（2）解：由（1）得△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
又∵AD＝AC+DB﹣BC，AD＝8，BC＝2，
∴2AC﹣2＝8，
∴AC＝5．
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)要证 AE＝DF ，可证 △ACE≌△DBF ；由 AB＝CD 可得 AC＝BD ，由 AE//DF，EC//BF ，根据两直线平行，内错角相等可得， ∠A＝∠D ， ∠ECA＝∠FBD ，得证△ACE≌△DBF，故AE＝DF.
(2)由（1）可知 △ACE≌△DBF，故AC＝DB ， AD＝AC+DB﹣BC， 即8=2AC-2，可得AC=5.
18．（2023·衢州）已知：如图，在和中，在同一条直线上.下面四个条件：
①②；③；④
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可).
（2）在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF.
【答案】（1）解：由题知：选择的三个条件是①②③或①③④；
（2）证明：当选①②③时，
，
，即.
又，
，
或，
，即.
又，
；
当选①③④时，
，
，即，
又∵∠ABC=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS或SAS进行选择即可；
（2）当选①②③时，由BE=CF推出BC=EF，从而由SSS可判断出△ABC≌△DEF；当选①③④时，由BE=CF推出BC=EF，从而由SAS可判断出△ABC≌△DEF.
19．（2019八上·台安月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数.
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°.
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两内角互余得出∠ABC的度数，根据邻补角的定义得出 ∠CBD=130°，根据角平分线的定义得出 ∠CBE= ∠CBD=65° ；
（2）根据直角三角形的两锐角互余求出 ∠CEB 的度数，进而根据二直线平行，同位角相等得出 ∠F=∠CEB=25° .
20．（2021八上·内江期中）如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
在 中， .
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，根据SAS证明△ABE≌△DBE；
（2）利用三角形内角和求出∠ABC=30°，由角平分线的定义可得 ， 在 中，利用即可求解.
21．（2021·石狮模拟）如图， 是四边形 的对角线， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ∥ ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明：在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△BEF≌△CDA，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；
（2）利用平行线的性质可证得∠BAC=∠BEF，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BEF的度数，从而可求出∠BAC的度数.
22．（2020七下·碑林期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E.
（1）求证：△BCE≌△CAD；
（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是 .
【答案】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°.
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）30
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）解：∵：△BCE≌△CAD，BE＝5，DE＝7，
∴BE＝DC＝5，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12.
∴由勾股定理得：AC＝13，
∴△ACD的周长为：5+12+13＝30，
故答案为：30.
【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；
23．（2021八上·拱墅期末）如图，AC与BD相交于点O，且 ， .
（1）求证： ；
（2）直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由.
【答案】（1）证明：由题可知，
在△AOB与△COD中，
，
，
，
；
（2）OE=OF，理由如下：
由（1）可知： ，
∴∠A=∠C，
在△AOE于△COF中，
，
.
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AOB=∠COD，利用边角边可证△AOB≌△COD，可得∠B=∠D，然后根据内错角相等两直线平行得出结论；
（2）由（1）可得 ∠A=∠C ，再根据角边角可证△AOE≌△COF，最后根据全等三角形的对应边相等可得结果.
24．如图，，在中，FG是最长的边，在中，MH是最长的边，和是对应角，且.
（1）写出对应相等的边及对应相等的角.
（2）求线段NM及线段HG的长度.
【答案】（1）解：，
（2）解：∵△EFG≌△NMH，
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的性质，可得全等三角形的对应边和对应角都相等；
（2）根据三角形全等的性质，可得NM=EF，FG=MH；根据等量关系列代数式，求值即可.
25．如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAD=20°，
∴∠CAE=∠BAD=20°，
∵∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，
∴∠CAE=∠CDE，
∴∠CDE=20°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）直接利用SAS判断出△ABC≌△ADE；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，根据等式的性质从而得出∠CAE=∠BAD=20°，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，故∠CAE=∠CDE=20°。
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