2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第四章） 培优卷
一、选择题
1．（2021八上·遂宁期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
2．（2020·仙桃）如图，已知 和 都是等腰三角形， ， 交于点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ .其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020八上·三台期末）如图， ，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2023八上·章贡期中）如图，已知.下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹.该尺规作图中两三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
5．（2023八上·师宗期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后点B落在点E处，判断△EFA≌△DFC的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
6．（2023八上·岳池期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
7．（2023八上·永年期中）已知的三个内角、三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．只有丙
8．（2022八上·宝安期末）如图，在Rt和Rt中，，，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④≌．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023·衡水模拟）要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测量的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在的延长线上取一点C，使，则测量的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
10．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
二、填空题
11．（2021七下·光明期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
12．（2023七下·榆树期末）如图，点在上，与相交于点，≌，，，则的度数为 度
13．（2023七下·修水期末）如图，和的边相交于点O，．添加一个条件，使得．这个条件可以是 ．（填写所有符合要求的条件序号）
①；②；③；④．
14．在数学综合实践活动课上，张老师给了各活动小组大直角三角板一个、皮尺一条，测量如图所示小河的宽度（A为河岸边一棵柳树）．小颖是这样做的：
①在A点的对岸作直线MN；
②用三角板作AB⊥MN垂足为B；
③在直线MN取两点C、D，使 BC=CD；
④过D作DE⊥MN交AC的延长线于E，由三角形全等可知DE的长度等于河宽AB．
在以上的做法中，△ABC≌△DEC的根据是
15．（2023七下·吴江期末）如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t= 秒．
16．（2023七下·余姚期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．
三、解答题
17．（2023九上·南明期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
18．（2023八上·禹城月考）如图，在等边三角形中，点M为边上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P，于点H．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
19．（2023八上·江津期中）如图，点在边上，，，．
（1）求证：；
（2）∠，，求的度数．
20．（2024八上·交城期中）如图，△ABD≌△CAE，点A，D，E三点在一条直线上.
（1）求证：BD=CE+DE；
（2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE 请说明理由.
21．（2023八上·栾城期中）如图，已知△BAC和△DAE的顶点A重合，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE交于点M．
（1）证明：∠ABD＝∠ACE；
（2）若∠BAC＝70°，求∠BMC的大小．
22．（2023八上·任丘期中）已知：在和中，，．
图1图2
（1）如图1，若．
①求证：．②求的度数．
（2）如图2，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）．
23．（2023八上·九龙坡期中）
（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．
24．（2024八上·交城期中） 综合与实践
（1）问题初探
如图1，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，AB=BC，将△ABD沿着AD折叠得到△AED，AB的对应边AE落在AC上，点B的对应点为E，折痕AD交BC于点D.
求证：AC=AB+BD；
（2）方法迁移
如图2，AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B.求证：AB=AC+DC；
（3）问题拓展
如图3，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是△ABC的外角的平分线，交CB的延长线于点D.请你直接写出线段AC，AB，BD之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，
∴△DEF的周长为100cm，AB＝DE=35cm，AC=DF=30cm，
∴EF=100-35-30=35cm，
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的的周长相等，对应边相等，可得到△DEF的周长及DE的长，然后求出EF的长.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC， ∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°，
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE，
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD.
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确.
故答案为C.
【分析】①证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AF平分∠BFE，即可判定；④由AF平分∠BFE结合 即可判定.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB
∴AD=CB
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA
∴∠ABO=∠CDO
在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO
共有3对全等三角形
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定和性质，判断得到答案即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由题意可得：
“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是SSS
故答案为：B
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合三角形全等的判定定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AB=CD，∠B=∠D=90°，
由折叠的性质可得，
AE=AB，∠E=∠B=90°，
AE=CD，∠E=∠D=90°，
又∠EFA=∠DFC(对顶角相等)
△EFA≌△DFC （AAS）
故答案为：C.
【分析】利用矩形、折叠的性质得到AE=CD，∠E=∠D=90°，再结合图形得到∠EFA=∠DFC(对顶角相等)从而求解.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：给图形标上字母，如图，
由图可得：
故答案为：90°.
【分析】利用三角形全等的性质得到使用等量代换和直角三角形的性质即可求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据全等三角形的判定方法可得：乙利用“AAS”可证出全等；丙利用“AAS”可证出全等，
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAB=∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B=∠C．AE=AF，故①符合题意；
连接AD，如图，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴DE=DF，故②符合题意．
在Rt△ACF中，AC>CF，
∵BE=CF，
∴AC>BE，
故③不符合题意；
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④符合题意）；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
9．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：方案Ⅰ：∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∴∠B=∠EDC=90°
在△ABC和△EDC中
∴ △ABC≌△EDC （ASA）
∴AB=DE，
∴DE的长等于AB的长，测量DE的长即可，
∴方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=90°
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD（ASA）
∴AB=BC，
∴测量BC的长可得到AB的长，
∴方案Ⅱ可行.
故答案为：C.
【分析】方案Ⅰ利用垂直的定义可证得∠B=∠EDC，利用ASA可证得△ABC≌△EDC，利用全等三角形的性质可证得AB=DE，即可得到测量DE的长即可；方案Ⅱ利用垂直的定义可证得∠ABD=∠CBD，利用ASA可证得△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可知AB=BC，可得到测量BC的长可得到AB的长；由此可得到说法正确的选项.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
11．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=6，BD=8，
∴AD=8，DF=6，
∴AF=8-6=2，
故答案为：2．
【分析】先用三角形全等的判定证明△BDF≌△ADC，再利用全等的性质求出 AF的长度
12．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：70
【分析】根据全等三角形性质及三角形外角性质即可求出答案。
13．【答案】②③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①在△ABC和△DCB中，
，
∵没有“SSA”证明三角形全等的判定方法，
∴①不正确；
②在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA）
∴②符合题意；
③在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS）
∴③符合题意；
④在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴④符合题意；
∴符合条件的序号有②③④，
故答案为：②③④.
【分析】利用三角形全等的判定方法逐项判断即可.
14．【答案】ASA
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠CDB=90°，
在△ABC和△DEC中
∵，
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
故答案为：ASA．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法（ASA），进而判断得出即可．
15．【答案】2或6
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）当点F由点B向点C运动时，
∵四边形ABCD为矩形，AB=8cm，AD=12cm，∠B=∠C=90°，
∴BC=AD=12cm，CD=AB=8cm，
由于以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，BE=3cm，
可以下两种情况：
①当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF=3t，
∵BF=CF，BC=12cm，
∴3t=6，解得t=2（秒）；
②当△BEF≌△CFG时，BE=CF=3cm，BF=CG，
∴3t=12-3，解得t=3，
∴BF=3t=9(cm)，
∵CD=8cm，CG=BF=9cm，
∴CG＞CD，故不存在这种情况；
（2）当点F折返时，又有以下两种情况：
①当△BEF≌△CFG时，
BE=CF=3cm，BF=CG，
由（1）②可知：这种情况不存在；
②当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF，
由（1）①可知：CF=6m，
∴点F运动的路程为：BC+CF=12+6=18（cm），
∴3t=18，解得t=6（秒）．
综上所述：若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t为2秒或6秒．
故答案为：2或6.
【分析】分“点F由点B向点C运动”和“点F折返”两种情况讨论；当点F由点B向点C运动时，可分“△BEF≌△CGF”和“△BEF≌△CFG”情况；当点F折返时，又可分“△BEF≌△CFG”和“△BEF≌△CGF”两种情况，分别根据全等三角形的对应边相等建立方程，求解并判断可得答案.
16．【答案】15，60，105或150
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图3，当点E在MN上方且DE∥BC时，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，当点F在MN上方且DF∥BC时，
，
，
，
，
；
如图5，当点E在MN下方且DE∥BC时，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图6，当点F在MN下方且DF∥BC时，
，
，
，
，
15，60，105或150，
故答案为：15，60，105或150.
【分析】分类讨论：①当点E在MN上方且DE∥BC时，②当点F在MN上方且DF∥BC时，③当点E在MN下方且DE∥BC时，④当点F在MN下方且DF∥BC时，根据4种不同的情况分别画出图形，利用平行线的性质得到DF旋转的角度进而解得t值.
17．【答案】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）先根据中线的性质得到BD＝CD，进而根据平行线的性质得到∠DBE＝∠DCF，再根据三角形全等的判定证明△BDE≌△CDF（ASA）即可求解；
（2）先根据题意求出EF，进而根据三角形全等的性质得到DE＝DF，从而结合题意即可求解。
18．【答案】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点，
∵是等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）观察图形发现，AM在一个直角三角形中，又CN=AM，则尝试把CN也放到一个直角三角形内：过点N作NG⊥AC，交AC的延长线于点G，通过倒角，得到∠A=∠NCG=60°，继而证明（AAS），得到MH=NG，继续证明（AAS），推出PM=PN；
（2）由（1），得到PH=PG，由，得到AH=CG，同过线段之间的等量代换，得到2PH=AC，又AC=8，推出PH=4。
19．【答案】（1）证明：，
，
，，
，
，
在与中，
，
（2）解： ，
，
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等，结合角的和差求解。
20．【答案】（1）证明：∵△ABD≌△CAE
∴BD=AE，AD=CE
∵AE=AD+DE
∴BD=CE+DE
（2）解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE
∵△ABD≌△CAE
∴∠ADB=∠CEA
∵∠ADB=90°
∴∠CEA=90°，∠BDE=90°
∴∠CEA=∠BDE
∴BD∥CE
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质知：BD=AE，AD=CE，等量代换即可证明.
(2)当BD∥CE时，∠BDE=∠AEC，再根据 △ABD≌△CAE 得到∠ADB=∠AEC，最后得到∠ADB=90°，即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）解：∠BAC＝∠DAE＝70°．
设BD与AC交于点F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，
在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，
∵∠ABD＋∠AFB＋∠BAC＝180°，∠ACE＋∠MFC＋∠BMC＝180°，
∴∠BMC＝∠BAC＝70°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证出△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠ACE；
（2）利用角的运算求出∠BMC＝∠BAC＝70°即可.
22．【答案】（1）解：①证明：∵，
∴，
∴，
在△AOC和△BOD中，，
∴，∴；
②解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）同理可得：，
．
，
，
，
．
．
∴
故答案为：
【分析】（1）①先根据题意得到，进而结合三角形全等的判定与性质证明即可得到；
②先根据三角形全等的性质得到，进而结合题意即可求解；
（2）同理可得：，进而得到，再结合题意进行运算即可得到，从而即可求解。
23．【答案】（1）AC＝BH；
（2）证明，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG
证得：
∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD
∵BF＝AC，∴BG＝BF．
∴∠BGD＝∠BFG＝∠AFE
∴∠AFE＝∠CAD
即∠AFE＝EAF，∴AE＝EF
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据证明，根据全等三角形的性质得，，得到，以此即可解答；
（2）延长至点，使，连接，同（1）同理可证，得到，，由可得，进而得出，可得，即可证明．
24．【答案】（1）解：证明：∵△AED是由△ABD沿着AD折叠得到的
∴AB=AE，∠BAD=∠EAD
在△ABD与△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD=ED，∠B=∠AED=90°
∵AB=BC，∠B=90°
∴∠C=45°
∴∠CDE=45°
∴∠C=∠CDE
∴CE=DE
∴BD=CE
∴AC=AE+CE
∴AC=AB+BD
（2）解：在AB上截取AE=AC
∵AD是∠BAC的平分线， 如图2，
∴∠CAD=∠EAD
在△ACD与△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=DE，∠C=∠AED
∵∠C=2∠B
∴∠AED=2∠B
∵∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
∴BE=CD
∵AB=AE+BE
∴AB=AC+CD
（3）BD=AB+AC
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）BD=AB+AC，理由如下：
如图3所示，延长CA至E，使得AE=AB，连接DE，
∵AD是△ABC的外角的平分线，
∴∠EAD=∠BAD，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（SAS），
∴DB=DE，∠ADB=∠ADE，
设∠C=2α，
∵∠ABC=2∠C，则∠ABC=4α，
∴∠EAB=6α，
∴∠DAB＝
1
2
∠EAB＝3α，
∵∠ABC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE=4α-3α=α，
∴∠EDB=∠EDA+∠BDA=2α=∠C，
∴EC=ED=DB，
即BD=AC+AE=AC+AB．
【分析】（1）先通过折叠性质得到AB=AE，BD=DE，再证明△DEC是等腰直角三角形，通过等量代换即可证明结论.
（2）在AB上截取AE=AC ，证明 △ACD≌△AED ，得到CD=DE，再证明BE=DE即可.
（3）通过截长补短和等量代换得到BD=AB+AC.
1 / 12024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第四章） 培优卷
一、选择题
1．（2021八上·遂宁期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，
∴△DEF的周长为100cm，AB＝DE=35cm，AC=DF=30cm，
∴EF=100-35-30=35cm，
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的的周长相等，对应边相等，可得到△DEF的周长及DE的长，然后求出EF的长.
2．（2020·仙桃）如图，已知 和 都是等腰三角形， ， 交于点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ .其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC， ∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°，
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE，
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD.
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确.
故答案为C.
【分析】①证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AF平分∠BFE，即可判定；④由AF平分∠BFE结合 即可判定.
3．（2020八上·三台期末）如图， ，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB
∴AD=CB
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA
∴∠ABO=∠CDO
在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO
共有3对全等三角形
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定和性质，判断得到答案即可。
4．（2023八上·章贡期中）如图，已知.下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹.该尺规作图中两三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由题意可得：
“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是SSS
故答案为：B
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合三角形全等的判定定理即可求出答案.
5．（2023八上·师宗期中）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后点B落在点E处，判断△EFA≌△DFC的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AB=CD，∠B=∠D=90°，
由折叠的性质可得，
AE=AB，∠E=∠B=90°，
AE=CD，∠E=∠D=90°，
又∠EFA=∠DFC(对顶角相等)
△EFA≌△DFC （AAS）
故答案为：C.
【分析】利用矩形、折叠的性质得到AE=CD，∠E=∠D=90°，再结合图形得到∠EFA=∠DFC(对顶角相等)从而求解.
6．（2023八上·岳池期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：给图形标上字母，如图，
由图可得：
故答案为：90°.
【分析】利用三角形全等的性质得到使用等量代换和直角三角形的性质即可求解.
7．（2023八上·永年期中）已知的三个内角、三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据全等三角形的判定方法可得：乙利用“AAS”可证出全等；丙利用“AAS”可证出全等，
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
8．（2022八上·宝安期末）如图，在Rt和Rt中，，，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④≌．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAB=∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B=∠C．AE=AF，故①符合题意；
连接AD，如图，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴DE=DF，故②符合题意．
在Rt△ACF中，AC>CF，
∵BE=CF，
∴AC>BE，
故③不符合题意；
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④符合题意）；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
9．（2023·衡水模拟）要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测量的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在的延长线上取一点C，使，则测量的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：方案Ⅰ：∵AB⊥BC，DE⊥BC，
∴∠B=∠EDC=90°
在△ABC和△EDC中
∴ △ABC≌△EDC （ASA）
∴AB=DE，
∴DE的长等于AB的长，测量DE的长即可，
∴方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：∵BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=90°
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD（ASA）
∴AB=BC，
∴测量BC的长可得到AB的长，
∴方案Ⅱ可行.
故答案为：C.
【分析】方案Ⅰ利用垂直的定义可证得∠B=∠EDC，利用ASA可证得△ABC≌△EDC，利用全等三角形的性质可证得AB=DE，即可得到测量DE的长即可；方案Ⅱ利用垂直的定义可证得∠ABD=∠CBD，利用ASA可证得△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可知AB=BC，可得到测量BC的长可得到AB的长；由此可得到说法正确的选项.
10．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
二、填空题
11．（2021七下·光明期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=6，BD=8，
∴AD=8，DF=6，
∴AF=8-6=2，
故答案为：2．
【分析】先用三角形全等的判定证明△BDF≌△ADC，再利用全等的性质求出 AF的长度
12．（2023七下·榆树期末）如图，点在上，与相交于点，≌，，，则的度数为 度
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：70
【分析】根据全等三角形性质及三角形外角性质即可求出答案。
13．（2023七下·修水期末）如图，和的边相交于点O，．添加一个条件，使得．这个条件可以是 ．（填写所有符合要求的条件序号）
①；②；③；④．
【答案】②③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①在△ABC和△DCB中，
，
∵没有“SSA”证明三角形全等的判定方法，
∴①不正确；
②在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA）
∴②符合题意；
③在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS）
∴③符合题意；
④在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴④符合题意；
∴符合条件的序号有②③④，
故答案为：②③④.
【分析】利用三角形全等的判定方法逐项判断即可.
14．在数学综合实践活动课上，张老师给了各活动小组大直角三角板一个、皮尺一条，测量如图所示小河的宽度（A为河岸边一棵柳树）．小颖是这样做的：
①在A点的对岸作直线MN；
②用三角板作AB⊥MN垂足为B；
③在直线MN取两点C、D，使 BC=CD；
④过D作DE⊥MN交AC的延长线于E，由三角形全等可知DE的长度等于河宽AB．
在以上的做法中，△ABC≌△DEC的根据是
【答案】ASA
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠CDB=90°，
在△ABC和△DEC中
∵，
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
故答案为：ASA．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法（ASA），进而判断得出即可．
15．（2023七下·吴江期末）如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t= 秒．
【答案】2或6
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）当点F由点B向点C运动时，
∵四边形ABCD为矩形，AB=8cm，AD=12cm，∠B=∠C=90°，
∴BC=AD=12cm，CD=AB=8cm，
由于以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，BE=3cm，
可以下两种情况：
①当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF=3t，
∵BF=CF，BC=12cm，
∴3t=6，解得t=2（秒）；
②当△BEF≌△CFG时，BE=CF=3cm，BF=CG，
∴3t=12-3，解得t=3，
∴BF=3t=9(cm)，
∵CD=8cm，CG=BF=9cm，
∴CG＞CD，故不存在这种情况；
（2）当点F折返时，又有以下两种情况：
①当△BEF≌△CFG时，
BE=CF=3cm，BF=CG，
由（1）②可知：这种情况不存在；
②当△BEF≌△CGF时，BE=CG=3cm，BF=CF，
由（1）①可知：CF=6m，
∴点F运动的路程为：BC+CF=12+6=18（cm），
∴3t=18，解得t=6（秒）．
综上所述：若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t为2秒或6秒．
故答案为：2或6.
【分析】分“点F由点B向点C运动”和“点F折返”两种情况讨论；当点F由点B向点C运动时，可分“△BEF≌△CGF”和“△BEF≌△CFG”情况；当点F折返时，又可分“△BEF≌△CFG”和“△BEF≌△CGF”两种情况，分别根据全等三角形的对应边相等建立方程，求解并判断可得答案.
16．（2023七下·余姚期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．
【答案】15，60，105或150
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图3，当点E在MN上方且DE∥BC时，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，当点F在MN上方且DF∥BC时，
，
，
，
，
；
如图5，当点E在MN下方且DE∥BC时，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图6，当点F在MN下方且DF∥BC时，
，
，
，
，
15，60，105或150，
故答案为：15，60，105或150.
【分析】分类讨论：①当点E在MN上方且DE∥BC时，②当点F在MN上方且DF∥BC时，③当点E在MN下方且DE∥BC时，④当点F在MN下方且DF∥BC时，根据4种不同的情况分别画出图形，利用平行线的性质得到DF旋转的角度进而解得t值.
三、解答题
17．（2023九上·南明期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
【答案】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）先根据中线的性质得到BD＝CD，进而根据平行线的性质得到∠DBE＝∠DCF，再根据三角形全等的判定证明△BDE≌△CDF（ASA）即可求解；
（2）先根据题意求出EF，进而根据三角形全等的性质得到DE＝DF，从而结合题意即可求解。
18．（2023八上·禹城月考）如图，在等边三角形中，点M为边上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P，于点H．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点，
∵是等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）观察图形发现，AM在一个直角三角形中，又CN=AM，则尝试把CN也放到一个直角三角形内：过点N作NG⊥AC，交AC的延长线于点G，通过倒角，得到∠A=∠NCG=60°，继而证明（AAS），得到MH=NG，继续证明（AAS），推出PM=PN；
（2）由（1），得到PH=PG，由，得到AH=CG，同过线段之间的等量代换，得到2PH=AC，又AC=8，推出PH=4。
19．（2023八上·江津期中）如图，点在边上，，，．
（1）求证：；
（2）∠，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，，
，
，
在与中，
，
（2）解： ，
，
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等，结合角的和差求解。
20．（2024八上·交城期中）如图，△ABD≌△CAE，点A，D，E三点在一条直线上.
（1）求证：BD=CE+DE；
（2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵△ABD≌△CAE
∴BD=AE，AD=CE
∵AE=AD+DE
∴BD=CE+DE
（2）解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE
∵△ABD≌△CAE
∴∠ADB=∠CEA
∵∠ADB=90°
∴∠CEA=90°，∠BDE=90°
∴∠CEA=∠BDE
∴BD∥CE
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质知：BD=AE，AD=CE，等量代换即可证明.
(2)当BD∥CE时，∠BDE=∠AEC，再根据 △ABD≌△CAE 得到∠ADB=∠AEC，最后得到∠ADB=90°，即可求解.
21．（2023八上·栾城期中）如图，已知△BAC和△DAE的顶点A重合，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE交于点M．
（1）证明：∠ABD＝∠ACE；
（2）若∠BAC＝70°，求∠BMC的大小．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）解：∠BAC＝∠DAE＝70°．
设BD与AC交于点F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，
在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，
∵∠ABD＋∠AFB＋∠BAC＝180°，∠ACE＋∠MFC＋∠BMC＝180°，
∴∠BMC＝∠BAC＝70°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证出△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠ACE；
（2）利用角的运算求出∠BMC＝∠BAC＝70°即可.
22．（2023八上·任丘期中）已知：在和中，，．
图1图2
（1）如图1，若．
①求证：．②求的度数．
（2）如图2，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）．
【答案】（1）解：①证明：∵，
∴，
∴，
在△AOC和△BOD中，，
∴，∴；
②解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）同理可得：，
．
，
，
，
．
．
∴
故答案为：
【分析】（1）①先根据题意得到，进而结合三角形全等的判定与性质证明即可得到；
②先根据三角形全等的性质得到，进而结合题意即可求解；
（2）同理可得：，进而得到，再结合题意进行运算即可得到，从而即可求解。
23．（2023八上·九龙坡期中）
（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．
【答案】（1）AC＝BH；
（2）证明，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG
证得：
∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD
∵BF＝AC，∴BG＝BF．
∴∠BGD＝∠BFG＝∠AFE
∴∠AFE＝∠CAD
即∠AFE＝EAF，∴AE＝EF
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据证明，根据全等三角形的性质得，，得到，以此即可解答；
（2）延长至点，使，连接，同（1）同理可证，得到，，由可得，进而得出，可得，即可证明．
24．（2024八上·交城期中） 综合与实践
（1）问题初探
如图1，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，AB=BC，将△ABD沿着AD折叠得到△AED，AB的对应边AE落在AC上，点B的对应点为E，折痕AD交BC于点D.
求证：AC=AB+BD；
（2）方法迁移
如图2，AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B.求证：AB=AC+DC；
（3）问题拓展
如图3，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是△ABC的外角的平分线，交CB的延长线于点D.请你直接写出线段AC，AB，BD之间的数量关系.
【答案】（1）解：证明：∵△AED是由△ABD沿着AD折叠得到的
∴AB=AE，∠BAD=∠EAD
在△ABD与△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD=ED，∠B=∠AED=90°
∵AB=BC，∠B=90°
∴∠C=45°
∴∠CDE=45°
∴∠C=∠CDE
∴CE=DE
∴BD=CE
∴AC=AE+CE
∴AC=AB+BD
（2）解：在AB上截取AE=AC
∵AD是∠BAC的平分线， 如图2，
∴∠CAD=∠EAD
在△ACD与△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=DE，∠C=∠AED
∵∠C=2∠B
∴∠AED=2∠B
∵∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
∴BE=CD
∵AB=AE+BE
∴AB=AC+CD
（3）BD=AB+AC
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）BD=AB+AC，理由如下：
如图3所示，延长CA至E，使得AE=AB，连接DE，
∵AD是△ABC的外角的平分线，
∴∠EAD=∠BAD，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（SAS），
∴DB=DE，∠ADB=∠ADE，
设∠C=2α，
∵∠ABC=2∠C，则∠ABC=4α，
∴∠EAB=6α，
∴∠DAB＝
1
2
∠EAB＝3α，
∵∠ABC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE=4α-3α=α，
∴∠EDB=∠EDA+∠BDA=2α=∠C，
∴EC=ED=DB，
即BD=AC+AE=AC+AB．
【分析】（1）先通过折叠性质得到AB=AE，BD=DE，再证明△DEC是等腰直角三角形，通过等量代换即可证明结论.
（2）在AB上截取AE=AC ，证明 △ACD≌△AED ，得到CD=DE，再证明BE=DE即可.
（3）通过截长补短和等量代换得到BD=AB+AC.
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