2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第五章 第1-3（第1课时）节）培优卷
一、选择题
1．（初中数学北师大版七年级下册5.1轴对称现象练习题）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：由题意可得，
展开后的图形呈轴对称，
故选C．
【分析】根据轴对称的知识可以解答本题．
2．（2023七下·安达期末）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵纸是对折的，
∴得到的图形应该上下，左右都对称，
∴排除A、C、D，
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质即可判断.
3．（华师大版七年级数学下册10.1.2轴对称的再认识同步练习）已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD＋∠BCD＝160°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，∵△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，
∴∠BAC＋∠ACB＝ （∠BAD＋∠BCD）＝ ×160°＝80°，
在△ABC中，∠B＝180°－（∠BAC＋∠ACB）＝180°－80°＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选C．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，然后求出∠BAC＋∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠B，然后判断三角形的形状即可．
4．（轴对称的性质++++++++++）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠1：∠2：∠3=7：2：1，
∴设∠1=7x，∠2=2x，∠3=x，
由∠1+∠2+∠3=180°得：
7x+2x+x=180°，
解得x=18，
故∠1=7×18=126°，∠2=2×18=36°，∠3=1×18=18°，
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
∴∠DCA=∠E=∠3=18°，∠2=∠EBA=∠D=36°，∠4=∠EBA+∠E=36°+18°=54°，
∠5=∠2+∠3=18°+36°=54°，
故∠EAC=∠4+∠5=54°+54°=108°，
在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，
∴△EGF∽△CAF，
∴α=∠EAC=108°．
故选B．
【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．
5．（2023七下·冷水滩期末）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．三角形与三角形的周长相等
B．且
C．
D．连接，则三条线段不仅平行而且相等
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：A、∵与关于直线对称，∴C△ABC=C△A'B'C'，故A正确，不符合题意；
B、∵与关于直线对称，∴AM=A'M，AA'⊥，故B正确，不符合题意；
C、∵与关于直线对称，，，∴∠C=∠C'=30°，∴∠B=180°-∠A-∠C=100°，故C正确，不符合题意；
D、∵与关于直线对称，∴AA'//BB'//CC'，但不一定相等，故D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称的性质及三角形的内角和逐项判断即可.
6．（2022七下·上城期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：
EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°-（∠BFP+∠CGP）＝360°-236°＝124°，
∴∠FPG＝180°-（∠PFG+∠PGF）＝180°-124°＝56°.
故答案为：C.
【分析】由长方形的性质可得AD∥BC，可得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，从而得出∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可知EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，从而得出∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，继而求出∠FPG的度数.
7．（2023八上·杭州月考）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a（0°＜a＜180°），则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．a﹣45° C．a D．90°﹣a
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE，过点A作AF⊥CD于点F，
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠BAC=∠EAC，
∵AB=AD，
∴AD=AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠CAF=∠BAD=a ，
又∵∠AFE=90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE=90°- a，
∴∠ACB=∠ACE=90°- a.
故答案为：D.
【分析】连接BE，过点A作AF⊥CD于点F，由轴对称的性质得AB=AE，∠BAC=∠EAC，结合已知可得AD=AE，由等腰三角形的三线合一得∠DAF=∠EAF，则∠CAF=∠BAD=a ，进而根据直角三角形的量锐角互余得∠ACE=90°- a，最后再根据轴对称的性质可得∠ACB的度数.
8．（2021八上·五常期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）
A．13 B．14 C．13或14 D．9或12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：
当腰长为5，底边长为4时，周长为： ；
当腰长为4，底边长为5时，周长为： ；
故答案为：C．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质求周长即可。
9．（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：延长 ，交 于F，
是等腰三角形， ，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】延长 ，交 于F，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，
10．（2023八上·东阿月考）如图，≌，点在线段上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，
，，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：D ．
【分析】根据全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解。由三角形全等可知，，，，进而得到，再由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出，即可得到的大小．
二、填空题
11．（2023·新疆）如图，在中，若，，，则 ．
【答案】52
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+∠BAD，
∴180°-2∠C=24°+∠C，
∴∠C=52°，
故答案为：52.
【分析】先利用等边对等角的性质可得∠B=∠C，∠B=∠BAD，再结合∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+∠BAD，将数据代入求出∠C=52°即可。
12．（2023八上·宁远期中）已知，在中，，，P为直线上一点，且，则的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
①当点P在线段上时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
②当点P在B点左侧时如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案：或；
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解。分P在线段上与B点左侧两类，结合三角形内外角关系即可得到答案．
13．（2024八上·浑江期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由图1可知，AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE=，由图2可知，∠FEG=∠BFE=，∴∠FGD=∠FEG+∠BFE=，又∵FC∥GD，∴∠CFG=，由图3可知，∠CFG=，
则∠CFE=∠CFG-∠FEG==。
故答案为：。
【分析】利用平行直线，找到角度间的关系∠DEF=∠BFE=，然后利用图形翻折，得到∠FEG=∠BFE=，在根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠CFG=，最终通过倒角求出∠CFE的度数。
14．（2018八上·仙桃期末）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为 .
【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，
∴DF=CD，∠EFD=∠C，
∴DF=BD，
∴∠BFD=∠B，
∵∠A=180°-∠C-∠B，∠AFE=180°-∠EFD-∠DFB，
∴∠A=∠AFE，
∵∠AEF=50°，
∴∠A= （180°-50°）=65°.
【分析】由点D为BC的中点，得BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得DF=BD，根据等腰三角形的性质得∠BFD=∠B，由三角形的内角和与平角的定义得∠A=∠AFE，于是求出∠A的度数.
15．（2022·西城模拟）如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B= °．
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，
∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°，
∴∠B=180°-90°-40°=50°，
故答案为：50．
【分析】由折叠的性质可得∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，利用平角的定义分别求出∠BDE，∠BED的度数，再根据三角形内角和定理求出∠B的度数即可.
16．（2023八上·岳池期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、.并连接、.根据图中标示的角度，则的度数为 .
【答案】132°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称图形
【解析】【解答】解：
连接AD，如图，
由对称轴性质可得
故答案为： 132° .
【分析】先利用三角形内角和定理求得的度数，连接AD，根据轴对称的性质即可求解.
三、解答题
17．如图所示的方格纸中，请你把任意五个方格涂黑，使这五个方格构成一个轴对称图形（图形不能重复，至少设计三个）．
【答案】解：如图：
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可画出图形．
18．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【答案】（1）E；∠D
（2）3
（3）解：∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°-30°＝78°，
再根据对称性，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D，
故答案为：E；∠D；
（2）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，
∴CF=BC-BF=5-2=3，
故答案为：3.
【分析】（1）利用轴对称的性质可得点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D；
（2）利用轴对称的性质可得DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，再利用线段的和差及等量代换求出CF的长即可；
（3）先利用角的运算求出∠CAE的度数，再利用轴对称的性质可得∠EAF＝＝39°．
19．（2023九上·太原月考） 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则，
在和中，
，
（2）解：，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由矩形及折叠可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，根据AAS证明△DAF≌△ECF；
（2）由全等三角形的性质可得∠DAF=∠ECF=40°，由矩形的性质可得∠DAB=90°，从而求出∠EAB的度数，由折叠可得 ，继而得解.
20．如图，在中，于点于点，交AC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若是AC的中点，求证：.
【答案】（1）解：
.
，
.
在Rt中，.
，
；
（2）证明：如图，连结BF.
，且是AC的中点，
，
∴∠BFC=90°，
∴，
又∵
.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由邻补角求出∠DFC的度数，由垂直得出∠FDC=∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余及等边对等角可得∠A=∠C=65°，最后根据四边形的内角和定理可算出∠EDF的度数；
（2）由等腰三角形的三线合一得BF⊥AC，∠CBF=∠ABC，进而根据同角的余角相等可得∠CFD=∠CBF，从而可得出结论.
21．（2019七下·深圳期末）如图，E，F分别是等边△ABC边AB，AC上的点，且AE＝CF，CE，BF交于点P．
（1）证明：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
【答案】（1）证明∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE＝BF
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
即：∠BPC＝120°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，根据SAS可证△BCE≌△ABF，利用全等三角形的对应边相等即证结论；
（2）利用全等三角形的对应角相等，可得∠BCE＝∠ABF，从而可得∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，根据三角形的内角和可得∠BPC=180°- (∠PBC+∠PCB)，从而求出结论.
22．（2023八上·怀仁期中）如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．
（1）请说出的理由；
（2）试说出的理由；
（3）试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明．
【答案】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，点、、在同一条直线上，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴（全等三角形的对应边相等），
又∵，
∴是等边三角形（有一内角为度的等腰三角形为等边三角形）．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）根据三角形全等的性质得到，进而结合题意运用三角形全等的判定证明即可求解；
（3）先根据三角形全等的性质得到，进而根据三角形全等的判定即可求解。
23．（2023七下·洋县期末）[问题背景]如图，在中，点D为边上一点，连接并延长到点E，使得，过点E作交于点F，交于点G．
（1）[问题探究]
试说明：点D是的中点；
（2）[问题拓展]
若．
①，，求的长；
②，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
即点D是的中点．
（2）解：①∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
②∵，，
∴．
由（1）知，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得：，再利用“ASA”证明，得到：，即可得证；
（2）①由（1）中的全等得：，再根据，即可求出BG；
②根据等腰三角形的性质得：，再根据平行线的性质得：，最后根据三角形的内角和定理和已知条件即可求出∠A.
24．（2023七下·朝阳期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点落在点的位置．
（1）如图，当点落在边上时，若，求的大小．
（2）如图，当点落在内部时，若，，求的大小．
（3）当点落在外部时，
如图，若，，则
如图，、和的数量关系为 ．
【答案】（1）解：由折叠可知： ∠DA E=∠A=35° ，
，
；
（2）解：由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
；
（3）；
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）如图，由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，由折叠可知：，，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
【分析】⑴、由折叠可知∠DA E=∠A，然后利用三角形内角和求∠ADA ，再利用邻补角数量关系求解即可；或利用三角形外角知识也可。
⑵、由折叠可知△ADE和△A DE对应角相等，由邻补角及已知可求∠AEA ，进而求∠AED，然后利用三角形内角和再求∠ADE，进而求出∠ADA ，再一次利用邻补角求∠BDA 的度数。
⑶、①由图以及折叠可知∠CEA 与∠CEA的和是∠AED的2倍，可求∠AED的度数，再利用三角形内角和可求∠ADE的度数，进而求∠BDA 的度数。
②、因为图3是把角A折叠到边AC下方，图4是将角A折叠到边AB上方，位置不同，但分析方法相同，故可以找到三角之间的数量关系。
1 / 12024年北师大版数学七年级下册周测卷（第五章 第1-3（第1课时）节）培优卷
一、选择题
1．（初中数学北师大版七年级下册5.1轴对称现象练习题）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·安达期末）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（华师大版七年级数学下册10.1.2轴对称的再认识同步练习）已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD＋∠BCD＝160°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
4．（轴对称的性质++++++++++）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
5．（2023七下·冷水滩期末）如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．三角形与三角形的周长相等
B．且
C．
D．连接，则三条线段不仅平行而且相等
6．（2022七下·上城期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
7．（2023八上·杭州月考）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a（0°＜a＜180°），则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．a﹣45° C．a D．90°﹣a
8．（2021八上·五常期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）
A．13 B．14 C．13或14 D．9或12
9．（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
10．（2023八上·东阿月考）如图，≌，点在线段上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·新疆）如图，在中，若，，，则 ．
12．（2023八上·宁远期中）已知，在中，，，P为直线上一点，且，则的度数为 ．
13．（2024八上·浑江期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是 .
14．（2018八上·仙桃期末）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为 .
15．（2022·西城模拟）如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B= °．
16．（2023八上·岳池期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、.并连接、.根据图中标示的角度，则的度数为 .
三、解答题
17．如图所示的方格纸中，请你把任意五个方格涂黑，使这五个方格构成一个轴对称图形（图形不能重复，至少设计三个）．
18．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
19．（2023九上·太原月考） 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．如图，在中，于点于点，交AC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若是AC的中点，求证：.
21．（2019七下·深圳期末）如图，E，F分别是等边△ABC边AB，AC上的点，且AE＝CF，CE，BF交于点P．
（1）证明：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
22．（2023八上·怀仁期中）如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．
（1）请说出的理由；
（2）试说出的理由；
（3）试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明．
23．（2023七下·洋县期末）[问题背景]如图，在中，点D为边上一点，连接并延长到点E，使得，过点E作交于点F，交于点G．
（1）[问题探究]
试说明：点D是的中点；
（2）[问题拓展]
若．
①，，求的长；
②，，求的度数．
24．（2023七下·朝阳期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点落在点的位置．
（1）如图，当点落在边上时，若，求的大小．
（2）如图，当点落在内部时，若，，求的大小．
（3）当点落在外部时，
如图，若，，则
如图，、和的数量关系为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：由题意可得，
展开后的图形呈轴对称，
故选C．
【分析】根据轴对称的知识可以解答本题．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵纸是对折的，
∴得到的图形应该上下，左右都对称，
∴排除A、C、D，
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质即可判断.
3．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，∵△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，
∴∠BAC＋∠ACB＝ （∠BAD＋∠BCD）＝ ×160°＝80°，
在△ABC中，∠B＝180°－（∠BAC＋∠ACB）＝180°－80°＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选C．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，然后求出∠BAC＋∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠B，然后判断三角形的形状即可．
4．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠1：∠2：∠3=7：2：1，
∴设∠1=7x，∠2=2x，∠3=x，
由∠1+∠2+∠3=180°得：
7x+2x+x=180°，
解得x=18，
故∠1=7×18=126°，∠2=2×18=36°，∠3=1×18=18°，
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
∴∠DCA=∠E=∠3=18°，∠2=∠EBA=∠D=36°，∠4=∠EBA+∠E=36°+18°=54°，
∠5=∠2+∠3=18°+36°=54°，
故∠EAC=∠4+∠5=54°+54°=108°，
在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，
∴△EGF∽△CAF，
∴α=∠EAC=108°．
故选B．
【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．
5．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：A、∵与关于直线对称，∴C△ABC=C△A'B'C'，故A正确，不符合题意；
B、∵与关于直线对称，∴AM=A'M，AA'⊥，故B正确，不符合题意；
C、∵与关于直线对称，，，∴∠C=∠C'=30°，∴∠B=180°-∠A-∠C=100°，故C正确，不符合题意；
D、∵与关于直线对称，∴AA'//BB'//CC'，但不一定相等，故D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称的性质及三角形的内角和逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：
EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，
∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°-（∠BFP+∠CGP）＝360°-236°＝124°，
∴∠FPG＝180°-（∠PFG+∠PGF）＝180°-124°＝56°.
故答案为：C.
【分析】由长方形的性质可得AD∥BC，可得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，从而得出∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可知EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，从而得出∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，继而求出∠FPG的度数.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE，过点A作AF⊥CD于点F，
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠BAC=∠EAC，
∵AB=AD，
∴AD=AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠CAF=∠BAD=a ，
又∵∠AFE=90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE=90°- a，
∴∠ACB=∠ACE=90°- a.
故答案为：D.
【分析】连接BE，过点A作AF⊥CD于点F，由轴对称的性质得AB=AE，∠BAC=∠EAC，结合已知可得AD=AE，由等腰三角形的三线合一得∠DAF=∠EAF，则∠CAF=∠BAD=a ，进而根据直角三角形的量锐角互余得∠ACE=90°- a，最后再根据轴对称的性质可得∠ACB的度数.
8．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：
当腰长为5，底边长为4时，周长为： ；
当腰长为4，底边长为5时，周长为： ；
故答案为：C．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质求周长即可。
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：延长 ，交 于F，
是等腰三角形， ，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】延长 ，交 于F，根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，
，，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：D ．
【分析】根据全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解。由三角形全等可知，，，，进而得到，再由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出，即可得到的大小．
11．【答案】52
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+∠BAD，
∴180°-2∠C=24°+∠C，
∴∠C=52°，
故答案为：52.
【分析】先利用等边对等角的性质可得∠B=∠C，∠B=∠BAD，再结合∠BAC=180°-∠B-∠C=∠CAD+∠BAD，将数据代入求出∠C=52°即可。
12．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
①当点P在线段上时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
②当点P在B点左侧时如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案：或；
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解。分P在线段上与B点左侧两类，结合三角形内外角关系即可得到答案．
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由图1可知，AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE=，由图2可知，∠FEG=∠BFE=，∴∠FGD=∠FEG+∠BFE=，又∵FC∥GD，∴∠CFG=，由图3可知，∠CFG=，
则∠CFE=∠CFG-∠FEG==。
故答案为：。
【分析】利用平行直线，找到角度间的关系∠DEF=∠BFE=，然后利用图形翻折，得到∠FEG=∠BFE=，在根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠CFG=，最终通过倒角求出∠CFE的度数。
14．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，
∴DF=CD，∠EFD=∠C，
∴DF=BD，
∴∠BFD=∠B，
∵∠A=180°-∠C-∠B，∠AFE=180°-∠EFD-∠DFB，
∴∠A=∠AFE，
∵∠AEF=50°，
∴∠A= （180°-50°）=65°.
【分析】由点D为BC的中点，得BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得DF=BD，根据等腰三角形的性质得∠BFD=∠B，由三角形的内角和与平角的定义得∠A=∠AFE，于是求出∠A的度数.
15．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，
∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°，
∴∠B=180°-90°-40°=50°，
故答案为：50．
【分析】由折叠的性质可得∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，利用平角的定义分别求出∠BDE，∠BED的度数，再根据三角形内角和定理求出∠B的度数即可.
16．【答案】132°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称图形
【解析】【解答】解：
连接AD，如图，
由对称轴性质可得
故答案为： 132° .
【分析】先利用三角形内角和定理求得的度数，连接AD，根据轴对称的性质即可求解.
17．【答案】解：如图：
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可画出图形．
18．【答案】（1）E；∠D
（2）3
（3）解：∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°-30°＝78°，
再根据对称性，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D，
故答案为：E；∠D；
（2）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，
∴CF=BC-BF=5-2=3，
故答案为：3.
【分析】（1）利用轴对称的性质可得点C的对应点是E，∠B的对应角是∠D；
（2）利用轴对称的性质可得DE=BC=5，BF=DF=2，CF=EF，再利用线段的和差及等量代换求出CF的长即可；
（3）先利用角的运算求出∠CAE的度数，再利用轴对称的性质可得∠EAF＝＝39°．
19．【答案】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则，
在和中，
，
（2）解：，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由矩形及折叠可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，根据AAS证明△DAF≌△ECF；
（2）由全等三角形的性质可得∠DAF=∠ECF=40°，由矩形的性质可得∠DAB=90°，从而求出∠EAB的度数，由折叠可得 ，继而得解.
20．【答案】（1）解：
.
，
.
在Rt中，.
，
；
（2）证明：如图，连结BF.
，且是AC的中点，
，
∴∠BFC=90°，
∴，
又∵
.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由邻补角求出∠DFC的度数，由垂直得出∠FDC=∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余及等边对等角可得∠A=∠C=65°，最后根据四边形的内角和定理可算出∠EDF的度数；
（2）由等腰三角形的三线合一得BF⊥AC，∠CBF=∠ABC，进而根据同角的余角相等可得∠CFD=∠CBF，从而可得出结论.
21．【答案】（1）证明∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE＝BF
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
即：∠BPC＝120°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，根据SAS可证△BCE≌△ABF，利用全等三角形的对应边相等即证结论；
（2）利用全等三角形的对应角相等，可得∠BCE＝∠ABF，从而可得∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，根据三角形的内角和可得∠BPC=180°- (∠PBC+∠PCB)，从而求出结论.
22．【答案】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，点、、在同一条直线上，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴（全等三角形的对应边相等），
又∵，
∴是等边三角形（有一内角为度的等腰三角形为等边三角形）．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）根据三角形全等的性质得到，进而结合题意运用三角形全等的判定证明即可求解；
（3）先根据三角形全等的性质得到，进而根据三角形全等的判定即可求解。
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
即点D是的中点．
（2）解：①∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
②∵，，
∴．
由（1）知，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得：，再利用“ASA”证明，得到：，即可得证；
（2）①由（1）中的全等得：，再根据，即可求出BG；
②根据等腰三角形的性质得：，再根据平行线的性质得：，最后根据三角形的内角和定理和已知条件即可求出∠A.
24．【答案】（1）解：由折叠可知： ∠DA E=∠A=35° ，
，
；
（2）解：由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
；
（3）；
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）如图，由折叠可知：，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
如图，由折叠可知：，，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
【分析】⑴、由折叠可知∠DA E=∠A，然后利用三角形内角和求∠ADA ，再利用邻补角数量关系求解即可；或利用三角形外角知识也可。
⑵、由折叠可知△ADE和△A DE对应角相等，由邻补角及已知可求∠AEA ，进而求∠AED，然后利用三角形内角和再求∠ADE，进而求出∠ADA ，再一次利用邻补角求∠BDA 的度数。
⑶、①由图以及折叠可知∠CEA 与∠CEA的和是∠AED的2倍，可求∠AED的度数，再利用三角形内角和可求∠ADE的度数，进而求∠BDA 的度数。
②、因为图3是把角A折叠到边AC下方，图4是将角A折叠到边AB上方，位置不同，但分析方法相同，故可以找到三角之间的数量关系。
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