2024年北师大版数学七年级下册周测卷（第五章 第3（第2课时 ）-4节）培优卷
一、选择题
1．（2023·衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G，连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·安顺）已知 ，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2023·德阳）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·达州）如图，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·凉山）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·荆州）如图，在 中， ， ，点D，P分别是图中所作直线和射线与 ， 的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·黄石）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．（2022八上·上虞期末）如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形.则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020八上·武汉月考）如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形.
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
11．（2012·遵义）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．
13．（2023·沈阳）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
⑴点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
⑵分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
⑶作射线交直线于点；若，则 度．
14．（2022·郴州）如图.在 中， ， .以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G.若 ，则 的周长等于 cm.
15．（2021·威海）如图，在 中， ，分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若 ，则 ．
16．（2021八下·清新期中）如图，等腰中，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的度数是 ．
三、解答题
17．（2023八上·沧州月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形，每个小正方形的顶点称为格点）中完成下列各题：
（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的图形；
（2）在上画出点P，使最小；
（3）在上画出点Q，使Q到B，C两点的距离相等；
（4）四边形的面积为 ．
18．（2023八上·天津市期中）如图所示，在中，为的中点，，交的平分线于点，于点，交延长线于点．求证：．
19．（2023八上·鸠江月考）如图，已知中，是的角平分线，于E点．
（1）求的度数；
（2）若，求．
20．（2023八上·吉林月考）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）试说明：BE=BF；
（2）若△ABC的面积为81，AB=15，DE=6，则BC的长为
21．（2023八上·庄浪期中） 如图，在△ABC中，∠C＝90°， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．
（1）CF＝EB；
（2）∠CBA+∠AFD＝180°．
22．（2023七下·崂山期末）已知是的平分线，点P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，．
（1）【发现问题】
如图①，当，时，则与的数量关系是 ．
（2）【探究问题】
如图②，点C，D在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
23．（2023八上·潼南期中）请完成下面的说明：
（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC＝90°﹣∠A．
（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC＝90°+∠A．
（3）根据（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？
24．（2023八上·章贡期中）我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果，，对角线BD平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”.
图1
图2
图3
（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形”ABCD中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是 ；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
（2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；
（3）探究应用：如图3，在等腰中，，BD平分，
求证：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知，AB是∠BAC的角平分线，
∴∠BAG=∠CAG；
A、当AB=AC时，∵AB是∠BAC的角平分线，∴BG=CG，故A选项不符合题意；
B、当AG⊥BC时，∠AGB=∠AGC=90°， 又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，∴△ABG≌△ACG (ASA)，∴BG=CG，故B选项不符合题意；
C、当∠DGB=∠EGC时，∵AD=AE，∠BAG=∠CAG，AG=AG，
∴△ADG≌△AEG(SAS)，
∴∠AGD=∠AGE
又∠DGB=∠EGC，
∴∠AGD+∠DGB=∠AGE +∠EGC，
即∠AGB=∠AGC，
∵∠AGB+∠AGC=180°，
∴∠AGB=∠AGC=90°，同B选项一样即可得出BG=CG，故此选项不符合题意；
D、当AG=AC时，不能证明出BG=CG，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题中所给的作图步骤知，AB是∠BAC的角平分线，得∠BAG=∠CAG；从而根据等腰三角形的三线合一可判断A选项；利用ASA判断出△ABG≌△ACG，根据全等三角形的对应边相等可得BG=CG，据此可判断B选项；利用SAS判断出△ADG≌△AEG，得∠AGD=∠AGE，推出∠AGB=∠AGC=90°，同B选项一样即可得出BG=CG，据此可判断C选项，结合已知及D选项的条件无论如何也判断不出BG=CG，据此可判断D选项.
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故答案为：D．
【分析】A、是以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点P，这样的作图只能保证BA=BP，即满足BC=BP+PC=BA+PC；B、根据图来看作的是AC的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出PA=PC，故只能保证BC=BP+PC=BP+PA； C、是以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交BC于点P，这样的作图只能保证CA=CP，即满足BC=BP+PC=CA+BP；B、根据图来看作的是AB的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，故能保证BC=BP+PC=AP+PC.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故答案为：C.
【分析】由垂直平分线的性质求出EB的长，然后根据线段间的和差关系求BC即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，
∵，MF为∠NMB的角平分线，
∴∠BMF=70°，
∴∠MFD=110°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，进而根据角平分线的性质结合题意即可得到∠BMF=70°，从而即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴∠1=∠ACE=35°，
∴∠BCD=70°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质得到∠1=∠ACE=35°，最后根据三角形内角和定理即可求解。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DM为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴∠ABD=∠A=40°，∠C=∠ABC=70°，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到DM为AB的垂直平分线，进而运用垂直平分线的性质得到AD=BD，再运用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，
∴ ， ；选项A、B正确；
∵ ，
∴∠ACD=∠A =40°，
∵ ， ，
∴∠ABC=∠ACB =70°，
∴ ，选项D错误；
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故答案为：D
【分析】根据作图过程可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，然后由角平分线的定义和垂直平分线的性质可知AD=CD，∠ABP=∠CBP，结合∠A的度数，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB，则∠PBC和∠BPC可求.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE=2cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD=11，
∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm）.
故答案为：C.
【分析】由作法得MN垂直平分AC，则DA=DC，AE=CE=2cm，结合△ABD的周长可得AB+BC=11，进而不难求出△ABC的周长.
9．【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：与△ABC成轴对称的格点三角形一共4个，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解．
10．【答案】B
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，左右对称的有4个，
如图，上下对称的有1个，
如图，关于正方形的对角线对称的有2个，
∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形.
故答案为：B.
【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果这个图形能与另一个图形完全重合，那么这两个图形就关于这条直线对称，据此得出左右对称的有4个，上下对称的有1个，关于正方形的对角线对称的有2个，即可得出答案.
11．【答案】13
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
故一共有13做法，
故答案为：13．
【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
12．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
（AAS）
∴△DEC≌△DFC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答：△BCD的面积是4．
故答案为：4．
【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
13．【答案】58
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG.
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=29°，
∴∠BEF=2∠BEG=58°.
故答案为：58.
【分析】由作图可得：EG平分∠BEF，则∠BEF=2∠BEG，根据平行线的性质可得∠BEG=∠EGF=29°，据此求解.
14．【答案】8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8.
【分析】根据作图步骤可得AF为∠CAB的平分线，根据角平分线的性质可得CF=GF，由已知条件可知AC=BC，则△BFG的周长为BG+BF+FG=(AB-AG)+BF+CF=(AB-AG)+BC=AB-BC+BC=AB，据此解答.
15．【答案】2 -180°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中， ，
∴∠B＋∠C＝180° ∠BAC＝180° ，
即∠MAB＋∠NAC＝180° ，
则∠MAN＝∠BAC （∠MAB＋∠NAC）＝ （180° ）＝2 -180°．
故答案是：2 -180°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，计算得到答案即可。
16．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAE-∠CAE=60°．
故答案为：60°
【分析】由AB=AC，∠B=40°，根据等边对等脚可以得出角C的度数，再根据AC边的垂直平分线交BC于点E，再根据等边对等角得出∠CAE=∠C=40°，再根据三角形的内角和求出∠BAE的度数即可。
17．【答案】（1）解：见解析：为所求；
（2）解：见解析：点P为所求；连接交于点P，
点C与点关于对称，
，
此时最小；
（3）解：见分析：点Q为所求；取格点H，G，连接并延长交于点Q，
是的垂直平分线，
，
Q到B，C两点的距离相等；
（4）12
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（4）四边形的面积为：，
故答案为：12
【分析】（1）根据作图-轴对称即可求解；
（2）根据轴对称-最短距离问题，连接交于点P，点P为所求。
（3）根据作图-垂直平分线即可求解；
（4）根据题意结合四边形面积的计算公式即可求解。
18．【答案】证明：连接、，
，为中点，
∴垂直平分，
，
，，且平分，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接EB、EC，由垂直平分线的性质得EB=EC，再由“HL"可证Rt△BFE≌Rt△CGE，可得BF=CG.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过D作于F．
∵是的角平分线，，
∴，
又∵，且，
∴
．
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠BAC=60°，∠BAD=30°，再由求解；
（2）过D作于F．根据角平分线的性质定理可得，再由求解．
20．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥BC，
∴∠DBE=∠DBF，∠BED=∠BFD=90°，在△BDE和△BDF中，
∴△BDE≌△BDF （AAS），∴BE=BF
（2）12
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵△BDE≌△BDF （AAS）
∴DE=DF
∵DE⊥AB， DF⊥BC
∴
=
=
解得：BC=12
故答案为：12
【分析】（1）根据角平分线性质可得∠DBE=∠DBF，再根据全等三角形判定定理可得△BDE≌△BDF，则BE=BF，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得DE=DF，由，代入相应值计算即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC．
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
在Rt△DCF和Rt△DEB中
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴∠DFC＝∠B．
∵∠DFC+∠AFD＝180°，
∴∠CBA+∠AFD＝180°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质定理，可得CD=ED，根据“HL”证明，即根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据可得∠CBA=∠CFD，再根据补角的定义，即可求证．
22．【答案】（1）
（2）解：点P点作于E，于F，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
由（1）知：，
在和中
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得PC=PD；
（2）仍然成立。如图，可根据AAS证明△PCE≌△PDF，从而得到PC=PD.
23．【答案】（1）解：如图1，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠CBA＝180°，
∴∠EBC+∠FCB＝180°+∠A，
∵BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，
∴∠2+∠3=12(∠EBC+∠FCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，
∴∠BGC=180° (∠2+∠3)=90° 12∠A
（2）解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，
∴，
即；
（3）解：∠BGC和∠BIC的关系是互补．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）本题利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
可得，∠EBC+∠FCB = ∠A+∠ACB +∠A+∠ABC=180°+∠A，
再根据BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，可得∠2+∠3=12(∠EBC+∠FCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，所以∠BGC=180° (∠2+∠3)=90° 12∠A .
（2）由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB可得，所以 ，即 .
（3）∠BGC+∠BIC=90° 12∠A+90°+12∠A=180°，所以∠BGC和∠BIC的关系是互补．
24．【答案】（1）③
（2）解：如图2，过点D作交BA延长线于点E，于点F，
图2
∵BD平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在BC时截取，连接DK，
图3
∵，，
∴，
∵BD平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵BD平分，∠A=90°，∠C=90°
∴DAA=DC
∴根据角平分线的性质可得AD=CD
故答案为：③
【分析】（1）根据角平分线的性质即可求出答案.
（2）过点D作交BA延长线于点E，于点F，根据角平分线性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）在BC时截取，连接DK，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，再据三角形内角和定理可得，即，再进行角之间的转换可得，则，所以，即可求出答案.
1 / 12024年北师大版数学七年级下册周测卷（第五章 第3（第2课时 ）-4节）培优卷
一、选择题
1．（2023·衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G，连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知，AB是∠BAC的角平分线，
∴∠BAG=∠CAG；
A、当AB=AC时，∵AB是∠BAC的角平分线，∴BG=CG，故A选项不符合题意；
B、当AG⊥BC时，∠AGB=∠AGC=90°， 又∠BAG=∠CAG，且AG=AG，∴△ABG≌△ACG (ASA)，∴BG=CG，故B选项不符合题意；
C、当∠DGB=∠EGC时，∵AD=AE，∠BAG=∠CAG，AG=AG，
∴△ADG≌△AEG(SAS)，
∴∠AGD=∠AGE
又∠DGB=∠EGC，
∴∠AGD+∠DGB=∠AGE +∠EGC，
即∠AGB=∠AGC，
∵∠AGB+∠AGC=180°，
∴∠AGB=∠AGC=90°，同B选项一样即可得出BG=CG，故此选项不符合题意；
D、当AG=AC时，不能证明出BG=CG，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题中所给的作图步骤知，AB是∠BAC的角平分线，得∠BAG=∠CAG；从而根据等腰三角形的三线合一可判断A选项；利用ASA判断出△ABG≌△ACG，根据全等三角形的对应边相等可得BG=CG，据此可判断B选项；利用SAS判断出△ADG≌△AEG，得∠AGD=∠AGE，推出∠AGB=∠AGC=90°，同B选项一样即可得出BG=CG，据此可判断C选项，结合已知及D选项的条件无论如何也判断不出BG=CG，据此可判断D选项.
2．（2018·安顺）已知 ，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故答案为：D．
【分析】A、是以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点P，这样的作图只能保证BA=BP，即满足BC=BP+PC=BA+PC；B、根据图来看作的是AC的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出PA=PC，故只能保证BC=BP+PC=BP+PA； C、是以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交BC于点P，这样的作图只能保证CA=CP，即满足BC=BP+PC=CA+BP；B、根据图来看作的是AB的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，故能保证BC=BP+PC=AP+PC.
3．（2021·淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故答案为：C.
【分析】由垂直平分线的性质求出EB的长，然后根据线段间的和差关系求BC即可.
4．（2023·德阳）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，
∵，MF为∠NMB的角平分线，
∴∠BMF=70°，
∴∠MFD=110°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，进而根据角平分线的性质结合题意即可得到∠BMF=70°，从而即可求解。
5．（2023·达州）如图，，平分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴∠1=∠ACE=35°，
∴∠BCD=70°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质得到∠1=∠ACE=35°，最后根据三角形内角和定理即可求解。
6．（2023·凉山）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DM为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵，
∴∠ABD=∠A=40°，∠C=∠ABC=70°，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到DM为AB的垂直平分线，进而运用垂直平分线的性质得到AD=BD，再运用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解。
7．（2021·荆州）如图，在 中， ， ，点D，P分别是图中所作直线和射线与 ， 的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，
∴ ， ；选项A、B正确；
∵ ，
∴∠ACD=∠A =40°，
∵ ， ，
∴∠ABC=∠ACB =70°，
∴ ，选项D错误；
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故答案为：D
【分析】根据作图过程可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，然后由角平分线的定义和垂直平分线的性质可知AD=CD，∠ABP=∠CBP，结合∠A的度数，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB，则∠PBC和∠BPC可求.
8．（2022·黄石）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE=2cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD=11，
∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm）.
故答案为：C.
【分析】由作法得MN垂直平分AC，则DA=DC，AE=CE=2cm，结合△ABD的周长可得AB+BC=11，进而不难求出△ABC的周长.
9．（2022八上·上虞期末）如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形.则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：与△ABC成轴对称的格点三角形一共4个，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解．
10．（2020八上·武汉月考）如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，左右对称的有4个，
如图，上下对称的有1个，
如图，关于正方形的对角线对称的有2个，
∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形.
故答案为：B.
【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果这个图形能与另一个图形完全重合，那么这两个图形就关于这条直线对称，据此得出左右对称的有4个，上下对称的有1个，关于正方形的对角线对称的有2个，即可得出答案.
二、填空题
11．（2012·遵义）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
【答案】13
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：
故一共有13做法，
故答案为：13．
【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
（AAS）
∴△DEC≌△DFC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答：△BCD的面积是4．
故答案为：4．
【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
13．（2023·沈阳）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
⑴点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
⑵分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
⑶作射线交直线于点；若，则 度．
【答案】58
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG.
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=29°，
∴∠BEF=2∠BEG=58°.
故答案为：58.
【分析】由作图可得：EG平分∠BEF，则∠BEF=2∠BEG，根据平行线的性质可得∠BEG=∠EGF=29°，据此求解.
14．（2022·郴州）如图.在 中， ， .以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G.若 ，则 的周长等于 cm.
【答案】8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8.
【分析】根据作图步骤可得AF为∠CAB的平分线，根据角平分线的性质可得CF=GF，由已知条件可知AC=BC，则△BFG的周长为BG+BF+FG=(AB-AG)+BF+CF=(AB-AG)+BC=AB-BC+BC=AB，据此解答.
15．（2021·威海）如图，在 中， ，分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若 ，则 ．
【答案】2 -180°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中， ，
∴∠B＋∠C＝180° ∠BAC＝180° ，
即∠MAB＋∠NAC＝180° ，
则∠MAN＝∠BAC （∠MAB＋∠NAC）＝ （180° ）＝2 -180°．
故答案是：2 -180°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，计算得到答案即可。
16．（2021八下·清新期中）如图，等腰中，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的度数是 ．
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAE-∠CAE=60°．
故答案为：60°
【分析】由AB=AC，∠B=40°，根据等边对等脚可以得出角C的度数，再根据AC边的垂直平分线交BC于点E，再根据等边对等角得出∠CAE=∠C=40°，再根据三角形的内角和求出∠BAE的度数即可。
三、解答题
17．（2023八上·沧州月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形，每个小正方形的顶点称为格点）中完成下列各题：
（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的图形；
（2）在上画出点P，使最小；
（3）在上画出点Q，使Q到B，C两点的距离相等；
（4）四边形的面积为 ．
【答案】（1）解：见解析：为所求；
（2）解：见解析：点P为所求；连接交于点P，
点C与点关于对称，
，
此时最小；
（3）解：见分析：点Q为所求；取格点H，G，连接并延长交于点Q，
是的垂直平分线，
，
Q到B，C两点的距离相等；
（4）12
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（4）四边形的面积为：，
故答案为：12
【分析】（1）根据作图-轴对称即可求解；
（2）根据轴对称-最短距离问题，连接交于点P，点P为所求。
（3）根据作图-垂直平分线即可求解；
（4）根据题意结合四边形面积的计算公式即可求解。
18．（2023八上·天津市期中）如图所示，在中，为的中点，，交的平分线于点，于点，交延长线于点．求证：．
【答案】证明：连接、，
，为中点，
∴垂直平分，
，
，，且平分，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接EB、EC，由垂直平分线的性质得EB=EC，再由“HL"可证Rt△BFE≌Rt△CGE，可得BF=CG.
19．（2023八上·鸠江月考）如图，已知中，是的角平分线，于E点．
（1）求的度数；
（2）若，求．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过D作于F．
∵是的角平分线，，
∴，
又∵，且，
∴
．
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠BAC=60°，∠BAD=30°，再由求解；
（2）过D作于F．根据角平分线的性质定理可得，再由求解．
20．（2023八上·吉林月考）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）试说明：BE=BF；
（2）若△ABC的面积为81，AB=15，DE=6，则BC的长为
【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥BC，
∴∠DBE=∠DBF，∠BED=∠BFD=90°，在△BDE和△BDF中，
∴△BDE≌△BDF （AAS），∴BE=BF
（2）12
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵△BDE≌△BDF （AAS）
∴DE=DF
∵DE⊥AB， DF⊥BC
∴
=
=
解得：BC=12
故答案为：12
【分析】（1）根据角平分线性质可得∠DBE=∠DBF，再根据全等三角形判定定理可得△BDE≌△BDF，则BE=BF，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得DE=DF，由，代入相应值计算即可求出答案.
21．（2023八上·庄浪期中） 如图，在△ABC中，∠C＝90°， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．
（1）CF＝EB；
（2）∠CBA+∠AFD＝180°．
【答案】（1）解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC．
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
在Rt△DCF和Rt△DEB中
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴∠DFC＝∠B．
∵∠DFC+∠AFD＝180°，
∴∠CBA+∠AFD＝180°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质定理，可得CD=ED，根据“HL”证明，即根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据可得∠CBA=∠CFD，再根据补角的定义，即可求证．
22．（2023七下·崂山期末）已知是的平分线，点P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，．
（1）【发现问题】
如图①，当，时，则与的数量关系是 ．
（2）【探究问题】
如图②，点C，D在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）
（2）解：点P点作于E，于F，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
由（1）知：，
在和中
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得PC=PD；
（2）仍然成立。如图，可根据AAS证明△PCE≌△PDF，从而得到PC=PD.
23．（2023八上·潼南期中）请完成下面的说明：
（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC＝90°﹣∠A．
（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC＝90°+∠A．
（3）根据（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？
【答案】（1）解：如图1，∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠CBA＝180°，
∴∠EBC+∠FCB＝180°+∠A，
∵BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，
∴∠2+∠3=12(∠EBC+∠FCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，
∴∠BGC=180° (∠2+∠3)=90° 12∠A
（2）解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，
∴，
即；
（3）解：∠BGC和∠BIC的关系是互补．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）本题利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
可得，∠EBC+∠FCB = ∠A+∠ACB +∠A+∠ABC=180°+∠A，
再根据BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，可得∠2+∠3=12(∠EBC+∠FCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，所以∠BGC=180° (∠2+∠3)=90° 12∠A .
（2）由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB可得，所以 ，即 .
（3）∠BGC+∠BIC=90° 12∠A+90°+12∠A=180°，所以∠BGC和∠BIC的关系是互补．
24．（2023八上·章贡期中）我们定义：如图1，在四边形ABCD中，如果，，对角线BD平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”.
图1
图2
图3
（1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形”ABCD中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是 ；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
（2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；
（3）探究应用：如图3，在等腰中，，BD平分，
求证：.
【答案】（1）③
（2）解：如图2，过点D作交BA延长线于点E，于点F，
图2
∵BD平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在BC时截取，连接DK，
图3
∵，，
∴，
∵BD平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）∵BD平分，∠A=90°，∠C=90°
∴DAA=DC
∴根据角平分线的性质可得AD=CD
故答案为：③
【分析】（1）根据角平分线的性质即可求出答案.
（2）过点D作交BA延长线于点E，于点F，根据角平分线性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）在BC时截取，连接DK，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，再据三角形内角和定理可得，即，再进行角之间的转换可得，则，所以，即可求出答案.
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