2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章） 基础卷
一、选择题
1．（2020八上·苏州期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2016八上·平凉期中）等腰三角形的两边分别为12和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．24 B．18 C．30 D．24或30
3．（2020八上·庐阳月考）等腰三角形的一个内角是70°，则它顶角的度数是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
4．（2023八上·河北期中） 如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023八上·河北期中）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·龙泉期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=3，则D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023八上·舟山月考）如图，中，D点在上，将D点分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接，根据图中标示的角度，的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·顺平期中）如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，交叉口分别为、、，形成一个，现要在三条公路形成的三角区域内建一座加油站，要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在（ ）
A．的三条高的交点处
B．的三条角平分线的交点处
C．的三条中线的交点处
D．的三条边的垂直平分线的交点处
9．（2023·息烽模拟） 如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·瑞安期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
二、填空题
11．（2020七下·来宾期末）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个。
12．（2023·青海）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .
13．（2023·湘潭）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
14．（2018·南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．
15．（2023八上·小榄期中）如图，与△关于直线对称，则的度数为 ．
16．（2023八上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AC=9，AD=5，则DE的长为 ．
三、解答题
17．（2022八上·河南开学考）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）
18．（2023八上·长沙期中）如图，网格中的和是轴对称图形．
（1）利用网格线，作出和的对称轴；
（2）如果每个小正方形的边长为1，则的面积为 ．
19．（2023八上·无为月考）如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，的长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．（2023八上·新丰期中）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
21．（2023八上·东莞期中） 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G.
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
22．（2019八下·兰州期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
23．（2023八上·舟山月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点E．
（1）已知的周长，求的长；
（2）若，，求的度数．
24．（2020八上·长春月考）
（1）[感知]
如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是 度；
（2）[探究]
如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．求证：BE=CD；
（3）[应用]
在图③中，若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）当三边是6cm，6cm，12cm时，6+6=12cm，不符合三角形的三边关系，应舍去；（2）当三边是6cm，12cm，12cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是30cm；所以这个三角形的周长是30cm．故选C．
【分析】本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为6；②腰长为12．再根据三角形的性质：三角形的任意两边的和＞第三边，任意两边之差＜第三边判断是否满足，再将满足的代入周长公式即可得出周长的值．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 本题可分两种情况：
①当 角为底角时， 顶角为 ；
② 角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为 或 ．
故答案为：B．
【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况进行讨论 ．
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图所示，过点P作PQ⊥OM于Q，
∴ PQ为点P到OM的最小值
∵ OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，
∴ PA=PQ
∴ PQ=3
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的性质和点到直线的距离。角平分线上的点到角两边的距离相等。点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度。根据 OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，过点P作PQ⊥OM可得PA=PQ=3.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD=DC
∵ AB=5cm，BC=8cm
∴的周长 =AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm
故答案为：B
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质和三角形的周长。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，三角形的周长即为三边之和。根据 DE是AC的垂直平分线可知AD=DC，则的周长可知。
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，如下图：
∵BD平分∠ABC，
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE=3，从而即可求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如下图：
由题意得：
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连接AD，根据对称的性质得到然后根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据角的运算即可求解.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：依题意， 要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在的三条边的垂直平分线的交点处 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质，即可求解．
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可求解．
10．【答案】B
【知识点】作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①作一个角的角平分线，正确；
②作一个角等于已知角，正确；
③作一条线段的垂直平分线， 不正确.
故答案为：B.
【分析】根据尺规作图-作一个角的角平分线、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线的作法逐项进行判断，即可得出答案.
11．【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在3个空白的角落处的小方格中分别画上半径相等的圆，即可得到轴对称图形.
故这样的轴对称图形共有3个.
【分析】可分别在每个空白的小方格中画上半径相等的圆，然后判断图形是否是轴对称图形，进而解决问题.
12．【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+BC=AB+AC=5=8=13.
故答案为：13.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差，将三角形ABD的周长转化为AB+AC，此题得解.
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∵，点到的距离为，
∴CD=1，
故答案为：1
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
14．【答案】24
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
【分析】根据中垂线的性质得出EA=EC，根据等边对等角得出∠EAC=∠C，根据角的和差得出∠FAC=∠EAC+19°，根据角平分线的定义得出∠FAB=∠EAC+19°，根据三角形的内角和列出方程，求解得出答案。
15．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C=∠C'=30°，
又∵∠A=50°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据轴对称的性质得△ABC≌△A'B'C'，由全等三角形对应角相等得∠C=∠C'=30°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠B的度数.
16．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=9，AD=5，
∴CD=4，
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DE=CD=4，
故答案为：4.
【分析】由线段的和差关系可得CD的长，再根据角平分线的性质求解。
17．【答案】解：如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行作图即可.
18．【答案】（1）解：由轴对称的性质可知，如图，直线即为所求；
（2）3
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（1） 由轴对称的性质可知，如图，直线即为所求；
（2）
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质即可求解；
（2）用矩形的面积减去周围3个直角三角形的面积即可求解.
19．【答案】（1）证明：，为的中线，
．
由作图可得．
在和中，
．
（2）解：，，
．
由作图可得，
．
，为的中线，
，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质即可得到，由作图可得，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2）先根据题意得到，由作图可得，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解。
20．【答案】（1）解：，，
，
又垂直平分，
，
，
（2）解：垂直平分，
，
，
又，，
周长为12．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，进而由等边对等角得到∠ABD=∠A=50°，最后根据角的运算即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，最后根据三角形周长计算方法，计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BA＝BE．
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）解：∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∵∠DAB＝60°，
∴∠BAE＝30°．
∵BG⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．
由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 (1) 先根据平行线的性质得∠DAE＝∠E，再根据角平分线的定义得∠DAE＝∠BAE，进而得BA＝BE，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证.
（2）先根据角平分线的定义和 ∠DAB＝60°得∠BAE的度数，然后根据玉娇得∠ABF，最后根据三角形内角和定理进行求解.
22．【答案】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）证明：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中， ，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可证CE=CF，利再用HL可证得结论。
（2）利用HL证明Rt△FAC≌Rt△EAC，可得到AE=AF，再由（1） 的结论，可证得BE=DF，然后再根据AB=AE+BE，AD=AF-DF，代入整理就可证得结论。
23．【答案】（1）解： 是的垂直平分线，
，
是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
，
的长为；
（2）解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到：再根据三角形的周长计算公式计算并结合线段间的数量关系即可求出的长；
（2）根据等腰三角形的性质知最后根据三角形内角和定理即可求出的度数.
24．【答案】（1）90
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED．
在△BDE和△CFD中，∵ ，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE=CD．
（3）4
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：[感知]如图1．
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°．
故答案为90．
[应用]∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2．
∵D为BC中点，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由[探究]知△BDE≌△CFD，∴BE=CD=1，DE=DF．
∵∠B=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DF=1，则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4．
故答案为4．
【分析】[感知]由等边三角形性质知∠B=∠C=60°，根据DE⊥BC，∠EDF=60°知∠BED=∠CDF=30°，据此可得答案．[探究]由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案．[应用]先得出BD=CD=CF=AF=1，再由[探究]知△BDE≌△CFD，据此得BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60°知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．
1 / 12024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章） 基础卷
一、选择题
1．（2020八上·苏州期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．（2016八上·平凉期中）等腰三角形的两边分别为12和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．24 B．18 C．30 D．24或30
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）当三边是6cm，6cm，12cm时，6+6=12cm，不符合三角形的三边关系，应舍去；（2）当三边是6cm，12cm，12cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是30cm；所以这个三角形的周长是30cm．故选C．
【分析】本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为6；②腰长为12．再根据三角形的性质：三角形的任意两边的和＞第三边，任意两边之差＜第三边判断是否满足，再将满足的代入周长公式即可得出周长的值．
3．（2020八上·庐阳月考）等腰三角形的一个内角是70°，则它顶角的度数是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 本题可分两种情况：
①当 角为底角时， 顶角为 ；
② 角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为 或 ．
故答案为：B．
【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况进行讨论 ．
4．（2023八上·河北期中） 如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图所示，过点P作PQ⊥OM于Q，
∴ PQ为点P到OM的最小值
∵ OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，
∴ PA=PQ
∴ PQ=3
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的性质和点到直线的距离。角平分线上的点到角两边的距离相等。点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度。根据 OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，过点P作PQ⊥OM可得PA=PQ=3.
5．（2023八上·河北期中）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD=DC
∵ AB=5cm，BC=8cm
∴的周长 =AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm
故答案为：B
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质和三角形的周长。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，三角形的周长即为三边之和。根据 DE是AC的垂直平分线可知AD=DC，则的周长可知。
6．（2023八上·龙泉期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=3，则D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，如下图：
∵BD平分∠ABC，
∴
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE=3，从而即可求解.
7．（2023八上·舟山月考）如图，中，D点在上，将D点分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接，根据图中标示的角度，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如下图：
由题意得：
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连接AD，根据对称的性质得到然后根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据角的运算即可求解.
8．（2023八上·顺平期中）如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，交叉口分别为、、，形成一个，现要在三条公路形成的三角区域内建一座加油站，要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在（ ）
A．的三条高的交点处
B．的三条角平分线的交点处
C．的三条中线的交点处
D．的三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：依题意， 要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在的三条边的垂直平分线的交点处 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质，即可求解．
9．（2023·息烽模拟） 如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可求解．
10．（2023八上·瑞安期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：①作一个角的角平分线，正确；
②作一个角等于已知角，正确；
③作一条线段的垂直平分线， 不正确.
故答案为：B.
【分析】根据尺规作图-作一个角的角平分线、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线的作法逐项进行判断，即可得出答案.
二、填空题
11．（2020七下·来宾期末）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个。
【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在3个空白的角落处的小方格中分别画上半径相等的圆，即可得到轴对称图形.
故这样的轴对称图形共有3个.
【分析】可分别在每个空白的小方格中画上半径相等的圆，然后判断图形是否是轴对称图形，进而解决问题.
12．（2023·青海）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .
【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+BC=AB+AC=5=8=13.
故答案为：13.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差，将三角形ABD的周长转化为AB+AC，此题得解.
13．（2023·湘潭）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∵，点到的距离为，
∴CD=1，
故答案为：1
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
14．（2018·南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 度．
【答案】24
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
【分析】根据中垂线的性质得出EA=EC，根据等边对等角得出∠EAC=∠C，根据角的和差得出∠FAC=∠EAC+19°，根据角平分线的定义得出∠FAB=∠EAC+19°，根据三角形的内角和列出方程，求解得出答案。
15．（2023八上·小榄期中）如图，与△关于直线对称，则的度数为 ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C=∠C'=30°，
又∵∠A=50°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据轴对称的性质得△ABC≌△A'B'C'，由全等三角形对应角相等得∠C=∠C'=30°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠B的度数.
16．（2023八上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AC=9，AD=5，则DE的长为 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=9，AD=5，
∴CD=4，
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DE=CD=4，
故答案为：4.
【分析】由线段的和差关系可得CD的长，再根据角平分线的性质求解。
三、解答题
17．（2022八上·河南开学考）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）
【答案】解：如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行作图即可.
18．（2023八上·长沙期中）如图，网格中的和是轴对称图形．
（1）利用网格线，作出和的对称轴；
（2）如果每个小正方形的边长为1，则的面积为 ．
【答案】（1）解：由轴对称的性质可知，如图，直线即为所求；
（2）3
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（1） 由轴对称的性质可知，如图，直线即为所求；
（2）
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质即可求解；
（2）用矩形的面积减去周围3个直角三角形的面积即可求解.
19．（2023八上·无为月考）如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，的长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，为的中线，
．
由作图可得．
在和中，
．
（2）解：，，
．
由作图可得，
．
，为的中线，
，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质即可得到，由作图可得，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2）先根据题意得到，由作图可得，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解。
20．（2023八上·新丰期中）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
【答案】（1）解：，，
，
又垂直平分，
，
，
（2）解：垂直平分，
，
，
又，，
周长为12．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，进而由等边对等角得到∠ABD=∠A=50°，最后根据角的运算即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，最后根据三角形周长计算方法，计算即可.
21．（2023八上·东莞期中） 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G.
（1）求证：BG平分∠ABE；
（2）若∠DCB＝100°，∠DAB＝60°，求∠BGC的度数．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BA＝BE．
∵BG⊥AE，
∴BG平分∠ABE；
（2）解：∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∵∠DAB＝60°，
∴∠BAE＝30°．
∵BG⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAE＝60°．
由（1）知：∠EBF＝∠ABF＝60°，
∴∠BGC＝180°﹣∠BCG﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣60°＝20°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】 (1) 先根据平行线的性质得∠DAE＝∠E，再根据角平分线的定义得∠DAE＝∠BAE，进而得BA＝BE，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证.
（2）先根据角平分线的定义和 ∠DAB＝60°得∠BAE的度数，然后根据玉娇得∠ABF，最后根据三角形内角和定理进行求解.
22．（2019八下·兰州期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
【答案】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）证明：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中， ，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可证CE=CF，利再用HL可证得结论。
（2）利用HL证明Rt△FAC≌Rt△EAC，可得到AE=AF，再由（1） 的结论，可证得BE=DF，然后再根据AB=AE+BE，AD=AF-DF，代入整理就可证得结论。
23．（2023八上·舟山月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点E．
（1）已知的周长，求的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解： 是的垂直平分线，
，
是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
，
的长为；
（2）解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到：再根据三角形的周长计算公式计算并结合线段间的数量关系即可求出的长；
（2）根据等腰三角形的性质知最后根据三角形内角和定理即可求出的度数.
24．（2020八上·长春月考）
（1）[感知]
如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是 度；
（2）[探究]
如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．求证：BE=CD；
（3）[应用]
在图③中，若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为 ．
【答案】（1）90
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED．
在△BDE和△CFD中，∵ ，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE=CD．
（3）4
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：[感知]如图1．
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°．
故答案为90．
[应用]∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2．
∵D为BC中点，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由[探究]知△BDE≌△CFD，∴BE=CD=1，DE=DF．
∵∠B=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DF=1，则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4．
故答案为4．
【分析】[感知]由等边三角形性质知∠B=∠C=60°，根据DE⊥BC，∠EDF=60°知∠BED=∠CDF=30°，据此可得答案．[探究]由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案．[应用]先得出BD=CD=CF=AF=1，再由[探究]知△BDE≌△CFD，据此得BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60°知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．
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