2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章）培优卷
一、选择题
1．（2023·长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·资阳）如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·诸暨期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．70°
4．（2024八上·榆树期末）如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2022八下·浑南期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．的三条中线的交点处
B．三边的垂直平分线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三条高所在直线的交点处
6．（2021七上·任城期中）等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°或50° B．80° C．80°或65° D．65°
7．（2021八上·平定期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN D．AB B′C′
8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
9．（2024八上·昆明期中）如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
10．（2023八上·安宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．（2023·长沙）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度．
12．（2023·广元）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．
13．（2023·丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是 。
14．（2021八上·罗庄期中）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 °．
15．（2023八上·禹城月考）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
16．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
三、解答题
17．（2021七上·新泰期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知 的三个顶点在格点上．
（1）画出 ，使它与 关于直线a对称；
（2）求出 的面积；
（3）在直线a上画出点P，使 最小
18．已知：如图，AD平分∠CAB，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC的延长线于点N，且∠NCD=∠B．求证：CN=BM．
19．（2023八上·奉贤期中）如图，点D是线段的中点，，点P是线段上的一点，射线交边于点E，于点H，过B作于点F．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
20．（2023八上·武鸣期中） 已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M.
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
21．（2023八上·英吉沙期中）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且∠BDP=∠CEP．
（1）求证：△BDP≌△CEP．
（2）若PD⊥AB，∠A＝110°，求∠EPC的度数．
22．（2017八上·济源期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．
23．（2023八上·临桂期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为点P．此时PA+PB的值最小．
（1）模型应用：
如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 ▲ cm．
（2）模型变式：
如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q、R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值.
24．（2023·兰州）综合与实践
（1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据： ；
（2）类比迁移：
小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：
A、不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；
∵平分，∴，因此C选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；
故答案为：C.
【分析】由题意可知AM平分∠CAB，然后根据角平分线的概念以及性质进行判断.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BC⊥CD，∠ACB＝25°，
∴∠ACD=65°，
∵△ABC≌△EDC，
∴AC=CE，∠DCE= ∠ACB＝25°，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠CAE=×（180°-90°）=45°，
∴∠ADC=∠DCE+∠E=70°.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质得出AC=CE，∠DCE= ∠ACB＝25°， 从而得出∠ACE=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠E=45°，利用∠ADC=∠DCE+∠E，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴，
∴△BDC的周长，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用△BDC的周长为18即求解．
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对每个选项一一判断即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°；
（2）当50°为底角时，顶角=180°-2×50°=80°．
故答案为：A．
【分析】分两种情况：①当50°角为顶角，②当50°为底角时，再利用三角形的内角和求解即可。
7．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，
∴AC＝A′C′，BO＝B′O，AA′⊥MN，但AB B′C′不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C，则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故答案为：C.
【分析】依据基本作图得到AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
11．【答案】65
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得BD=BE，
∵，
∴，
故答案为：65
【分析】先根据题意得到BD=BE，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵ ，，
∴∠BCE=，
∴∠ACB=2∠BCE=68°，
∴∠CAB=（180°-∠BCA）=56°；
故答案为：56°.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CB，利用等腰三角形的性质可得∠CAB=∠CBA，∠ACE=∠BCE，由平行线的性质可得∠BCE=，从而得出∠ACB=2∠BCE=68°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠CAB的度数.
13．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∠B=∠ADB，
∴AB=AD=4，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=DC=4.
故答案为：4
【分析】利用等角对等边可求出AD的长；再利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可求出DC的长.
14．【答案】40
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠C=∠CAE，再利用三角形的外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，再利用三角形的内角和及∠BAE=10°求出∠AEB，最后计算即可。
15．【答案】80°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图，分别作A点关于BC、DC的对称点A1、A2，连接A1A2，分别交BC、DC于点E、F，在DA延长线上取一点G；
由图形可知：AE=A1E，AF=A2F，∴=AE+EF+AF=A1E+EF+A2F=A1A2，此时周长最小；
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，∴∠DAB=130°，∠GAB=50°
又∵∠GAB=∠A2+∠A1，∴∠A2+∠A1=50°
由图形对称可得，∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，∴∠DAF+∠EAB=50°，
∠EAF=∠DAB-∠DAF-∠EAB=∠DAB-（∠DAF+∠EAB）=130°-50°=80°。
故答案为：80°。
【分析】先根据要求作图，然后用已知条件，以及四边形内角和等于360°，求出关键角∠DAB及其补角∠GAB的度数，然后利用三角形外角性质得到∠GAB=∠A2+∠A1，通过倒角∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，最终求出∠EAF的度数。
16．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CD，如图，
∵为边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD，
∴当AD+CD有最小值时，周长的最小，
当A、D、C在一条直线上时，AD+CD有最小值，此时AD+CD最小值为AC的长，
∴周长的最小值为AB+AC的值，
∵，，
∴周长的最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【分析】利用线段垂直平分线的性质，最短距离问题即可得出答案。
17．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
（2）解： =2×2- ×1×2×2- ×1×1= ．
（3）解：如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于直线a的对称点，再连接即可；
（2）利用割补法求解三角形面积即可；
（3）连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求。
18．【答案】证明： ∵AD 平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，∴ DN=DM.
又∠N=∠DMB=90°， ∠NCD=∠B，
∴△DNC≌△DMB(AAS)，
∴CN=BM.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先利用角平分线的性质说明DN=DM，再利用AAS证明△DNC≌△DMB，然后根据全等三角形的性质得出CN=BM.
19．【答案】（1）证明：∵点D是线段的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】
（1）根据 点D是线段BC的中点，AD⊥BC 可证得∠ABC＝∠C，再结合BF⊥AC，AD⊥BC及三角形内角和定理可证得结论。
（2）先证明∠EBH＝∠EBF，再证明△EBH≌△EBF，可得结论。也可在证明∠EBH＝∠EBF后根据角平分线的性质定理直接得出结论。
20．【答案】（1）解：如图作DN⊥AC于N．
∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，
∴DM＝DN＝2，
∴S△ADC＝AC DN＝；
（2）证明：∵CD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CN＝CM，
∵AD＝BD，DN＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN＝BM，
∴AC＝AN+CN＝BM+CM.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）如图作于．根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题；
（2）由，推出，由，推出，由此即可解决问题；
21．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵P为BC的中点，
∴BP＝CP，
又∵∠BDP＝∠CEP．
在△BDP和△CEP中，
，
∴△BDP≌△CEP（AAS）；
（2）解：∵∠A＝110°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝35°，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°，
在△BDP和△CEP，
，
∵△BDP≌△CEP（AAS），
∴∠PEC＝∠PDB＝90°，
在△EPC中，∠EPC＝90°-∠C＝90°-35°＝55°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据AAS可证得 △BDP≌△CEP ，即可得出 BD＝CE ；
（2）首先根据等腰三角形的性质，及三角形内角和可求得 ∠B＝∠C＝35°， 再根据垂直定义得出∠PDB＝90°， 由1）的证明过程知 △BDP≌△CEP ，从而得出 ∠PEC＝∠PDB＝90°， 进而由三角形内角和求得∠EPC的度数。
22．【答案】（1）证明：连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB﹣BE，
∴AC+CF=AB﹣BE，
∵AB=8，AC=6，
∴6+BE=8﹣BE，
∴BE=1，
∴AE=8﹣1=7．
即AE=7，BE=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得出
DE=DF，由垂直平分线的性质可得DB=DC． 利用HL判断
Rt△DBE≌Rt△DCF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论。（2）由HL判断Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，然后利用等量代换即可得出答案。
23．【答案】（1）解：①如图所示点P为所求的点：
②8；
（2）解：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点N，M，连接OM，ON，MN，
MN交OB、OA于点R、Q，连接PR，PQ．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝5∠AOB＝2×30°＝60°，
则△MON为等边三角形，
即NM＝ON＝OP＝10cm．
即△PQR周长的最小值等于10cm．
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）②∵B，C关于AH对称，
∴BP＝PC，
∴PD+PB＝CD，
∴PD+PB的最小值＝CD＝AH＝8cm，
故答案为：8；
【分析】(1) ① 过点C作，CD与AH的交点就是点P.
② 由等边三角形的性质可得点B、C关于AH对称，即BP=PC，由此可得此时PD+PB＝CD有最小值，再通过等边三角形的性质证得等边三角形的性质.
(2)分别作点P关于OA，OB的对称点N，M，MN与OB、OA的交点即为点R、Q，由轴对称性质可得NR=PR，MQ=PQ，由两点之间线段最短可得此时△PQR周长有最小值，然后利用轴对称的性质证得△MON为等边三角形，故NM＝ON＝OP＝10cm，即△PQR周长的最小值等于10cm．
24．【答案】（1）
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）解：如图，点即为所求作的点；
．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）∵DE=DE，CE=DE，CO=DO，
∴△EDO≌△ECO（SSS），
∴∠EOB=∠EOA，
∴就是的平分线，
故答案为：SSS
【分析】（1）根据三角形全等的判定（SSS）结合三角形全等的性质即可求解；
（2）先证明，进而即可得到，再根据角平分线的判定即可求解；
（3）根据题意画出∠CAB的角平分线，进而截取AE=AD即可求解。
1 / 12024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章）培优卷
一、选择题
1．（2023·长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：
A、不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是轴对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可求解。
2．（2022·资阳）如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；
∵平分，∴，因此C选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；
故答案为：C.
【分析】由题意可知AM平分∠CAB，然后根据角平分线的概念以及性质进行判断.
3．（2021八上·诸暨期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BC⊥CD，∠ACB＝25°，
∴∠ACD=65°，
∵△ABC≌△EDC，
∴AC=CE，∠DCE= ∠ACB＝25°，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠CAE=×（180°-90°）=45°，
∴∠ADC=∠DCE+∠E=70°.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质得出AC=CE，∠DCE= ∠ACB＝25°， 从而得出∠ACE=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠E=45°，利用∠ADC=∠DCE+∠E，即可得出答案.
4．（2024八上·榆树期末）如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴，
∴△BDC的周长，
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用△BDC的周长为18即求解．
5．（2022八下·浑南期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．的三条中线的交点处
B．三边的垂直平分线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三条高所在直线的交点处
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对每个选项一一判断即可。
6．（2021七上·任城期中）等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°或50° B．80° C．80°或65° D．65°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°；
（2）当50°为底角时，顶角=180°-2×50°=80°．
故答案为：A．
【分析】分两种情况：①当50°角为顶角，②当50°为底角时，再利用三角形的内角和求解即可。
7．（2021八上·平定期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN D．AB B′C′
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，
∴AC＝A′C′，BO＝B′O，AA′⊥MN，但AB B′C′不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的性质逐项判断即可。
8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：A．
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．
9．（2024八上·昆明期中）如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C，则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
10．（2023八上·安宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故答案为：C.
【分析】依据基本作图得到AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
二、填空题
11．（2023·长沙）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度．
【答案】65
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得BD=BE，
∵，
∴，
故答案为：65
【分析】先根据题意得到BD=BE，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
12．（2023·广元）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵ ，，
∴∠BCE=，
∴∠ACB=2∠BCE=68°，
∴∠CAB=（180°-∠BCA）=56°；
故答案为：56°.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CB，利用等腰三角形的性质可得∠CAB=∠CBA，∠ACE=∠BCE，由平行线的性质可得∠BCE=，从而得出∠ACB=2∠BCE=68°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠CAB的度数.
13．（2023·丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是 。
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∠B=∠ADB，
∴AB=AD=4，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=DC=4.
故答案为：4
【分析】利用等角对等边可求出AD的长；再利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可求出DC的长.
14．（2021八上·罗庄期中）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 °．
【答案】40
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠C=∠CAE，再利用三角形的外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，再利用三角形的内角和及∠BAE=10°求出∠AEB，最后计算即可。
15．（2023八上·禹城月考）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图，分别作A点关于BC、DC的对称点A1、A2，连接A1A2，分别交BC、DC于点E、F，在DA延长线上取一点G；
由图形可知：AE=A1E，AF=A2F，∴=AE+EF+AF=A1E+EF+A2F=A1A2，此时周长最小；
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，∴∠DAB=130°，∠GAB=50°
又∵∠GAB=∠A2+∠A1，∴∠A2+∠A1=50°
由图形对称可得，∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，∴∠DAF+∠EAB=50°，
∠EAF=∠DAB-∠DAF-∠EAB=∠DAB-（∠DAF+∠EAB）=130°-50°=80°。
故答案为：80°。
【分析】先根据要求作图，然后用已知条件，以及四边形内角和等于360°，求出关键角∠DAB及其补角∠GAB的度数，然后利用三角形外角性质得到∠GAB=∠A2+∠A1，通过倒角∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，最终求出∠EAF的度数。
16．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CD，如图，
∵为边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD，
∴当AD+CD有最小值时，周长的最小，
当A、D、C在一条直线上时，AD+CD有最小值，此时AD+CD最小值为AC的长，
∴周长的最小值为AB+AC的值，
∵，，
∴周长的最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【分析】利用线段垂直平分线的性质，最短距离问题即可得出答案。
三、解答题
17．（2021七上·新泰期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知 的三个顶点在格点上．
（1）画出 ，使它与 关于直线a对称；
（2）求出 的面积；
（3）在直线a上画出点P，使 最小
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
（2）解： =2×2- ×1×2×2- ×1×1= ．
（3）解：如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于直线a的对称点，再连接即可；
（2）利用割补法求解三角形面积即可；
（3）连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求。
18．已知：如图，AD平分∠CAB，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC的延长线于点N，且∠NCD=∠B．求证：CN=BM．
【答案】证明： ∵AD 平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，∴ DN=DM.
又∠N=∠DMB=90°， ∠NCD=∠B，
∴△DNC≌△DMB(AAS)，
∴CN=BM.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先利用角平分线的性质说明DN=DM，再利用AAS证明△DNC≌△DMB，然后根据全等三角形的性质得出CN=BM.
19．（2023八上·奉贤期中）如图，点D是线段的中点，，点P是线段上的一点，射线交边于点E，于点H，过B作于点F．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵点D是线段的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】
（1）根据 点D是线段BC的中点，AD⊥BC 可证得∠ABC＝∠C，再结合BF⊥AC，AD⊥BC及三角形内角和定理可证得结论。
（2）先证明∠EBH＝∠EBF，再证明△EBH≌△EBF，可得结论。也可在证明∠EBH＝∠EBF后根据角平分线的性质定理直接得出结论。
20．（2023八上·武鸣期中） 已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M.
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
【答案】（1）解：如图作DN⊥AC于N．
∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，
∴DM＝DN＝2，
∴S△ADC＝AC DN＝；
（2）证明：∵CD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CN＝CM，
∵AD＝BD，DN＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN＝BM，
∴AC＝AN+CN＝BM+CM.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）如图作于．根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题；
（2）由，推出，由，推出，由此即可解决问题；
21．（2023八上·英吉沙期中）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且∠BDP=∠CEP．
（1）求证：△BDP≌△CEP．
（2）若PD⊥AB，∠A＝110°，求∠EPC的度数．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵P为BC的中点，
∴BP＝CP，
又∵∠BDP＝∠CEP．
在△BDP和△CEP中，
，
∴△BDP≌△CEP（AAS）；
（2）解：∵∠A＝110°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝35°，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°，
在△BDP和△CEP，
，
∵△BDP≌△CEP（AAS），
∴∠PEC＝∠PDB＝90°，
在△EPC中，∠EPC＝90°-∠C＝90°-35°＝55°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据AAS可证得 △BDP≌△CEP ，即可得出 BD＝CE ；
（2）首先根据等腰三角形的性质，及三角形内角和可求得 ∠B＝∠C＝35°， 再根据垂直定义得出∠PDB＝90°， 由1）的证明过程知 △BDP≌△CEP ，从而得出 ∠PEC＝∠PDB＝90°， 进而由三角形内角和求得∠EPC的度数。
22．（2017八上·济源期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．
【答案】（1）证明：连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB﹣BE，
∴AC+CF=AB﹣BE，
∵AB=8，AC=6，
∴6+BE=8﹣BE，
∴BE=1，
∴AE=8﹣1=7．
即AE=7，BE=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得出
DE=DF，由垂直平分线的性质可得DB=DC． 利用HL判断
Rt△DBE≌Rt△DCF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论。（2）由HL判断Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE=AF，然后利用等量代换即可得出答案。
23．（2023八上·临桂期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为点P．此时PA+PB的值最小．
（1）模型应用：
如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 ▲ cm．
（2）模型变式：
如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q、R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值.
【答案】（1）解：①如图所示点P为所求的点：
②8；
（2）解：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点N，M，连接OM，ON，MN，
MN交OB、OA于点R、Q，连接PR，PQ．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝5∠AOB＝2×30°＝60°，
则△MON为等边三角形，
即NM＝ON＝OP＝10cm．
即△PQR周长的最小值等于10cm．
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）②∵B，C关于AH对称，
∴BP＝PC，
∴PD+PB＝CD，
∴PD+PB的最小值＝CD＝AH＝8cm，
故答案为：8；
【分析】(1) ① 过点C作，CD与AH的交点就是点P.
② 由等边三角形的性质可得点B、C关于AH对称，即BP=PC，由此可得此时PD+PB＝CD有最小值，再通过等边三角形的性质证得等边三角形的性质.
(2)分别作点P关于OA，OB的对称点N，M，MN与OB、OA的交点即为点R、Q，由轴对称性质可得NR=PR，MQ=PQ，由两点之间线段最短可得此时△PQR周长有最小值，然后利用轴对称的性质证得△MON为等边三角形，故NM＝ON＝OP＝10cm，即△PQR周长的最小值等于10cm．
24．（2023·兰州）综合与实践
（1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据： ；
（2）类比迁移：
小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）解：如图，点即为所求作的点；
．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）∵DE=DE，CE=DE，CO=DO，
∴△EDO≌△ECO（SSS），
∴∠EOB=∠EOA，
∴就是的平分线，
故答案为：SSS
【分析】（1）根据三角形全等的判定（SSS）结合三角形全等的性质即可求解；
（2）先证明，进而即可得到，再根据角平分线的判定即可求解；
（3）根据题意画出∠CAB的角平分线，进而截取AE=AD即可求解。
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