2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第六章）培优卷
一、选择题
1．（2023·营口）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、四边形内角和是360°，属于必然事件，故符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，属于随机事件，故不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，属于随机事件，故不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，属于随机事件，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．（2021·香洲模拟）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选A．
【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．
3．（2023·泰州）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A．试验次数越多，f越大
B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P
D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、试验次数越多，f不一定越大，A错误；
B、f可能发生变化，P不会发生变化，B错误；
CD、试验次数越多，事件发生的频率f 就稳定在相应的概率P 附近，C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】每一组数据频数与数据总数的比叫做这一组数据（或事件）的频率；事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，据此一一判断得出答案.
4．（2022·襄阳）下列说法正确的是（ ）
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
【答案】A
【知识点】事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】利用必然事件是在一定条件下，一定要发生的事件，可对A作出判断；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件，就是不可能事件，据此可判断B；概率是反映随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，据此可判断C、D.
5．（2020·盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下.
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率 ，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68.
故答案为：C.
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解.
6．（2018·呼和浩特）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为 ，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为 ，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为 ，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为 ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图可知，频率在0.33左右波动，即概率应该是0，33的样子，分别算出四个答案中看谁的概率最接近0.33 即可得出答案。
7．（2023·抚顺）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，
∴ 随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知一共有20种结果数，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的情况有6种，然后利用概率公式进行计算.
8．（2023·贵州）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．模出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，
∴摸出“高铁”小球的可能性最大，
故答案为：C
【分析】根据标有“高铁”的小球的数目多结合等可能事件的概率即可求解。
9．（2023·连云）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】设小正方形的边长为2，由图可知，大正方形的边长为3×2÷=3.
∴图形总面积=（2×5）2=100，阴影部分的面积=22×2+32×2=26.
∴点P落在阴影部分的概率=.
故答案为：B
【分析】先设小正方形的边长为2，再根据3个小正方形的边长等于2个大正方形的边长，求出大正方形的边形.最后分别计算出总面积和阴影部分的面积，即可计算出点P落在阴影部分的概率.
10．（2021·常州）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ，则对应的转盘是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：A.指针落在阴影区域的概率是 ，
B.指针落在阴影区域的概率是 ，
C.指针落在阴影区域的概率是 ，
D.指针落在阴影区域的概率是 ，
故答案为：D.
【分析】根据几何概率公式求出各个选项中指针落在阴影区域的概率，据此判断.
二、填空题
11．（2017·泰州）“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
【答案】不可能事件
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【分析】∵袋子中3个小球的标号分别为1、2、3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
12．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
【答案】0.5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
13．（2020·鞍山）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 .
【答案】24
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，
∴白球所占的比例为： ，
设袋子中共有白球x个，则 ，
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程的解，
故答案为：24.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解.
14．（2018·扬州）有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5三种；
故其概率为：．
【分析】根据题意，用列举法列举出从有4根细木棒中任取3根所有的取法，从而得出所有等可能的结果共有4中，其中根据三角形三边的关系得出能搭成三角形的共有3种，根据概率公式即可得出答案。
15．（2023·雅安）在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则此口袋中白球的个数为 .
【答案】3
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设白球的个数为x，由题意得，
解得x=3，
故答案为：3
【分析】设白球的个数为x，根据简单事件的概率结合题意即可求解。
16．（2020·锦州）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球.这些球除颜色外都相同.若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，则 .
【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8.
【分析】直接利用概率公式列出概率计算式，即可求出a的值.
三、解答题
17．（2019·青岛）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1，
2， 3， 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于 2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
【答案】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，
故小明获胜的概率为： ，则小刚获胜的概率为： ，
∵ ≠ ，
∴这个游戏对两人不公平．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】首先根据题意画出列出表格，然后由所列表格求得所有等可能的结果数和小明获胜的结果数，二者的比值即为小明获胜的概率，继而可求出小刚获胜的概率，即可判断这个游戏是否公正。
18．（2021·长沙）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1）解：由题意得： ，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为0.25
（2）解：设纸箱中白球的数量为 个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为0.25，
则 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）由题意用概率公式计算即可求解；
（2） 设纸箱中白球的数量为 个，由概率公式可得关于x的方程，解方程可求解.
19．（2019九上·越城月考）某商场设定了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成16个扇形），并规定：顾客在商场消费每满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄和蓝色区域，顾客就可以分别获得50元、30元和10元的购物券．如果顾客不愿意转转盘，则可以直接获得购物券15元．
（1）转动一次转盘，获得50元、30元、10元购物券的概率分别是多少？
（2）如果有一名顾客在商场消费了200元，通过计算说明转转盘和直接获得购物券，哪种方式对这位顾客更合算？
【答案】（1）解：
∵转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，
∴P（获得50元购物券）=，P（获得30元购物券）=，P（获得10元购物券）=；
（2）解：
转转盘：×50+×30+×10=＜15，
∴直接获得购物券的方式对这位顾客更合算．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】（1）由转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先求得转转盘获得购物券的平均值，再与15元比较，即可知哪种方式对这位顾客更合算．
20．（2023七下·青原期末）不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个蓝球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求从袋子中任意摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在要放入黄球若干个，使袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，求放入黄球个数．
【答案】（1）解：（黄球）；
（2）解：设放入个黄球，
由题意得：，
解得，
经检验，是方程的根且符合题意 ，
答：放入4个黄球．
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）设放入个黄球，根据题意列出方程，再求解即可。
21．（2017·花都模拟）2017年3月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A．蓝天保卫战，B．不动产保护，C．经济增速，D．简政放权等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）条形统计图中，m= ，n= ；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
【答案】（1）300
（2）60；90
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是 = ，
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【解答】解：（1）105÷35%=300（人），
故答案为：300；
（2）n=300×30%=90（人），
m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．
故答案为：60，90；
【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；（2）C所对应的人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答；（3）根据概率公式，即可解答．
22．（2023七下·揭东期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
盒子中球的总数为：个，
故盒子中黑球的个数为：个；
任意摸出一个球是黑球的概率为：；
（2）解：任意摸出一个球是红球的概率为，
盒子中球的总量为：，
可以将盒子中的白球拿出个．
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）利用摸出一个白球的概率，可求出盒子中球的总数，再求出黑球的个数，然后利用概率公式可求出任意摸出一个球是黑球的概率.
（2）根据任意摸出一个球是红球的概率为，可求出盒子中球的总数，然后求出可以将盒子中的白球拿走的个数.
23．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）0.50；0.5
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得：=，解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：=，
解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【分析】（1）根据题意容易得出结果；
（2）由40×0.5=20，40﹣20=20，即可得出结果；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
24．（初中数学北师大版七年级下册随机事件）阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= ．
问题：
①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”
（3）解：
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；
问题：（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；（2）写出方案；（3）直接写结果即可．
1 / 12024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第六章）培优卷
一、选择题
1．（2023·营口）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
2．（2021·香洲模拟）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
3．（2023·泰州）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A．试验次数越多，f越大
B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P
D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
4．（2022·襄阳）下列说法正确的是（ ）
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
5．（2020·盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下.
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
6．（2018·呼和浩特）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
7．（2023·抚顺）在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·贵州）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．模出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
9．（2023·连云）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·常州）以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ，则对应的转盘是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2017·泰州）“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
12．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
13．（2020·鞍山）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 .
14．（2018·扬州）有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
15．（2023·雅安）在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则此口袋中白球的个数为 .
16．（2020·锦州）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球.这些球除颜色外都相同.若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，则 .
三、解答题
17．（2019·青岛）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1，
2， 3， 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于 2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
18．（2021·长沙）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
19．（2019九上·越城月考）某商场设定了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成16个扇形），并规定：顾客在商场消费每满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄和蓝色区域，顾客就可以分别获得50元、30元和10元的购物券．如果顾客不愿意转转盘，则可以直接获得购物券15元．
（1）转动一次转盘，获得50元、30元、10元购物券的概率分别是多少？
（2）如果有一名顾客在商场消费了200元，通过计算说明转转盘和直接获得购物券，哪种方式对这位顾客更合算？
20．（2023七下·青原期末）不透明的袋子里装有3个红球、4个黄球和5个蓝球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求从袋子中任意摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在要放入黄球若干个，使袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，求放入黄球个数．
21．（2017·花都模拟）2017年3月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A．蓝天保卫战，B．不动产保护，C．经济增速，D．简政放权等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 名同学；
（2）条形统计图中，m= ，n= ；
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
22．（2023七下·揭东期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
23．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
24．（初中数学北师大版七年级下册随机事件）阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、四边形内角和是360°，属于必然事件，故符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，属于随机事件，故不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，属于随机事件，故不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，属于随机事件，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选A．
【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．
3．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、试验次数越多，f不一定越大，A错误；
B、f可能发生变化，P不会发生变化，B错误；
CD、试验次数越多，事件发生的频率f 就稳定在相应的概率P 附近，C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】每一组数据频数与数据总数的比叫做这一组数据（或事件）的频率；事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，据此一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】利用必然事件是在一定条件下，一定要发生的事件，可对A作出判断；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件，就是不可能事件，据此可判断B；概率是反映随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，据此可判断C、D.
5．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率 ，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68.
故答案为：C.
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解.
6．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为 ，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为 ，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为 ，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为 ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图可知，频率在0.33左右波动，即概率应该是0，33的样子，分别算出四个答案中看谁的概率最接近0.33 即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，
∴ 随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知一共有20种结果数，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的情况有6种，然后利用概率公式进行计算.
8．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，
∴摸出“高铁”小球的可能性最大，
故答案为：C
【分析】根据标有“高铁”的小球的数目多结合等可能事件的概率即可求解。
9．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】设小正方形的边长为2，由图可知，大正方形的边长为3×2÷=3.
∴图形总面积=（2×5）2=100，阴影部分的面积=22×2+32×2=26.
∴点P落在阴影部分的概率=.
故答案为：B
【分析】先设小正方形的边长为2，再根据3个小正方形的边长等于2个大正方形的边长，求出大正方形的边形.最后分别计算出总面积和阴影部分的面积，即可计算出点P落在阴影部分的概率.
10．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：A.指针落在阴影区域的概率是 ，
B.指针落在阴影区域的概率是 ，
C.指针落在阴影区域的概率是 ，
D.指针落在阴影区域的概率是 ，
故答案为：D.
【分析】根据几何概率公式求出各个选项中指针落在阴影区域的概率，据此判断.
11．【答案】不可能事件
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【分析】∵袋子中3个小球的标号分别为1、2、3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
12．【答案】0.5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
13．【答案】24
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，
∴白球所占的比例为： ，
设袋子中共有白球x个，则 ，
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程的解，
故答案为：24.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解.
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5三种；
故其概率为：．
【分析】根据题意，用列举法列举出从有4根细木棒中任取3根所有的取法，从而得出所有等可能的结果共有4中，其中根据三角形三边的关系得出能搭成三角形的共有3种，根据概率公式即可得出答案。
15．【答案】3
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设白球的个数为x，由题意得，
解得x=3，
故答案为：3
【分析】设白球的个数为x，根据简单事件的概率结合题意即可求解。
16．【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8.
【分析】直接利用概率公式列出概率计算式，即可求出a的值.
17．【答案】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，
故小明获胜的概率为： ，则小刚获胜的概率为： ，
∵ ≠ ，
∴这个游戏对两人不公平．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】首先根据题意画出列出表格，然后由所列表格求得所有等可能的结果数和小明获胜的结果数，二者的比值即为小明获胜的概率，继而可求出小刚获胜的概率，即可判断这个游戏是否公正。
18．【答案】（1）解：由题意得： ，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为0.25
（2）解：设纸箱中白球的数量为 个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为0.25，
则 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）由题意用概率公式计算即可求解；
（2） 设纸箱中白球的数量为 个，由概率公式可得关于x的方程，解方程可求解.
19．【答案】（1）解：
∵转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，
∴P（获得50元购物券）=，P（获得30元购物券）=，P（获得10元购物券）=；
（2）解：
转转盘：×50+×30+×10=＜15，
∴直接获得购物券的方式对这位顾客更合算．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】（1）由转盘被等分成16个扇形，红色扇形有1个，黄色扇形有3个，蓝色扇形有5个，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先求得转转盘获得购物券的平均值，再与15元比较，即可知哪种方式对这位顾客更合算．
20．【答案】（1）解：（黄球）；
（2）解：设放入个黄球，
由题意得：，
解得，
经检验，是方程的根且符合题意 ，
答：放入4个黄球．
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）设放入个黄球，根据题意列出方程，再求解即可。
21．【答案】（1）300
（2）60；90
（3）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是 = ，
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率公式
【解析】【解答】解：（1）105÷35%=300（人），
故答案为：300；
（2）n=300×30%=90（人），
m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．
故答案为：60，90；
【分析】（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；（2）C所对应的人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答；（3）根据概率公式，即可解答．
22．【答案】（1）解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
盒子中球的总数为：个，
故盒子中黑球的个数为：个；
任意摸出一个球是黑球的概率为：；
（2）解：任意摸出一个球是红球的概率为，
盒子中球的总量为：，
可以将盒子中的白球拿出个．
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）利用摸出一个白球的概率，可求出盒子中球的总数，再求出黑球的个数，然后利用概率公式可求出任意摸出一个球是黑球的概率.
（2）根据任意摸出一个球是红球的概率为，可求出盒子中球的总数，然后求出可以将盒子中的白球拿走的个数.
23．【答案】（1）0.50；0.5
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得：=，解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：=，
解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【分析】（1）根据题意容易得出结果；
（2）由40×0.5=20，40﹣20=20，即可得出结果；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
24．【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= ．
问题：
①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”
（3）解：
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；
问题：（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；（2）写出方案；（3）直接写结果即可．
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