第三章 §1
一、选择题
1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有( )
①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] D
[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.
2．函数y＝()x，x∈N＋的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．N D．{，，，…}
[答案] D
[解析] ∵n∈N＋，∴把n＝1,2,3，…代入可知选D.
3．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；
③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．
其中是正整数指数函数的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B.
4．函数y＝()x，x∈N＋是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
[答案] D
[解析] ∵0<<1，当x∈N＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D.
5．函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是( )
A．R B．N＋
C．[0，＋∞) D．不存在
[答案] D
[解析] 由于函数y＝7x，x∈N＋的定义域是N＋，而N＋不是区间，则该函数不存在单调区间．
6．满足3x2－1＝的x的值的集合为( )
A．{1} B．{－1,1}
C．? D．{0}
[答案] C
[解析] 3 x2－1＝3－2，∴x2－1＝－2，即x2＝－1，无解．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝(m－1)·4x(x∈N＋)是正整数指数函数，则实数m＝________.
[答案] 2
[解析] 由m－1＝1，得m＝2.
8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．
[答案] 2400元
[解析] 5年后价格为8100×；10年后价格为8100×2；15年后价格为8100×3＝2400(元)．
三、解答题
9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
[解析] 设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
则＝，
因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以>1，即M>N.
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2009年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2010年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2014年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)
[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．
[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6%)5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，
∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)．
答：2014年该地区农民人均收入约为16602元.
一、选择题
1．若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，
∴y＝f(－x)＝3－x＝()x，
∴函数为减函数，故选B.
2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2%,2010年和2011年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)( )
A．848万m2 B．1679万m2
C．1173万m2 D．12494万m2
[答案] B
[解析] 2012～2013年为815×(1＋2%)，
2014～2015年为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679.
二、填空题
3．不等式()3－x2<32x(x∈N＋)的解集是________．
[答案] {1,2}
[解析] 由()3－x2<32x得3 x2－3<32x.
∵函数y＝3x，x∈N＋为增函数，
∴x2－3<2x，即x2－2x－3<0，
∴(x－3)(x＋1)<0，解得－1
又∵x∈N＋，∴x＝1或x＝2.
4．当x∈N＋时，用“>”“<”或“＝”填空：
()x________1,2x________1，()x________2x，()x________()x,2x________3x.
[答案] < > < > <
[解析] ∵x∈N＋，∴()x<1,2x>1.
∴2x>()x.又根据对其图像的研究，知2x<3x，()x>()x.也可以代入特殊值比较大小．
三、解答题
5．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
[解析] (1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，
所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．
6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?
[分析] 本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x年的解析式．
[解析] (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3.
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．
7．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．
[解析] (1)1999年年底的人口数：13亿；
经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；
经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；
经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．
∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．
∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，
∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．
(2)理论上指数函数定义域为R，
∵此问题以年作为单位时间，
∴x∈N是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，
∵1＋1‰>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
课件36张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章§1 正整数指数函数第三章1.正整数指数函数
一般地，函数______________________叫作正整数指数函数，其中__是自变量，正整数指数函数的定义域为____________．
2．正整数指数函数的增减性
由本节课本的问题1与问题2可知，对正整数指数函数y＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)，当a>1时，函数图像是______的，当00，a≠1，x∈N＋)x正整数集N＋上升下降am＋nam－namnambm[答案] D
[解析] 由正整数指数函数的定义可知选D.3．我国工农业总产值从1995年到2015年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4
[答案] D
[解析] 本题为增长率模型函数，为指数函数形式：
设1995年总产值为1，则(1＋x)20＝4.4．若正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)在N＋上是减函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] (1,2)
[解析] 依题意，应有0[规范解答] (1)(6)是正整数指数函数，因为它们符合正整数指数函数的定义．
(2)为幂函数．
(3)中函数的系数为－1，不符合正整数指数函数的定义．
(4)中函数的底数a＝－4<0，不符合正整数指数函数的定义．
(5)中函数的底数是变量而不是常量，也不符合正整数指数函数的定义．[规律总结] 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
注意：①底数是大于0不等于1的常数；②指数是自变量x；③系数为1.下列函数中一定是正整数指数函数的是( )
A．y＝x5(x∈N＋) B．y＝3x＋2(x∈N＋)
C．y＝4－x(x∈N＋) D．y＝4×3－x(x∈N＋)
[答案] C正整数指数函数的图像 [规律总结] 正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的．当01时，函数y＝ax(x∈N＋)是增函数．利用正整数指数函数的性质解不等 解下列不等式：
(1)4x>23－2x(x∈N＋)；
(2)0.3×0.4x<0.2×0.6x(x∈N＋)．
[思路分析] 根据正整数指数函数的性质，将所给不等式化为一元一次不等式的形式，再进行求解，一定要注意题中所给未知数的取值范围．[规律总结] 由正整数指数函数的性质：y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是增函数，得a>1；y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是减函数，得0(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．[辨析] 第x年的木材蓄积量不是200(1＋5%·x)，而是200(1＋5%)x，是指数关系．
[正解] (1)现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2；
所以经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)．第三章 §2 2.1
一、选择题
1．若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R B．x≠
C．x> D．x<
[答案] D
[解析] (1－2x)－＝，要使(1－2x)－有意义，则需1－2x>0，即x<.
2．3等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 3＝＝.
3．将化为分数指数幂的形式为( )
A．2－ B．－2
C．2－ D．－2－
[答案] B
[解析] 原式＝＝
＝(－2)＝－2.
4．式子9－70的值等于( )
A．－4 B．－10
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 9－70＝－1＝3－1＝2.
5.等于( )
A．a－ B．a
C．a D．－a－
[答案] A
[解析] 由根式与分数指数幂的互化可知＝a－.故选A.
6．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 对于根式来讲n为奇数时，a∈R有意义，而n为偶数时，a≥0有意义；因此，当m<0时无意义，故选C.
二、填空题
7．a＝(a>0，b>0)，则b＝________(用a的分数指数幂表示)．
[答案] a
[解析] 由于a＝＝b，所以a5＝b3，因此b＝a.
8.＝________.
[答案]
[解析] ＝|m－n|＝.
三、解答题
9．用分数指数幂表示下列各式中的b(b>0)：
(1)b5＝32；(2)b4＝(－3)2；(3)b－2＝18.
[解析] (1)b＝32；
(2)b4＝(－3)2＝32＝9，所以b＝9；
(3)b＝18－＝().
10．求值：(11)－[3·()0]－1·[()＋(5)－0.25]－－()－1·0.027.
[解析] 原式＝()－3－1[＋()－]－－10×0.3
＝－[＋()－1]－－10×0.3
＝－－3＝0.
一、选择题
1．下列各式中成立的是( )
A．()7＝n7m B.＝
C.＝(x＋y) D.＝
[答案] D
[解析] ()7＝(mn－1)7＝m7n－7，A错；
＝＝，B错；
(x3＋y3)≠(x＋y)，C错．
2．下列命题中，正确命题的个数是( )
①＝a
②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝0
③＝x＋y
④＝
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①中当a＜0，n为偶数时，≠a，故①错；③中＝(x4＋y3)≠x＋y，故③错；
④中＜0，＞0，故④错；
②中a∈R，a2－a＋1＞0，
∴(a2－a＋1)0＝1，故②错，故选A.
二、填空题
3．0.25×(－)－4－4÷20－()－＝________.
[答案] －4
[解析] 原式＝×(－)－4－4÷1－
＝×()－4－4－(16)
＝4－4－4＝－4.
4．若有意义，则－|3－x|化简后的结果是________．
[答案] －1
[解析] ∵有意义，∴2－x≥0.∴x≤2.
∴－|3－x|
＝|x－2|－|3－x|＝(2－x)－(3－x)＝－1.
三、解答题
5．把下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式：
(1)a3＝54；
(2)a3＝(－2)8；
(3)a－3＝104m(m∈N＋)．
[解析] (1)因为a3＝54，所以a＝5.
(2)因为a3＝(－2)8＝28，
所以a＝2；
(3)因为a－3＝104m(m∈N＋)
所以a＝10－＝().
6．求下列各式的值：
(1)16；
(2)()－.
[解析] (1)设16＝x(x>0)，则x4＝16.
又24＝16，∴16＝2.
(2)设()－＝x(x>0)，则x2＝()－3＝93＝729.
又∵272＝729.
∴x＝27.
7．把下列各式中的正实数x写成根式的形式：
(1)x2＝3；
(2)x7＝53；
(3)x－2＝d9.
[解析] (1)x＝3＝；
(2)x＝5＝；
(3)x＝d－＝＝.
课件29张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初，荷兰工程师司蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号，以后又有人将其扩展到负指数，直到18世纪，英国数学家牛顿(Newton)开始用an表示任意实数指数幂．现代工程技术的计算不再仅仅是乘法计算，它还需要进行乘方、开方运算，科学技术中的许多变化和规律都与指数的运算密切相关，因此指数幂问题成为科学家研究的热点．那么，指数的概念是如何一步步扩充的呢？1.分数指数幂
(1)给定正实数a，对于任意给定的整数m，n，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作_________，记作______．它就是分数指数幂．an1(a≠0)a(a∈R，n>1且n∈N＋)求a的n次方根2．n次方根的性质两个相反数正数负数[答案] D
[解析] 由分数指数幂与根式的互化可知D正确．4．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________.5．x4＝3，则x＝________.分数指数幂概念的理解 [思路分析] 根据分数指数幂的定义列关系式．
[规范解答] 由分数指数幂的意义可知
x－1>0，解得x>1，故x的取值范围是{x|x>1}．
[答案] {x|x>1}分数指数幂与根式的互化
[规律总结] 分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式，用熟悉的知识去理解新概念是关键．第三章 §2 2.2
一、选择题
1．如果x>y>0，则等于( )
A．(x－y) B．(x－y)
C．()y－x D．()x－y
[答案] C
[解析] 原式＝xy－x·yx－y＝()y－x.
2．已知m>0，则m·m＝( )
A．m B．m
C．1 D．m
[答案] A
[解析] 由于m>0，所以m·m＝m＋＝m1＝m.
3．若a>0，n、m为实数，则下列各式中正确的是( )
A．am÷an＝a B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n D．1÷an＝a0－n
[答案] D
[解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确．故选D.
4．计算(－)0＋()－＋的结果为( )
A．π－5 B．π－1
C．π D．6－π
[答案] C
[解析] 原式＝1＋＋π－3＝π.
5．化简·的结果是( )
A. B．－
C. D．－
[答案] B
[解析] 由题意可知a≤0，
则·＝(－a)·a＝－(－a)·(－a)
＝－(－a)＝－＝－.
6．以下化简结果错误的是( )
A．a·a－·a－＝1
B．(a6·b－9)－＝a－4·b6
C．(－2x·y－)(3x－·y)(－4x·y)＝24y
D.＝－ac
[答案] D
[解析] ＝－ac－2，
故选项D错误．
二、填空题
7．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2015)))＝________.
[答案]
[解析] f1(f2(f3(2015)))＝f1(f2(20152))＝f1((20152)－1)＝((20152)－1)＝2015－1＝.
8．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x－y＝________.
[答案] 15
[解析] 由已知可得2x＝(23)y＋1，(32)y＝3x－9，
∴解得
于是x－y＝15.
三、解答题
9．求下列各式的值
(1)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
(3)··(xy)－1.
[解析] (1)原式＝＋＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝(－1)－－＋－－＋1
＝－＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(3)原式＝(xy2·x·y－)·(xy)·(xy)－1
＝(xy)(xy)－
＝(xy)·(xy) －
＝(xy)－
＝(xy)0
＝1.
10．(1)已知＋b＝1，求的值．
(2)化简()－·(a>0，b>0)．
[解析] (1)＝＝32a＋b÷3
＝32a＋b×3－
＝32a＋b－＝3a＋b.
∵a＋b＝1，∴＝3.
(2)原式＝·a·a－·b－·b2＝a0·b
＝b.
一、选择题
1．()4·()4的结果是( )
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
[答案] C
[解析] ()4·()4＝()4·()4＝(a)4·(a)4＝a4.
2．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得( )
A．－b2 B.b2
C．－b D.b
[答案] A
[解析] (2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)
＝＝·＝－b2.
二、填空题
3．若5x2·5x＝25y，则y的最小值是________．
[答案] －
[解析] 由5x2·5x＝25y得5x2＋x＝52y，
∴2y＝x2＋x，即y＝x2＋x＝(x＋)2－，
∴当x＝－时，y取最小值－.
4．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
[答案] 2
[解析] ∵α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，
∴α＋β＝－2，α·β＝，
∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝.(2α)β＝2αβ＝2.
三、解答题
5．已知x＋x－＝3，求的值．
[解析] ∵x＋x－＝3，
∴两边平方，得(x＋x－)2＝9，
∴x＋x－1＝7.对x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＝47.
将x＋x－＝3两边立方，得
x＋x－＋3＝27.
即x＋x－＝18.
∴原式＝＝＝3.
6．化简下列各式：
(1)1.5－＋80.25×＋(×)6－；
(2)(a＞b，b＞0)．
[分析] 在指数式运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．
[解析] (1)原式＝()＋2×2＋(22×33)－()
＝2＋＋4×27
＝2＋108
＝110
(2)原式＝＝
＝＝a＋＋－1b1＋－2－＝ab－1.
[点评] 这种混合运算的题型，运算的关键是化简顺序：先乘方、再乘除，最后做加减，步步紧扣运算法则，同时应注意将系数和字母分开计算．
7．已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解析] ∵a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴.
()2＝＝＝，
∵a>b>0，∴>，
∴＝＝.
课件24张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§2 指数扩充及其运算性质2.2 指数运算的性质2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国约有13亿人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计算，到2015年底，我国人口将增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到多少？如果我们放开计划生育政策，年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？am＋namnanbnam－n1a－(n－m)am＋namnanbn利用指数的运算性质化简、求值 [思路分析] 先算乘方，开方，再算乘除，最后进行加减运算，含有根式时，应先化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算．[规律总结] 在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：
(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算．
(5)尽可能用幂形式表示．利用分数指数幂进行条件求值 已知2x－2－x＝2，则8x的值为________．第三章 §3 3.1、3.2
一、选择题
1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3，其中指数函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ①中，3x的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x＋1，不是x，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B.
2．函数y＝2－x的图像是下图中的( )
[答案] B
[解析] ∵y＝2－x＝()x，
∴函数y＝()x是减函数，且过点(0,1)，故选B.
3．函数y＝的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析] 由题意，得1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0，
∴函数y＝的定义域为(－∞，0]．
4．已知函数f(x)＝2x－1＋1，则f(x)的图像恒过定点( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(1,1)
[答案] C
[解析] 代入选项易知C正确．
5．经过点(－，)的指数函数的解析式为( )
A．y＝()x B．y＝()x
C．y＝()x D．y＝()x
[答案] A
[解析] 将点(－，)代入指数函数y＝ax(a>0且a≠1)中，则a－＝，即()＝()3，所以＝，即a＝.
6．(2014·山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝( )
A．[0,2] B．(1,3)
C．[1,3) D．(1,4)
[答案] C
[解析] 本题考查指数函数集合的运算．
|x－1|<2，∴－2即－1∴20≤y≤22，即1≤y≤4
∴A∩B＝[1,3)
二、填空题
7．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，则m＝________.
[答案] 9
[解析] ∵函数f(x)＝a x2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，
∴10＝a0＋m，∴m＝9.
8．(2015·江苏高考)不等式2 x2－x＜4的解集为________．
[答案] (－1,2)
[解析] 由题意得：x2－x<2?－1解集为(－1,2)．
三、解答题
9．若函数y＝(4－3a)x是指数函数，求实数a的取值范围．
[解析] y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：
解得a<且a≠1，
故a的取值范围为{a|a<且a≠1}．
10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性．
[解析] (1)只需x＋1≠0时，f(x)都有意义，故f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠－1}．
(2)设x1，x2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＝(a x1－a x2)＋.
∵－10，x2＋1>0.
又a>1，∴a x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增加的.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] A
[解析] 本题考查分段函数求值．
∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知 f(a)＝－2.
当a>0时 2a＝－2不成立．
当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
2．函数y＝2x＋1的图像是图中的( )
[答案] B
[解析] x＝0时，y＝2；且y＝2x＋1的图像是y＝2x的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．
二、填空题
3．若指数函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(3)＝________.
[答案] 8
[解析] 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2，即函数的解析式为f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.
4．已知函数f(x)＝则满足f(x)>1的x的取值范围是________．
[答案] {x|x>1或x<－1}
[解析] 由已知f(x)>1可化为或，解得x>1或x<－1，故{x|x>1或x<－1}．
三、解答题
5．已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数的值域．
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．
即＋a＝－[＋a]，
∴2a＝－－＝1，
∴a＝.
∵2x－1≠0，∴x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0，
∴<－1或>0，
∴y<－或y>.
∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．
6．画出函数y＝|2x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|2x－1|＝k无解？有一解？有两解？
[解析] 函数y＝|2x－1|的图像是由函数y＝2x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，图像如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；
当07．设f(x)＝，若0(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析] (1)f(a)＋f(1－a)
＝＋＝＋
＝＋＝＋
＝＝1.
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝500×1＝500.
课件31张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§3 指数函数3.1 指数函数的概念有一天，数学课上甲同学顺手拿起桌上的草稿纸，折起飞机来．但很快被老师发现．老师没有动怒，还笑着说：“喜欢折叠的人，我总会给予机会的，但只要回答一个问题：一张纸究竟最多可对折多少次？”甲同学顺口说：“20次．”随即把手上的纸对折起来．可他无论怎样努力，折到第8次就再也折不了了．然而，甲同学不服气地说：“我用报纸可以折得更多！”
甲同学再一次失望，他把老师给的报纸勉强折上8次后，便不能再折下去了．这是为什么呢？
通过本节课的学习，你就会理解这一有趣的现象.y＝axa>0且a≠1R(0，＋∞)x轴(0,1)上升的下降的4．指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________．
[答案] R (0，＋∞)
[解析] 由指数函数y＝2x的图像和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞)．5．把函数y＝f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数y＝2x的图像，则f(x)＝________.
[答案] 2x－2＋2
[解析] 因为将函数y＝2x的图像向上平移2个单位得到函数y＝2x＋2的图像，再向右平移2个单位得到函数y＝2x－2＋2的图像，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－2＋2. 下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；
⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；
⑦y＝x10.
[思路分析] 根据指数函数的定义，必须是形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数才叫指数函数．指数函数的概念 [规范解答] ①y＝10x符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的函数，不是指数函数；③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的函数；④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的函数；⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．
[规律总结] 在指数函数的定义表达式y＝ax中，参数a必须大于0，且不等于1，ax前的系数必须是1，自变量x必须在指数的位置上，否则，就不是指数函数．(1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函数，则实数a的值为________；
(2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则f(2)＝________.指数函数的定义域、值域 指数函数的图像及其变换 利用y＝2x的图像，如何变换得到下列函数的图像？试作出它们的图像．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2－x；(4)y＝－2x；(5)y＝－2－x；(6)y＝2|x|.
[思路分析] 以y＝2x的图像为基础，通过平移、对称、翻折等变换可得问题中七个函数的图像．[规范解答] (1)将y＝2x图像向右平移1个单位可得到y＝2x－1的图像，如图①.
(2)将y＝2x图像向上平移1个单位可得到y＝2x＋1的图像，如图②.
(3)将y＝2x图像关于y轴对称，可得到y＝2－x的图像，如图③.
(4)将y＝2x图像关于x轴对称，可得到y＝－2x的图像，如图④.(5)将y＝2x图像关于原点对称，可得到y＝－2－x的图像，如图⑤.
(6)将y＝2x图像位于y轴左边的部分删除，由y＝2|x|是偶函数，图像应关于y轴对称，只要作y轴右边部分的图像然后再作关于y轴的对称图像，就可得到y＝2|x|的图像，如图⑥.
[规律总结] 前五个小题的图像变换方法我们已在前边学过，后两个小题是图像翻折问题．由y＝f(x)变到y＝|f(x)|，把x轴下方的图像上翻；由y＝f(x)变到y＝f(|x|)，把y轴左边图像删除，利用偶函数图像对称性补充完整．指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图像过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值． 函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，求实数a的值．
[错解] 因为f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，所以有a2－3a＋3＝1.
解得a＝1或a＝2.
故a的值为1或2.[辨析] 指数函数y＝ax中要求a>0且a≠1，解题中忽视了a的范围，导致出错．第三章 §3 3.3
一、选择题
1．若指数函数y＝(1－a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
[答案] B
[解析] ∵函数y＝(1－a)x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴0<1－a<1，∴02．如果函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与函数y＝()x的图像关于y轴对称，则a的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] 由题意知a·＝1，即a＝.
3．已知函数f(x)＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,2) D．(2,0)
[答案] A
[解析] 令x－1＝0，x＝1，f(x)＝3，
∴点P的坐标是(1,3)．
4．函数y＝ax在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a等于( )
A. B．2
C．4 D.
[答案] B
[解析] 当01，当x＝0时，ymin＝a0＝1，
当x＝1时，ymax＝a1＝a，
又∵1＋a＝3，∴a＝2.故正确答案为B.
5．(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
[答案] D
[解析] 此题考查函数奇偶性的判断．
A、B非奇非偶，C为奇函数，D，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)．
6．若0A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x
C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
[答案] D
[解析] 由指数函数性质可知，当020＝1，()x<()0＝1，而y＝0.2x与y＝()x在0二、填空题
7．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
[答案] m[解析] ∵a＝，∴0函数f(x)＝ax在x∈R上是单调递减的且f(m)>f(n)，∴m8．函数y＝的定义域是__________，值域为__________．
[答案] [－1,2] [，1]
[解析] 由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，
此时－x2＋x＋2∈[0，]
∴u＝∈[0，]，
∴y＝u∈[，1]．
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
[解析] 当a>1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2)上是增函数，
由题意可知，解得a＝.
当0由题意可知，此时a无解．
综上所述，a＝.
10．比较下列两组数的大小：
(a－1)1.3与(a－1)2.4(a>1且a≠2)．
[解析] 由于a>1且a≠2，所以a－1>0且a－1≠1，
若a－1>1即a>2，则y＝(a－1)x是增函数，
∴(a－1)1.3<(a－1)2.4；
若0∴(a－1)1.3>(a－1)2.4.
一、选择题
1．定义运算a*b＝，如1*2=1，则函数f(x)=2x*2-x的值域是( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
[答案] D
[解析] 由题意知函数f(x)的图像如图，
∴函数的值域为(0,1]，故选D.
2．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是( )
[答案] D
[解析] 当a>1时，函数y＝ax单调递增，0<<1，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故A不正确；因为y＝ax－恒不过点(1,1)，所以B不正确；当01，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故C不正确，故选D.
二、填空题
3．指数函数f(x)＝(2a－1)x满足f(π)[答案] (，1)
[解析] ∵π>3，又f(π)∴0<2a－1<1，∴4．(2015·福建高考)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
[答案] 1
[解析] 因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图像关于直线x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图像关于直线x＝1对称，故a＝1.且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)?[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.
三、解答题
5．已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域．
[解析] y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，
设t＝3x，
∵x∈[1,2]，∴t∈[3,9]，
则函数化为y＝t2－2t＋2，t∈[3,9]．
∵f(t)＝(t－1)2＋1，f(t)在[3,9]上递增，
∴f(3)≤f(t)≤f(9)．
∴5≤f(t)≤65，即值域为[5,65]．
6．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝()x－1－4·()x＋2的最大值和最小值．
[解析] 由已知得(3x)2－10·3x＋9≤0，
得(3x－9)(3x－1)≤0.
∴1≤3x≤9，故0≤x≤2.
而y＝()x－1－4·()x＋2＝4·()2x－4·()x＋2，
令t＝()x(≤t≤1)．
则y＝f(t)＝4t2－4t＋2
＝4(t－)2＋1.
当t＝即x＝1时，ymin＝1；
当t＝1即x＝0时，ymax＝2.
7．已知f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；
(3)求f(x)的值域．
[分析] 本题是一道综合题，需利用函数的有关性质，如单调性、奇偶性等知识解决．
[解析] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)证法1：f(x)＝＝＝1－.
令x2>x1，则Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝(1－)－(1－)＝2·.
∵g(x)＝10x为增函数，
∴当x2>x1时，102x2－102x1>0，
又∵102x1＋1>0,102x2＋1>0，
故当Δx>0时，Δy＝f(x2)－f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，∴f(x)是增函数．
证法2：考虑复合函数的增减性．
由f(x)＝＝1－，
∵y＝10x为增函数，∴y＝102x＋1为增函数，
y＝为减函数，y＝－为增函数，
∴f(x)＝1－在定义域内是增函数．
(3)令y＝f(x)，由y＝，解得102x＝.
∵102x>0，∴－1课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§3 指数函数3.3 指数函数的图像和性质宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？1.指数函数的图像与性质R(0，＋∞)(0,1)增减相等y轴<<(0,1)>>越快1.若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
[答案] D
[解析] ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.3．设x>0，且ax0，b>0)，则a与b的大小关系是( )
A．bC．1[答案] B
[解析] 取x＝1，则a[答案] (1，＋∞)
[解析] ∵3x>0，∴3x＋1>1，
函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．5．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________．
[答案] (0,1)
[解析] ∵f(x)＝a－x且f(－2)>f(－3)，
即a2>a3，∴a<1.
又∵a>0，故0A．aC．1[规范解答] 解法1：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图像向下越靠近x轴，故有b[答案] B已知函数y＝ax＋b的图像经过第一、三、四象限，试确定a，b的取值范围．
[分析] 函数y＝ax＋b的图像是由y＝ax的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的，其形状与y＝ax的图像相同．[解析] 如图所示，当x＝0时，y<0，
∴a0＋b<0，∴b<－1，显然a>1.
故a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)．
[点评] 利用熟悉的函数图像作图，再利用图像的平移、对称等变换，平移需分清向哪个方向移，再移多少个单位．利用指数函数单调性比较大小 [规律总结] 两个幂值大小比较的一般方法：
(1)同底数的幂考查指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性．
(2)底数、指数各不相同，寻找“中间数”来传递大小关系．如第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．指数函数性质的综合应用 [规律总结] 对于形如y＝af(x)(a>0且a≠1)一类的函数，有以下结论：
(1)函数y＝af(x)的定义域、奇偶性与f(x)的定义域、奇偶性相同；
(2)先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，求函数y＝af(x)的值域；
(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)在相应区间上的单调性相同；当0一、选择题
1．若log8x＝－，则x的值为( )
A. B．4
C．2 D.
[答案] A
[解析] ∵log8x＝－，∴x＝8－＝2－2＝，故选A.
2．当a>0，a≠1时，下列结论正确的是( )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①② B．②④
C．② D．①②③④
[答案] C
[解析] ①M≤0时不对；②正确；③应为M＝±N；
④M＝0时不对．
3．lg20＋lg50的值为( )
A．70 B．1000
C．3 D.
[答案] C
[解析] lg20＋lg50＝lg1000＝3.故选C.
4．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[答案] A
[解析] log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)
＝3log32－2(log32＋1)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A.
5．若loga＝c，则a，b，c满足关系式( )
A．b7＝ac B．b＝a7c
C．b＝7ac D．b＝c7a
[答案] B
[解析] ∵loga＝c，∴＝ac，∴b＝a7c.
6．()－1＋log0.54的值为( )
A．6 B.
C．8 D.
[答案] C
[解析] 原式＝()－1·()4＝2×4＝8.
二、填空题
7．求值：
(1)810.5log35＝________；
(2)5log5100－3＝________；
(3)27＋log32＝________.
[答案] (1)25 (2) (3)72
[解析] (1)810.5log35＝(34) 0.5log35＝32log35
＝(3log35)2＝52＝25.
(2)5 log5100－3－3＝＝＝.
(3)27＋log32＝(33)＋log32＝32＋3log32
＝32·(3 log32)3＝9×8＝72.
8．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.
[答案] a＋2
[解析] 原式＝2log3(2×3)＋log3
＝2(log32＋log33)－log32
＝log32＋2＝a＋2.
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
[解析] (1)原式＝log2＋log212－log2
＝log2(··12)
＝log2(··12)
＝log2＝log22－＝－.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)
＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.
10．(2014·德阳高一检测)计算：log28＋lg＋ln＋21－log23＋(lg5)2＋lg2lg50.
[解析] 原式＝3－3＋＋2÷2log23＋(lg5)2＋lg2(lg5＋1)
＝＋＋lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)
＝＋.
一、选择题
1．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解为( )
A．x＝－1 B．x＝－1或x＝4
C．x＝4 D．x＝－1且x＝4
[答案] C
[解析] 一定要注意对数的真数大于零，
即，解得x＝4，选C.
2．如果f(10x)＝x，则f(3)等于( )
A．log310 B．lg3
C．103 D．310
[答案] B
[解析] 令10x＝3，∴x＝lg3.故选B.
二、填空题
3．(1)已知a＝(a>0)，则a＝________.
(2)已知m>0，且10x＝lg(10m)＋lg，则x＝________.
[答案] (1)3 (2)0
[解析] (1)由a＝(a>0)，得a＝()＝()3，所以a＝()3＝3.
(2)10x＝lg(10m·)＝lg10＝1.所以x＝0.
4．若正数m，满足10m－1<2512<10m，则m＝__________.(lg2≈0.3010)
[答案] 155
[解析] ∵10m－1<2512<10m，∴m－1<512lg2∴154.112三、解答题
5．计算下列各式的值：
(1)lg5＋log36＋lg20－log32；
(2)log213＋lg1000－log21；
(3)；
(4)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.
[解析] (1)原式＝(lg5＋lg20)＋(log36－log32)
＝lg100＋log33＝2＋1＝3.
(2)原式＝(log213＋log217)＋lg103＝1＋3＝4.
(3)原式＝＝
＝＝＝.
(4)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2
＝lg10·lg＋lg4
＝lg(×4)＝lg10＝1.
6．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．
[解析] ∵log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，
∴log3(log4x)＝1，log4(log2y)＝1，
∴log4x＝3，log2y＝4，
∴x＝43，y＝24，
∴x＋y＝43＋24＝26＋24＝80.
7．求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋()log34.
[解析] 原式＝31·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋3－2·log34
＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2
＝3×6－16×3＋33＋4－2
＝18－48＋27＋＝－.
课件31张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§4 对 数4.1 对数及其运算“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！1.对数的有关概念
(1)一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作_______________，记作________，其中a叫作对数的_____，N叫作________．
(2)以10为底的对数叫作________，N的常用对数记作________．
(3)以e为底的对数叫作________，N的自然对数记作________．以a为底N的对数logaN＝b底数真数常用对数lgN自然对数lnN零和负数N0loga1＝01logaa＝1logaM＋logaNlogaM－logaNn·logaMN5．(2014·陕西高考)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______.对数式与指数式的互化 对数的基本性质 求下列各式中的x.
(1)log8[log5(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
[解析] (1)由log8[log5(log2x)]＝0得：
log5(log2x)＝1，∴log2x＝5，∴x＝25＝32.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1得：
log3(log2x)＝2，∴log2x＝32＝9.
∴x＝29.利用对数的运算性质化简求值 [思路分析] (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．[规律总结] 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．对数恒等式 解方程：log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2.
[错解] 原方程化为log2(9x－5)＝log2[4(3x－2)]，所以9x－5＝4(3x－2)，即32x－4·3x＋3＝0，所以(3x－3)(3x－1)＝0，解得x＝1或x＝0.
[辨析] 本题错在将对数方程log2(9x－5)＝log2[4(3x－2)]化为代数方程9x－5＝4(3x－2)时，没有注意对数式中真数大于0这一条件，导致出现增根x＝0.第三章 §4 4.2
一、选择题
1.等于( )
A．3 B．8
C．27 D．2
[答案] D
[解析] ＝log39＝2.
2．在，，log，loganbn(a，b均为不等于1的正数，且ab≠1)其中与logab相等的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
[答案] C
[解析] ＝logab，＝logba，log＝logba，loganbn＝logab，故答案为C.
3．已知lg2＝a，lg3＝b，则log312＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] log312＝＝＝.
4．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则( )
A．y∈(0,1) B．y∈(1,2)
C．y∈(2,3) D．y∈(3,4)
[答案] B
[解析] 原式＝····＝＝lg510∈(1,2)．
5．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值是( )
A. B．9
C．18 D．27
[答案] B
[解析] 原式可化为：··＝log442＝2，
所以lgm＝2lg3＝lg9，所以m＝9.
6．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B.
C．25 D.
[答案] D
[解析] 由换底公式，得··＝2，
lgx＝－2lg5，x＝5－2＝.
二、填空题
7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
[答案]
[解析] ∵a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m2＝10.又∵m>0，∴m＝.
8．2log510＋log50.25＋(－)÷＝________.
[答案] －3
[解析] 原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋5－－5－
＝2＋5－5＝－3.
三、解答题
9．计算：(1)lg－lg＋lg12.5－log89·log34；
(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．
[解析] (1)解法1：lg－lg＋lg12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
解法2：lg－lg＋lg12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－·
＝(lg2＋lg5)－＝1－＝－.
(2)原式＝(log25＋log2)(log52＋log5)
＝(log25＋log25－1)(log52＋log52－1)
＝(log25－log25)(log52－log52)
＝·log25·log52＝.
10．已知log142＝a，用a表示log7.
[解析] 解法1：log142＝a，∴log214＝.
∴1＋log27＝.∴log27＝－1.
∵由对数换底公式，得log27＝＝，
∴log7＝2log27＝2(－1)＝.
解法2：∵由对数换底公式，得
log142＝＝＝a，
∴2＝a(log7＋2)，即log7＝.
解法3：由对数换底公式，得
log7＝＝＝2log27
＝2(log214－log22)＝2(－1)＝.
一、选择题
1.＋等于( )
A．lg3 B．－lg3
C. D．－
[答案] C
[解析] ＋＝＋
＝＋＝＋＝＝.
2．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于( )
A．2 B.
C．4 D.
[答案] A
[解析] 由根与系数的关系可知lga＋lgb＝2，
lgalgb＝.
于是(lg)2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×＝2.
二、填空题
3．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
[答案] ab
[解析] 由于log37＝＝b，又log23＝a，
所以log27＝ab.
4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
[答案] 1000
[解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，则8－6＝(lgE2－lgE1)，
即lg＝3.
∴＝103＝1000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．
三、解答题
5．化简下列各式
(1)(log5＋log2)log52；
(2)2log39＋log93－0.70－2－1＋25.
[解析] (1)原式＝(log25＋log25)·log52
＝(2log25＋log25)log52＝log25·log52＝.
(2)原式＝2log332＋log323－1－＋5
＝4＋－1－＋5＝8.
6．设a>0，a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值．
[解析] ∵由换底公式得logax＋－＝3，
整理得(logax)2＋3－logay＝3logax，
∴logay＝(logax)2－3logax＋3＝(logax－)2＋.
∴当logax＝，即x＝a时，logay取得最小值.
7．若a、b是方程2lg2x－lgx4＋1＝0的两个实数根，求lg(ab)(logab＋logba)的值．
[解析] 原方程可化为2lg2x－4lgx＋1＝0.依题意知，lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
∴lg(ab)(logab＋logba)＝(lga＋lgb)
＝2×＝＝12.
课件29张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§4 对 数4.2 换底公式已知对数log864，log264，log28，log464，log48.
对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？
对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？
由上面的问题你能得出什么结论？ 换底公式
(1)logbN＝________(a、b>0，a、b≠1，N>0)
(2)logab·logba＝________(a>0且a≠1，b>0且b≠1)
(3)logab·logbc·logcd＝________(a，b，c，d>0，且a，b，c≠1)1logad[答案] D
[解析] 结合换底公式的特征可知选项D不正确，因为底数必须满足大于0且不等于1.4．log89·log32＝________.利用换底公式求值、化简 [规律总结] 利用换底公式计算、化简、求值问题的思路：
一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进行计算；
二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．求log37·log29·log492的值．换底公式的应用 已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)
[思路分析] (1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．
[规律总结] 1.用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．
2．在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取．换底公式在实际问题中的应用 2014年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年后的国民生产总值是2014年的2倍．(lg2取0.3010，lg1.08取0.0334，精确到1年)
[思路分析] 用方程的思想解决本题，设经过x年后变为原来的2倍，列出x的方程，解出x.
[规范解答] 设经过x年后的国民生产总值是2014年的2倍，经过1年，总产值为a·(1＋8%)，经过2年，总产值为a·(1＋8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.[规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解．第三章 §5 第1课时
一、选择题
1．已知f(x)＝log5x，则f(5)＝( )
A．0 B．1
C．5 D．25
[答案] B
[解析] f(5)＝log55＝1.
2．函数y＝的定义域是( )
A．(0,1] B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由
得解得x≥1.
3．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝x B．y＝(x＋1)
C．y＝2x D．y＝x＋1
[答案] A
[解析] 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A.
4．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
[答案] A
[解析] 反函数值域为原函数定义域(0，＋∞)．
5．函数y＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
[答案] D
[解析] 由对数函数定义可知，解得.
即26．函数y＝|log2x|的图像是图中的( )
[答案] A
[解析] 有关函数图像的变换是考试的一个热点，本题目的图像变换是翻折变换，可知这个函数是由y＝log2x经上折而得到的．
二、填空题
7．函数y＝的定义域是________．
[答案] (－1,1)
[解析] 由(1－x2)＝－log2(1－x2)＝log2≥0，得≥1，即0<1－x2≤1，所以－18．已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，则a＝________，b＝________.
[答案] 3 1
[解析] 由函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)得a＋b＝4；由反函数的图像过点(2,0)知原函数的图像过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝()x(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B?C，求a的取值范围．
[解析] (1)由题意知：
?x≥2.
∴A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}．∴A∩B＝{2}．
(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B?C，则有a－1≥2，∴a≥3.
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝.
[解析] (1)∵由
得
∴x>－1，且x≠999，
∴函数的定义域为{x|x>－1，且x≠999}．
(2)由题意可知
∴
∴即1≤x<2.
故函数y＝的定义域为{x|1≤x<2}.
一、选择题
1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题．
3x>0?3x＋1>1?log2(3x＋1)>log21＝0，选A.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．x D．2x－2
[答案] A
[解析] 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以，a＝2，
故f(x)＝log2x，选A.
二、填空题
3．(2015·新课标Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
[答案] 1
[解析] 由题知y＝ln(x＋)是奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)
＝ln(a＋x2－x2)＝ln a＝0，解得a＝1.
4．(1)函数f(x)＝log2[log2(log2x)]的定义域为________；
(2)已知y＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的取值是________．
[答案] (1){x|x>2} (2)a＝－1
[解析] 根据对数函数的定义域列出关于x的不等式．(1)由f(x)＝log2[log2(log2x)]知log2(log2x)>0，即log2x>1，∴x>2；
(2)∵f(x)的定义域为(－∞，1)，∴ax＋1>0的解集为(－∞，1)．∴x＝1是方程ax＋1＝0的根，∴a＋1＝0，即a＝－1.
三、解答题
5．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．
[解析] ∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3(y＋4)，
∴y＝log3(x＋4)，
又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞)．
∴函数的反函数为y＝log3(x＋4)(x≥5)．
6．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)[解析] (1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，
解得x＝2.
由图像知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
7．已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若f()＝1，求a的值．
[解析] (1)∵f(x)＝loga，需有>0，
即(1＋x)(1－x)>0，(x＋1)(x－1)<0，∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(3)∵f()＝loga＝loga3.
∴loga3＝1，故a＝3.
课件38张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§5 对数函数第1课时 对数函数的概念及对数
函数y＝log2x的图像和性质我们所处的地球正当壮年，地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万次，仅占1%,7级以上的大震每年平均约有18次，8级以上的地震每年平均仅1次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数.1.对数函数的有关概念
(1)对数函数：我们把函数y＝________(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的________．
(2)常用对数函数与自然对数函数：称以10为底的对数函数y＝lgx为______________，以无理数e为底的对数函数y＝lnx为______________．logax底数常用对数函数自然对数函数2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，通常情况下，x表示自变量，y表示函数，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数________(a>0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数________(a>0，a≠1)的反函数．y＝logaxy＝ax
3．y＝log2x的图像和性质
对数函数y＝log2x的图像过点________，函数图像都在________，表示了________没有对数；当x>1时，y＝log2x的图像位于________，当0[答案] C
[解析] ∵对数函数y＝log2x的底数大于1，
∴y＝log2x为增函数．
又对数函数的图像必过(1,0)点．故可得到答案C.[答案] C
[解析] 指数函数y＝4x的底数是4，故其反函数为对数函数y＝log4x.4．(2014·苏州高一检测)若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．
[答案] [1，log23]
[解析] ∵f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，
∴log22≤log2x≤log23，
即1≤log2x≤log23.5．对数函数的图像过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为________．
[答案] y＝log3x
[解析] 设对数函数为y＝logax，
∴2＝loga9，
∴a＝3，∴解析式为y＝log3x. 下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个对数函数的定义 [思路分析] 根据对数函数定义判定．
[规范解答] 形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的有③，④，其他的不符合．
[答案] B
[规律总结] 同指数函数一样，对数函数也是形式化定义，形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数是对数函数，否则不是．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(x＋7)(a>0，且a≠1)
B．y＝log3x2
C．y＝lg(x＋1)
D．y＝log5x
[答案] D
[解析] 只有形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数才是对数函数.求对数函数的定义域 [规律总结] 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为分母不能为零，0的零次幂与负指数次幂无意义，偶次方根被开方式(数)非负，求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．对数函数的值域与最值 [规律总结] 1.考查复合函数值域的求法，先求定义域，再确定真数的范围，最后根据对数运算并求出值域．
2．关键是真数的范围，特别注意的是隐含的自变量的取值范围．求反函数 (4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，即y＝log0.2(x－1)．又因为函数y＝0.2x＋1的值域是{y|y>1}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x>1}，即函数y＝0.2x＋1的反函数是y＝log0.2(x－1)(x>1)．
[规律总结] 要寻求函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来写成y＝g(x)的形式，如果这种表达式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x)． 已知f(x)＝4x(x>0)，求函数f－1(x)的定义域和值域．
[错解] 由f(x)＝4x，可得f－1(x)＝log4x是对数函数，
∴f－1(x)的定义域为(0，＋∞)，值域为R.
[辨析] 反函数的值域是原函数的定义域，反函数的定义域是原函数的值域．因此，求反函数的定义域、值域，应从原函数值域、定义域入手，而不是从反函数的解析式出发．[正解] ∵x>0，∴4x>1.
故f(x)的定义域为(0，＋∞)，值域为(1，＋∞)，
∴f－1(x)的定义域为(1，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
[规律总结] 由原函数与反函数的关系知，f(x)与f－1(x)的定义域、值域互换．第三章 §5 第2课时
一、选择题
1．如果x<y<0，那么( )
A．yC．1[答案] D
[解析] 因为y＝x为(0，＋∞)上的减函数，所以x>y>1.
2．(2015·南安高一检测)已知y＝4x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝，则x0的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D.
[答案] C
[解析] ∵y＝4x的反函数f(x)＝log4x，
又f(x0)＝，∴log4x0＝.
∴x0＝2.
3．下列不等式成立的是( )
A．log32C．log23[答案] A
[解析] ∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log25>log23>log22＝1.
又y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
∴log32∴log324．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是( )
[分析] 可利用函数的性质识别图像，特别注意底数a对图像的影响，也可从图像的位置结合单调性来判定．
[答案] B
[解析] 解法1：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A、C.
其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.
∴应选B.
解法2：若0若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．
解法3：如果注意到y＝loga(－x)的图像关于y轴的对称图像为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图像关于直线y＝x对称)，则可直接选定B.
5．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
[答案] C
[解析] ∵a＝log2π>1，b＝π<0，c＝π－2＝∈(0,1)，∴a>c>b.
6．y＝(x2＋2x－3)的递增区间为( )
A．(1，＋∞) B．(－3,1)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－3)
[答案] A
[解析] 由x2＋2x－3>0得x<－3或x>1，
设μ＝x2＋2x－3则y＝μ；
μ＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
当x∈(－∞，－3)时，μ＝x2＋2x－3是减函数，
当x∈(1，＋∞)时，μ＝x2＋2x－3是增函数，
又y＝μ在(0，＋∞)上为增函数，
∴y＝(x2＋2x－3)的递增区间为(1，＋∞)．
二、填空题
7．函数y＝(1－2x)的单调递增区间为________．
[答案] (－∞，)
[解析] 令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间(－∞，)内递减，而y＝u是减函数，
故函数y＝(1－2x)在(－∞，)内递增．
8．函数f(x)＝ln(a≠2)为奇函数，则实数a＝________.
[答案] －2
[解析] 由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，
即ln(a－1)＝－ln，∴＝1.
解得a＝－2或a＝2(舍去)．
三、解答题
9．已知f(x)＝ln.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析] (1)要使函数有意义，应满足>0，
∴(x－1)(x＋1)<0，
∴－1(2)要使f(x)＝ln>0，则有>1，∴－1>0，
∴>0，∴x(x－1)<0，∴0∴使f(x)>0的x的取值范围为(0,1)．
10．(1)已知loga>1，求a的取值范围．
(2)已知log0.72x[解析] (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0∴a的取值范围是(，1)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上是减少的，
∴由log0.72x1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
11．指数函数y＝()x的图像如图所示．
(1)在已知图像的基础上画出指数函数y＝()x的图像；
(2)求y＝ax2＋bx的顶点的横坐标的取值范围．
[解析] (1)由已知图象知0<<0，∴>1.∴y＝()x的图像如图所示．
(2)∵y＝ax2＋bx的顶点横坐标为－＝－·，
∴－<－<0.
∴y＝ax2＋bx的顶点横坐标的取值范围是(－，0).
一、选择题
1．设a＝，b＝，c＝log3，则a、b、c的大小关系是( )
A．aC．b[答案] B
[解析] 该题考查对数大小比较，考查对数函数的单调性，以及寻求中间变量．
∵a＝，b＝，c＝log3＝
∵x单调递减而<<
∴>>，
即c2．(2015·湖南高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[答案] A
[解析] 显然，f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.
二、填空题
3．不等式(x＋1)> (3－x)的解集是________．
[答案] {x|－1[解析] 原不等式等价于，解得－14．已知函数f(x)＝logax(0①若x>1，则f(x)<0；
②若00；
③若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；
④f(xy)＝f(x)＋f(y)．
其中正确的序号是________．(写出所有叙述正确的序号)
[答案] ①②④
[解析] f(x)＝logax(0三、解答题
5．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[解析] (1) 因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，
所以ln0.3(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，
所以loga3.1当0又3.1<5.2，
所以loga3.1>loga5.2.
(3)解法1：因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2解法2：如图所示
由图可知log40.2>log30.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
6．若x∈[2,4]，求函数y＝(x)2－x2＋5的值域．
[解析] ∵y＝(x－1)2＋4,2≤x≤4，
∴x∈[－1，－]．
∴≤y≤8.
∴y＝(x)2－x2＋5的值域为[，8]．
7．已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k，a>0且a≠1.
(1)求a，k的值．
(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．
[解析] (1)因为
所以
解得所以
(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2
＝(log2x－)2＋.
所以当log2x＝，即当x＝时，f(log2x)有最小值.
8．若－3≤x≤－，求f(x)＝(log2)·(log2)的最大值和最小值．
[解析] f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝(log2x－)2－.
又∵－3≤x≤－，∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝时，f(x)min＝f(2)＝－；
当log2x＝3时，f(x)max＝f(8)＝2.
9．已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1)．
(1)求f(x)＋g(x)的定义域；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性并说明理由；
(3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合．
[解析] (1)f(x)＋g(x)的定义域需满足
∴－1∴定义域为(－1,1)．
(2)f(x)＋g(x)为偶函数
设F(x)＝f(x)＋g(x)，则
F(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝F(x)，
又因为F(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称，
所以f(x)＋g(x)为偶函数．
(3)由f(x)＋g(x)<0得
loga(x＋1)＋loga(1－x)<0，
∴
当a>1时得x∈(－1,0)∪(0,1)；
当0综上所述当a>1时，使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章第三章§5 对数函数第2课时 对数函数的图像和性质一个驾驶员喝了酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒之后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少．为了保证交通安全，某地交通规则规定：驾驶员血液中的酒精含量应不大于0.08mg/mL，问若喝了少量酒的驾驶员至少过多少时间才能驾驶？1.对数函数的图像与性质(0，＋∞)2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)间的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为________，它们的图像关于直线________对称．R增函数减函数(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]反函数y＝x2．函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则( )
A．f(x)＝lgx B．f(x)＝log2x
C．f(x)＝lnx D．f(x)＝xe
[答案] C
[解析] 易知y＝f(x)是y＝ex的反函数．
∴f(x)＝lnx.故选C.4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．5．若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________．
[答案] b>a>c
[解析] 因为f(x)＝log0.2x为减函数，且0.2<0.3<1<4.
则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24，
即1>a>0>c.
同理log26>log22＝1，可知结果．对数函数的图像 [规律总结] 1.函数y＝logax(a>0，且a≠1)的底数a的变化对图像位置的影响如下，如图所示：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，底数大于1时，底数越大，图像越靠近x轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图像越靠近x轴．
(2)左右比较(比较图像与y＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．2．函数y＝f(x)的图像同y＝f(x±a)±b的关系(其中a，b>0)．作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图像．利用对数函数单调性比较大小 对数函数奇偶判定 函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减少的
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增加的
C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的
D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减少的
[答案] D
[解析] 已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．
当x>0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增加的．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减少的．故选D.对数函数性质的综合应用 求函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间．
[思路分析] 这是二次函数u＝8－2x－x2和对数函数f(x)＝log0.4u复合在一起所构成的函数的单调性问题，应由二次函数u＝8－2x－x2和对数函数f(x)＝log0.4u两个函数来确定复合后函数的单调性．[规范解答] 由8－2x－x2>0得函数f(x)的定义域是(－4,2)，
令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
可知当x∈(－4，－1]时，u是增加的，
x∈[－1,2)时，u是减少的，
∵f(x)＝log0.4u在u>0上是减少的，
∴函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)，
且在(－4，－1]上是减少的，在[－1,2)上是增加的．[规律总结]
1．求复合函数单调区间应按下列步骤完成：(1)求出函数的定义域；
(2)将复合函数分解为基本初等函数；
(3)分别确定各个基本初等函数的单调性；
(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间．
2．求单调区间要注意定义域．将本例中的函数改为y＝log4(8－2x－x2)又如何求解？
[解析] 由8－2x－x2>0得函数f(x)的定义域是(－4,2)，令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
可知当x∈(－4，－1]时，u是增加的，x∈[－1,2)时，u是减少的，
∵f(x)＝log4u在u>0上是增加的，
∴函数f(x)＝log4(8－2x－x2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)，
且在(－4，－1]上是增加的，在[－1,2)上是减少的． 求函数y＝loga(x2－1)(a>0，a≠1)的单调区间．
[错解] 令u＝x2－1，则y＝logau，
∵u＝x2－1是二次函数，且对称轴为x＝0，
∴当x∈(－∞，0]时，u＝x2－1递减；
当x∈(0，＋∞)时，u＝x2－1递增．
又当a>1时，函数y＝logau递增；当0∴当a>1时，函数y＝loga(x2－1)在(－∞，0]上递减，在(0，＋∞)上递增；
当0[正解] 由x2－1>0，可得x>1或x<－1，
令u＝x2－1.
当x∈(－∞，－1)时，u＝x2－1随着x的增大而减小；
当x∈(1，＋∞)时，u＝x2－1随着x的增大而增大．
∴当a>1时，函数y＝loga(x2－1)在(－∞，－1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的；
当0一、选择题
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
[答案] D
[解析] 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．若－1A．5－x<5x<0.5x B．5x<0.5x<5－x
C．5x<5－x<0.5x D．0.5x<5－x<5x
[答案] B
[解析] 在同一坐标系内作出y＝5x，y＝0.2x，y＝0.5x的图像，由－13．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，有( )
A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x)
C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)
[答案] A
[解析] 在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x的图像的上方，则f(x)>g(x)．
4．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为( )
A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4
B．y＝8×1.1x＋2.4x
C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4
D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4
[答案] A
[解析] 第一年企业付给工人的工资总额为
8×1.1＋3×0.8(万元)，
第二年应付给工人的工资总额为
(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，
依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为
y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)×1.1x＋2.4.
5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案] A
[解析] 由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.
6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y与x的函数关系为( )
A．y＝0.9576 B．y＝0.9576100x
C．y＝x D．y＝1－0.0424
[答案] A
[解析] 设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则有95.76%＝(1－t)100，所以t＝1－，所以y＝(1－t)x＝0.9576.
二、填空题
7．方程2x＝2－x的解的个数为____________．
[答案] 1
[解析] 分别作出函数y＝2x与y＝2－x的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解．
8．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…，这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是________．
[答案] y＝2x(x∈N＋)
[解析] 该函数为指数函数型y＝2x(x∈N＋)．
三、解答题
9．求方程logax＝x－2(0[解析] ∵求方程logax＝x－2(010．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
[解析] (1)由ax－1>0得ax>1，
∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0证明如下：
当a>1时，设0∴0∴loga(a x1－1)即f(x1)故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
同理可证：当0一、选择题
1．当2A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2x
C．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x
[答案] B
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像．
所以x2>2x>log2x.
2．设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[答案] A
[解析] ∵y＝x在(0，＋∞)上是增加的，
∴a>c.
∵y＝()x(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.
二、填空题
3．函数y＝的反函数是________．
[答案] y＝
[解析] ∵x<0时，y＝x＋1，
∴x＝y－1，
∵x<0，∴y<1，∴其反函数为y＝x－1(x<1)．
又x≥0时，y＝ex，∴x＝lny.
∵x≥0，∴y≥1，∴其反函数为y＝lnx(x≥1)，
∴反函数为y＝
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝________.
[答案] －1
[解析] 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝log3(1－x)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－log3(1－x)(x<0)．所以f(－2)＝－log33＝－1.
三、解答题
5．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[分析] (1)由题中所给函数式令v＝0即可；(2)令函数式Q＝80即可求得此时的v.
[解析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得y＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
6．比较下列各题中两个值的大小．
(1)30.8,30.7； (2)0.213,0.233；
(3)2，1.8； (4)log2.10.9，log2.20.9.
[解析] (1)函数y＝3x是增函数，∴30.8>30.7；
(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233；
(3)∵函数y＝x在[0，＋∞)上递增，∴2>1.8，
又∵函数y＝1.8x在R上递增，
∴1.8>1.8，故2>1.8；
(4)注意到两个对数的真数相同，
可先比较log0.92.1与log0.92.2的大小．
∵0<0.9<1,2.1<2.2，
∴由对数函数的单调性得log0.92.1>log0.92.2，如图
又∵log0.92.2∴<，即log2.10.9另外，也可以利用对数函数图像，当底数大于1时，底数越大，在直线x＝1左侧图像越靠近x轴，由图可得，log2.10.97．已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．
[分析] (1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线应的函数；(2)通过计算比较函数值的大小关系，求出a，b的值．
[解析] (1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值．当xx3，即f(x)>g(x)；
当x1当x>x2时，f(x)>g(x)．
由于f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1,2]，即a＝1；
又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
f(8)g(9)＝93＝729，f(9)f(10)＝210＝1024，g(10)＝103＝1000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9,10]，即b＝9.
课件34张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 指数函数和对数函数第三章§6 指数函数、幂函数、
对数函数增长的比较第三章在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝xn(n>0)都是____(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax_____ xn____ax.增<<1.函数y1＝2x与y2＝x2，当x>0时，图像的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 当x＝2或x＝4时，y1＝y2，当x>4时，y1>y2，故交点个数是2.[答案] A
[解析] A与D都是指数型函数，∴增加速度快排除B，C，又e>2，故选A.[答案] C
[解析] 代入(3.0,4.04)，(4.0,7.5)检验即可．故选C.4．函数y＝x2与函数y＝lnx在区间(0，＋∞)上增长较快的是________．
[答案] y＝x2
[解析] 作出y＝x2与y＝lnx的图像，通过比较图像可得．
5．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2(填“>”“＝”或“<”)．
[答案] <
[解析] 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2. 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况．
[思路分析] 解答本题时，应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．
[规范解答] 指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，Δy＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，Δx＝2，而Δy＝log23－log21＝1.5850.比较函数增长的差异 由此可知，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．
[规律总结] 在同一坐标系内作出y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增减变化情况．如图所示：比较大小问题
[规律总结] 1.比较同底数的对数值大小，考虑使用对数函数的单调性．
2．底数与真数都不相同时，经常采用放缩法或借助第三个量来比较大小．
3．利用函数图像及其相互位置关系来比较大小．不同增长的函数模型的实际应用 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
[思路分析] 若逐一计算考证，则非常繁琐，故可先通过画图像筛选出较好的方案，再从理论上通过计算进行确认，达到事半功倍的效果．[规范解答] 借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当x∈(20,1000]时，y>5，因此该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．[规律总结] 数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益． 在所有的增函数中，指数增长是最快的增长，称为“指数爆炸”，不学数学的人还真不敢想象．有好多有关传说．相传古代印度国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说“请在棋盘的第1格中放上1颗麦子，在第2格中放上2颗麦子，第3格中放上4颗麦子，第4格中放上8颗麦子，依次类推，每格中放的麦子数都是前一格的2倍，直到第64格”．国王以为小事一桩，马上答应了．我们算算国际象棋的发明者的要求到底高不高．
[辨析] 对于函数y＝ax(a>1)，随着x的增大，增长速度会越来越快，会超过并远远大于y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)的增长．[正解] 显然是指数函数f(x)＝2x－1(x∈{1,2,3，…，64})的模型，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)＝263≈9.22×1018.假定每1000颗麦子重40克，f(64)≈3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．
我们再算一算f1(x)＝log2x，f1(64)＝log264＝6，f2(x)＝x2，f2(64)＝4096，f3(x)＝2x，得f3(64)＝128.如下图(1)、图(2)是f(x)＝2x与f2(x)＝x2的图像．当x>4时，总有log2x<2x