数学试题参考答案与评分参考
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1．C 2．B 3．B 4．C
5．C 6．A 7．B 8．D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．ABD 10．BD 11．ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．112 13． 1 14． π ，166 3 π（答对一空给 3 分） 2
四、解答题：共 77 分。
15．解：（1）因为 G 是△ABC 的重心，
所以GA +GB +GC = 0 ， ……4 分
则GP + PA +GP + PB +GP + PC = 0，
即 PA + PB + PC = 3PG ； ……7 分
（2）由（1）有 PG = PA + PB + PC3 ，
| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 +2(PA PB + PA PC + PB PC )
所以 | PG |2= 9
22 ×3+ 2×3× 2× 2× cosπ
= 3 = 249 9 ，
即 PG = 2 63 ． ……13 分
2 2
16 y．解：（1）由题意有 a2 = 3+12 = 4 ，所以 C 的方程为 x4 + 3 =1； ……3 分
2 2 2 2
（2）设 A(x1,y1 )， B (x2,y )， D (x x1
y1 x2 y2
2 0,y0 )，则 4 + 3 = 4 + 3 ，
即 ( y1 + y2 )( y1 y2 ) = 34 (x1 + x2 )(x1 x2 )， ……6 分
当 AB y y y + y斜率存在时，有 1 2 1 2x x x =
3 ，即 k 3ABkOD = ， ……7 分
1 2 1 + x2 4 4
y y 2AB 16y
2
①当 斜率存在时，由上述分析有 0 0 3x 1 x = 4 ，得 4(x0 1 ) + 02 3 =1（ x0 ≠1），0 0
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……9 分
当 AB 斜率不存在时，易知 D(1,0)，满足上面得出的方程， ……10 分
D 4(x 1 )2 + 16y2综上， 的轨迹方程为 2 3 =1； ……11 分
②由①知，D 的轨迹是个椭圆，且 F 是该椭圆的右顶点，不难看出坐标原点 O 是该椭
圆的左顶点， ……14 分
所以 | DF |max = OF =1． ……15 分
17．解：（1）参与电子竞技的人数超过 35 人的代表队有 5 个，在此基础上，参与霹雳舞的
3
人数超过 25 C人的省代表队有 4 个，则所求概率为 4 23 = ； ……5 分 C5 5
4 5
（2）在一轮测试中，得分不低于 4 分的概率为C4 × ( 2 ) × (1 2 ) + ( 25 3 3 3 ) = 112243 ，
则甲队员在集训测试中得分不低于 4 分的次数服从二项分布 B (n,112 )， ……12 分 243
由题意， 112243 n≥8 ，解得 n≥
243
14 ，注意到 n∈N＋，所以 nmin =18 ，
即至少要进行 18 轮测试． ……15 分
18．（1）证明：由题意有CD = 3 ， BC = 7 ， BD = 2， AD =1， AC = 2 ，
注意到 BC 2 = BD2 +CD2 ， AC 2 = AD2 +CD2 ，
所以 BD⊥CD，AD⊥CD，
因为 BD∩AD＝D，CD 平面 ABD，
所以 CD⊥平面 ABD，又 AB 平面 ABD，
所以 CD⊥AB； ……4 分
（2）解：如图，作 BH⊥AD 于 H，则 AH = HD = 12 ， BH = BD
2 AH 2 = 15 ， 2
易知∠ADE＝∠DBH，则 sin∠ADE = sin∠DBH = DH 1 E，设 ABD = 4
DE＝x， H
由 S△BDE＝S△ADE＋S ，得 1 2 x = 1 ×1× 15 1△ABD 2 2 2 + 2 1 x
1 ， D B
4
解得 x = 2 15 ，即 DE = 2 15 ； ……9 分 7 7
（3）解：以 D 为坐标原点， DB的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系 D-xyz，
15
由题设得 A 1 4, 4 ,0
，C (0,0, 3) E 2 15 ， 0,
7
,0 ，
所以CA = 1, 15 4 4 , 3
CE = 0,2 15 ， 7 , 3 ，CD = (0,0, 3)， ……11 分
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z
m = ( p,q,r) ACE
m CA = 0
设 是平面 的法向量，则 ，
m CE = 0 C
1
4 p +
15
4 q 3r = 0 x
即 ，可取m = ( 15,7,2 5 )， B D
2 15
7 p 3r = 0 A
E
m CA = 0 y
设 n = (x,y,z) 是平面 ACD 的法向量，则 ，
m CD = 0
14 x +
15
4 y 3z = 0即 ，可取 n = ( 15, 1,0)， ……15 分
3z = 0
所以 cos m,n = m n 21 ， | m | | n | = 21
即平面 ACE 与平面 ACD 的夹角的余弦值为 21 ． ……17 分
21
2
19．（1）解：由题意得 4 =1， a2 + b22 = ( 7 ) ，得 a = 2， b = 3 ， a
C y
2 2
所以 的方程为 x4 3 =1； ……2 分
（2）解：由题设知 GH 过 P (0,6 )，故设 GH：y = kx + 67（k≠0），7 G (x1,y1 )，H (x2,y2 )，
y2 2
x =1
由 4 3 得 (3k 2 4) x2 + 36k 4807 x 49 = 0 ， y = kx + 6
7
36k 480
故 x + x = 71 2 ， x x 493k 2 4 1 2
= 2 ， ……4 分 3k 4
(kx + 20 )(kx + 20 ) k 21 2 x1x2 + 20k (x1 + x2 ) + 400
则 k k y1 + 2 y2 + 2 7 7 7 49AG AH = x =1 x2 x1x
= x x ， 2 1 2
36k
20k (x1 + x ) + 400 20k 7 + 4002
即 k k = k 2 + 7 49 = k 2 + 7 3k
2 4 49 10
AG AH x1x
= ，
2 480 349
3k 2 4
亦即 AG 与 AH 的斜率之积为103 ； ……9 分
（方法不唯一，答案对即可）
（3）证明：只需证明∠AOM＋∠ANM＝π，即∠ANM＝∠MOP，亦即证明 Rt△OMP∽Rt
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NAP | OP | | NP |△ ，有 ，
| MP | = | AP |
即证明 x 120M xN = 49 （＊）， ……13 分
| AP | | AP | | AP | | AP |
注意到 xM x 120N = ， ……15 分 | tan ∠AMP | | tan∠ANP | = | k | AG | kAH |
= 49
故（＊）式成立，所以∠AOM＋∠ANM＝π，
所以 A，O，M，N 共圆． ……17 分
（这是逆向推理，得出四边形 AOMN 对角互补即可）
附：第 19 题图
y
G
N P l
M x
O
A H
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{#{QQABKQQQggioAAIAAQhCAwH4CgCQkAEACIoOxFAEsAIACQNABAA=}#}秘密 ★ 启用前【2024 年 1 月】 试卷类型：A
2023-2024 学年度江西省部分重点中学高二期末联考
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案
写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知直线 l 的倾斜角为 1 rad，则 l 的斜率为
A．1 B．45 C．tan 1 D．tan 1°
2
2 y
2
．双曲线 x2 =1（a＞0）的离心率为 3 ，则 a = a 4
A．1 B． 2 C． 3 D． 6
3．若随机变量 X 服从正态分布 N (2,σ 2 ) ， P(X ≥ 4) = 0.45，则 P(X ≥0) =
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
2 2
4．直线 x + y =1 x y与椭圆 2 + 2 =1（a＞b＞0）的位置关系为 a b a b
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
5．如图 1，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，过点 D1，
E，F 的平面截该正方体所得的截面多边形记为 Ω，则 Ω的周长为
D1 C1
A1 B1
D C
F
A E B
图 1
A． 4 2 + 4 5 B． 4 3 + 2 C． 2 + 2 13 D． 4 13 + 2
6． (a 2 6 4b +1) 的展开式中， a2 的系数为 b
A．60 B．120 C． 60 D． 120
7．甲、乙、丙等 6 人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有
A．108 种 B．96 种 C．84 种 D．72 种
8．已知球 O 的两个相互垂直的截面圆 O1 和 O2 的公共弦 AB 的长度为 2，若△O1AB 是直
角三角形，△O2AB 是等边三角形，则球 O 的表面积为
数学试题 A 第 1 页（共 3 页）
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A．9π B．12π C．16π D．20π
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列说法正确的是
A．B1D⊥AC B．AC1⊥平面 A1BD
C．直线 B1D 与平面 ABCD 的夹角为 45° D．三棱锥 A1-BC1D 是正四面体
x2 y210．已知椭圆 C： + ，将 C 向右平移 4 个单位，向上平移 3 个单位得到椭圆 E，若4 3 =1
点 A，B 分别在 C，E 上，O1，O2 分别为 C，E 的中心，则
(x 4)2 (y + 3)2 A．E 的方程为 + =1 B．C 和 E 没有交点 4 3
C．A，B 的纵坐标之差可以为 7 D．|BO1|的最大值等于|AO2|的最大值
11．已知 F 为抛物线 C： y2 = 4x 的焦点，M，N，P，Q 是 C 上四个不同的动点，满足直线
MN，PQ 过 F，其中 M，P 在第一象限，若直线 MP 与 x 轴的交点为 ( λ,0) ，△MFP，
△NFQ，△PFN，△QFM 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则
A． λ =1时，PN∥MQ B．直线 MQ 与 x 轴的交点为 ( 1λ,0)
C S． 1 (S + S )(S + S )
S = λ D
1 3 1 4
． = λ2
2 (S2 + S3 )(
S2 + S4 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
( )4 ( 412． 5 +1 + 5 1) = ▲ ．
13．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 在平面 ABCD 内，若 P 到直线 AA1 的距
离与到直线 CD 的距离相等，则 P 到 CD 的距离的最小值为 ▲ ．
14．在三棱锥 P-ABC 中， BC = 2，∠BPC = π，∠BAC = π2 3 ，当三棱锥 P-ABC 的体积最大
时，直线 AP 与平面 ABC 的夹角为 ▲ ，三棱锥的外接球的表面积为 ▲ ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知 A，B，C，P 为空间内不共线的四点，G 为△ABC 的重心．
（1）证明： PA + PB + PC = 3PG ；
（2）若向量 PA ， PB ， PC 的模长均为 2，且两两夹角为 π ，求 | PG | ． 3
16．（15 分）
2 2
已知点 F (1,0)为椭圆 C： x + y2 =1的焦点，过 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点． a 3
（1）求 C 的方程；
（2）若 D 为 AB 的中点．
①求 D 的轨迹方程；
②求|DF|的最大值．
17．（15 分）
数学试题 A 第 2 页（共 3 页）
{#{QQABKQQQggioAAIAAQhCAwH4CgCQkAEACIoOxFAEsAIACQNABAA=}#}
第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在杭州举行，在保持原有 40 个大项目
不变的前提下，增设了电子竞技（E-Sports）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育
总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取
10 个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表：
省代表队 A B C D E F G H I
电子竞技人数 45 52 24 38 57 19 26 47 34
霹雳舞人数 26 18 44 43 32 27 56 36 48
（1）从这 10 支省代表队中随机抽取 3 支，在抽取的 3 支代表队参与电子竞技的人数均
超过 35 人的条件下，求这 3 支代表队参与霹雳舞的人数均超过 25 人的概率；
（2）某省代表队准备进行为期 3 个月的霹雳舞封闭训练，对 Powermove 中的 Swipe、
Windmill、Air tracks、Flare、Headspin 动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：
在每轮测试中，有一个裁判判定每项评分，有一个动作达到“优秀”即可得 1 分。已知在一
轮测试的 5 个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为 23 ，每个动作互不影响．如
果甲队员在集训测试中的得分不低于 4 分的次数的平均值不低于 8 次，那么至少要进行多
少轮测试？
18．（17 分）
如图 2，在四边形 ABCD 中， AB = BD = 2AD = 2 ，CD = 3 ， BC = 7 ，将△BCD 沿
着 BD 折叠，使得 AC = 2 （如图 3），过 D 作 DE⊥BD，交 AB 于点 E．
（1）证明：CD⊥AB；
（2）求 DE；
（3）求平面 ACE 与平面 ACD 的夹角的余弦值．
C
A
D B D
C
A
B E
图 2 图 3
19．（17 分）
2 2
双曲线 C y： x2 2 =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 7 ，点 A(0, 2) 在 C 上，直线 l：y =
6
a b 7
交 y 轴于点 P，过 P 作直线 GH 交 C 于 G，H 两点，且 GH 的斜率存在，直线 AG，AH 交 l
分别于 M，N 两点．
（1）求 C 的方程；
（2）求 AG 与 AH 的斜率之积；
（3）证明：A，O，M，N 共圆．
数学试题 A 第 3 页（共 3 页）
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