第一章 §1
一、选择题
1．下列对象能构成集合的是( )
A．江西某中学所有有爱心的女生
B．青岛某中学部分特长生
C．中国的著名歌唱家
D．大于π的自然数
[答案] D
[解析] A中“有爱心”的标准不明确，B中“部分”不明确，C中“著名歌唱家”的标准不明确，D中π≈3.14，所以大于π的自然数为4,5,6，….
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.∈M B．0?M
C．1∈M D．－∈M
[答案] D
[解析] >1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．
3．由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是( )
A．0 B．－1
C．1 D．－1或1
[答案] B
[解析] 验证法：若x＝0时，x2＝0，不合题意；
若x＝1时，x2＝1，不合题意；
若x＝－1时，x2＝1，符合题意，故选B.
4．给出下列语句：
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－a?N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④0∈?.
其中正确语句的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确；空集不含有任何元素，所以④不正确．故选A.
5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[答案] B
[解析] 根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B.
6．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
[答案] A
[解析] 本题考查分类讨论思想及一元二次方程问题．若a＝0，则有1＝0显然不成立；若a≠0，则有a2－4a＝0即a＝0或a＝4，所以a＝4.
二、填空题
7．用符号“∈”或“?”填空：
(1)________R; (2)________Q；
(3)2________N＋； (4)0.3________Z.
[答案] (1)∈ (2)∈ (3)∈ (4)?
[解析] (1)∵是实数，∴∈R；
(2)∵是有理数，∴∈Q；
(3)∵N＋是正整数集，∴2∈N＋；
(4)∵0.3是小数，∴0.3?Z.
8．集合{x∈Z|(x－1)2(x＋1)＝0}用列举法可以表示为________．
[答案] {－1,1}
[解析] ∵方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三个：－1,1,1，而作为解集，集合中元素只能是－1,1.
三、解答题
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解析] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
解得x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
10．设A＝{2,3，a2＋2a－3}，B＝{|a＋3|,2}，已知5∈A，且5?B，求a的值．
[解析] ∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5.
∴a＝2或a＝－4.
又∵5?B，∴|a＋3|≠5.
∴a≠2且a≠－8.
∴a＝－4.
一、选择题
1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2
C．6 D．2
[答案] C
[解析] 解法1：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C.
解法2：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，
∴a≠±2.
又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，
∴a≠1且a≠－2，故选C.
2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
[答案] C
[解析] ∵x∈A，y∈A，
当x＝0时，由y＝0,1,2得，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1时，由y＝0,1,2得，x－y＝1,0，－1；
当x＝2时，由y＝0,1,2得，x－y＝2,1,0.
由集合中元素的互异性可知，B＝{－2，－1,0,1,2}中共5个元素．
二、填空题
3．集合{，，，，}可用特征性质描述法表示为________．
[答案] {x|x＝，n∈N＋，n≤5}
[解析] 将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.、、、、，可得，n∈N＋，n≤5.
4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
[答案] 2
[解析] ∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，
∴25＋5a－5＝0，
∴a＝－4，
∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，
∴x＝2，∴该集合中所有元素之和为2.
三、解答题
5．用另一种方法表示下列集合．
(1){－3，－1,1,3,5}；
(2){x||x|≤3，x∈Z}；
(3){1,22,32,42，…}；
(4)已知M＝{2,3}，P＝{(x，y)|x∈M，y∈M}，写出集合P；
(5)集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，写出集合B.
[解析] (1){x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3}．
(3){x|x＝n2，n∈N＋}．
(4)P＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}．
(5)A＝{－2，－1,0,1,2}，
所以B＝{3,0，－1}．
6．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们的各自含义是什么？
[解析] (1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.
集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
7．某研究性学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1,2,3，…，8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x号同学去，则8－x号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：
(1)若只有一个名额，请问应该派谁去？
(2)若有两个名额，则有多少种分派方法？
[解析] 本题实质是考查集合中元素的特性，只有一个名额等价于x＝8－x，有两个名额则为x和8－x.
(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合，记作M，则有x∈M,8－x∈M.
若只有一个名额，即M中只有一个元素，必须满足x＝8－x，故x＝4，所以应该派学号为4的同学去．
(2)若有两个名额，即M中有且仅有两个不同的元素x和8－x，从而全部含有两个元素的集合M应含有1,7或2,6或3,5.也就是有两个名额的分派方法有3种．
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 集 合第一章§1 集合的含义与表示第一章一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1：数学家说的集合是指什么？
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？1.集合、元素
(1)集合定义
一般地，指定的________的全体称为集合．
(2)集合的记法
集合通常用________________________标记．
(3)元素
集合中的________叫作集合的元素．某些对象大写字母A，B，C，D，…每个对象2．元素与集合的关系
3.常用数集及表示符号a在集合A中a∈Aa不在集合A中a?ANN＋ZQR4.集合的表示方法
(1)列举法
把集合中的元素______________写在________内的方法．
(2)描述法
用确定的条件表示某些对象____________，并写在______内的方法．
5．集合的分类一一列举出来大括号属于一个集合大括号?有限集无限集1.下列各组对象中不能构成集合的是( )
A．《成才之路》教育集团的全体员工
B．2014年全国经济百强县
C．2015年考入北京大学的全体学生
D．美国NBA的篮球明星
[答案] D
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
[答案] C
[解析] 3－3x>0可化为x<1,0<1，－1<1，所以0∈A，－1∈A.3．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[答案] B
[解析] 选项A、C、D中集合的元素为1，而选项B中，集合中元素为±1，故选B.4．用符号“∈”或“?”填空．
(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
(2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；
(3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，
9．1________C.
[答案] (1)? (2)? (3)∈ ?
[解析] (1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1?A.
(2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3,2}，∴3?B.
(3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∴8∈C,9.1?C.5．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.
[答案] －1
[解析] ∵x2∈A，∴x2＝1，或x2＝0，或x2＝x.
∴x＝±1，或x＝0.
当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，
∴x＝－1. 考察下列每组对象能否构成一个集合：
①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的正数；④直角坐标系中，第一象限内的点．
[思路分析] 要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．集合的基本概念 [规范解答] ①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．
综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
[规律总结] 判断元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．下列说法：
①地球周围的行星能构成一个集合；
②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；
③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合．
其中正确的个数是( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ①是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法判断其是否属于地球的周围，因此它不满足集合元素的确定性．
②是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合．
③是错误的，因为集合中的元素具有无序性.元素与集合的关系 若2?{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________．
[思路分析] 由题意可知，2不具备集合中元素的共同特征，因此建立不等式即可求出a的取值范围．
[规范解答] 因为2?{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.
所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．
[答案] {a|a≥2}
[规律总结] 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数学的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，主要判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．集合的表示方法 用适当的方法表示下列集合
(1)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合；
(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(3)被5除余1的正整数组成的集合；
(4)坐标平面内坐标轴上的点集．
[思路分析] 当集合中元素较少且容易一一列举出来可用列举法；用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是什么，满足什么条件．解答(1)可联立方程求解．解答(2)可先解方程，再按要求改写．(3)、(4)可根据集合中元素性质改写．[规律总结] 1.用列举法写集合应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．另外还要弄清元素的个数．做到不重不漏，一一列举出来，写在大括号内．
2．用描述法表示集合，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
3．用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．用适当的方法表示下列集合：
(1){15的正因数}；
(2)三角形的全体构成的集合；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}；
(4)满足不等式3x＋1≤0的所有实数的集合．
[解析] (1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}．
(2){x|x是三角形}或{三角形}．
(3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4){x|3x＋1≤0}.集合中元素的特性及应用 已知集合A含有两个元素x－3和2x－1，若－3∈A，试求实数x的值．此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2x－1，则x＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，
综上所述，满足题意的实数x的值为0或－1.
[规律总结] 1.根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．
2．利用集合中元素的特性解题要注意分类讨论思想的应用．第一章 §2
一、选择题
1．下列表示正确的是( )
A．{0}∈N B．{0}?N＋
C．{0}?N D．{0}??
[答案] C
[解析] {0}与N均表示集合，而且0∈N，故有{0}?N.
2．若集合A＝{x|2013≤x≤2015，x∈N}，则集合A的真子集个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] B
[解析] 由题意知A＝{2013,2014,2015}，元素个数为3，∴其真子集个数为23－1＝7.故选B.
3．已知A＝{x∈R|－2
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．不确定
[答案] A
[解析] 用数轴把A，B表示出来如图所示，
∵x－5<0，∴x<5，因此B中元素不能都属于A，但A中元素都小于5(即都在B中)，由真子集定义知A是B的真子集．
4．设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A．P?N?M?Q B．Q?M?N?P
C．P?M?N?Q D．Q?N?M?P
[答案] B
[解析] 结合菱形、平行四边形、四边形及正方形的概念可知Q?M?N?P.
5．集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{y|y＝(x－1)2，x∈R}，则下列关系正确的是( )
A．A＝B B．A?B
C．A?B D．A?B
[答案] A
[解析] ∵A＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，
B＝{y|y＝(x－1)2，x∈R}＝{y|y≥0}，∴A＝B.
6．设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3
C．m<3 D．m≤3
[答案] B
[解析] ∵A＝{x|2∴将集合A、B表示在数轴上，如图所示，∴m≥3.
二、填空题
7．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则P________Q.
[答案] ?
[解析] 由x2<4可得：－28．已知A＝{a,0，－1}，B＝，且A＝B，则a＝________，b＝________，c＝________.
[答案] 1 －2 2
[解析] ∵A＝{a,0，－1}，B＝，A＝B，∴a＝1，b＋c＝0，＝－1，∴b＝－2，c＝2.
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．
[解析] 由已知A＝{2,3}，
①若B≠?，由B?A，
∴B＝{2}或B＝{3}或B＝{2,3}，
当B＝{2}时，方程x2＋ax＋6＝0有两个相等实根，
即x1＝x2＝2，x1x2＝4≠6，
∴不合题意．同理B≠{3}．
当B＝{2,3}时，a＝－5，合题意．
②若B＝?，则Δ＝a2－4×6<0，
∴－2综合上述，实数a的取值范围为{a|a＝－5或－210．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[解析] ∵B?A且B≠?，
∴，解得－1≤m<2.
一、选择题
1．已知集合A＝{0,1}，B＝{y|x2＋y2＝1，x∈A}，则( )
A．A＝B B．A?B
C．B?A D．B?A
[答案] B
[解析] 当x＝0时，y＝±1；当x＝1时，y＝0.
∴B＝{0，－1,1}，∴A?B.
2．定义集合A*B＝{x|x∈A且x?B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] ∵A*B＝{1,3}，
∴其子集为?，{1}，{3}，{1,3}．共4个，故选D.
二、填空题
3．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B?A，则实数x的值是________．
[答案] 0或±
[解析] ∵B?A，∴x2＝3，或x2＝x，
解得x＝±，或x＝0，或x＝1，
当x＝1时，集合B不满足元素的互异性，
∴x＝1舍去，故x＝0或x＝±.
4．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A?B，则实数k的取值范围是____________．
[答案] －1≤k≤
[解析] ∵A?B，∴，∴－1≤k≤.
三、解答题
5．已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．
[解析] ∵0∈B，A＝B，∴0∈A，
∵x≠xy，∴x≠0.
又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.
从而x－y＝0，x＝y.
这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}．
∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1.
经验证x＝－1，y＝－1满足题意．
∴x＝－1，y＝－1.
6．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x－a，a∈R，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，是否存在实数a，使C?B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析] 存在，A＝{x|－1≤x≤2}，当x∈A时，
－2－a≤2x－a≤4－a,0≤x2≤4；
∴B＝{y|－2－a≤y≤4－a，a∈R，y∈R}，
C＝{z|0≤z≤4，z∈R}．
若C?B，则应有??－2≤a≤0.
所以存在实数a∈{a|－2≤a≤0}时，C?B.
7．已知集合P＝{x∈R|x2＋ax＋4＝0}．
(1)若P＝{2}，求实数a的值；
(2)若{1}?P，求实数a的值．
[解析] (1)由于P＝{2}，所以方程x2＋ax＋4＝0只有一个根2，
因此22＋2a＋4＝0，解得a＝－4，
这时P＝{x∈R|x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意．
故a＝－4.
(2)由于{1}?P，因此集合P中含有元素1，
即1是方程x2＋ax＋4＝0的根，
所以12＋a×1＋4＝0，解得a＝－5.
这时P＝{x∈R|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，符合题意，故a＝－5.
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 集 合第一章§2 集合的基本关系第一章根据集合的定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物．如{四足动物}，{两足动物}，{绿色植物}，{菌类植物}，{植物}，{动物}，{汽车}．但有些集合之间有密切的关系．如{四足动物}与{动物}，前一个集合的元素都是后一个集合的元素，且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多，这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？学完本节内容就明白了！1.子集、真子集、集合相等的概念任何一个 ??A?BA≠B任何一个元素任何一个元素＝2.性质
(1)任何一个集合A是它本身的______，即________．
(2)空集是任何集合的________，是任何非空集合的真子集．
(3)对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，则________．
(4)对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，则________．
3．Venn图
我们常用平面内一条_______________表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫作Venn图．子集A?A子集A?C封闭曲线的内部1.下列命题：
(1)空集没有子集；
(2)任何集合至少有两个子集；
(3)空集是任何集合的真子集；
(4)若??A，则A≠?.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个[答案] B
[解析] (1)错误．空集可以是其本身的子集，即???；
(2)错误．空集只有一个子集；
(3)错误．空集本身没有真子集；
(4)正确．因为??A，所以集合A至少有一个元素．故选B.2．在下列各关系中错误的个数是( )
①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] ①正确；②应该是{1}?{0,1,2}；③、④都正确，故选A.3．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是( )
A．16 B．8
C．7 D．4
[答案] C
[解析] A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0,1,2}，
∴真子集有7个．
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
[答案] －1
[解析] ∵1－a＝2，∴a＝－1.5．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x≥m}，若A?B，则实数m的取值范围为________．
[答案] m≤－2
[解析] 将集合A、B表示在数轴上，如图所示，
∴m≤－2. 已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A?M?B，写出满足上述条件的集合M.
[思路分析] 由题意知，M中至少含有1,2两个元素，且3,4,5中至少含有一个元素才能满足A是M的真子集，M是B的子集．
[规范解答] ∵A?M?B，∴A为M的真子集，M为B的子集，∴M至少含有3个元素．
∴当M含有3个元素时{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；子集、真子集的概念 当M含有4个元素时{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
当M含有5个元素时{1,2,3,4,5}，共7个．
[规律总结] 1.求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．
2．解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即?和集合自身．已知{x|x2－1＝0}?A?{－1,0,1}，集合A的子集的个数是( )
A．3 B．4
C．6 D．8
[答案] D
[解析] 根据子集和真子集的概念，
∵{x|x2－1＝0}＝{1，－1}，又{－1,1}?A?{－1,0,1}，∴A＝{－1,0,1}，则其子集的个数是23＝8.故选D.集合的相等 设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.
[思路分析] 由题目可获得以下主要信息：
①A、B两个集合各有三个元素，且A中有一个已知元素1.
②两集合有一个公共元素a，且a≠1.
③A＝B.
解答本题只需建立有关实数a，b的方程组即可，可先根据A＝B，得a2＝1或ab＝1，然后列出方程组解出a，b的值，但要特别注意集合中元素的互异性．
[规律总结] 1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．集合关系的判定 [思路分析] 判定两个集合是包含还是相等关系，由定义，可研究其元素间关系，从元素间关系即可确定，注意元素用列举法或描述法给出时的不同判定方法．[规律总结] 1.判断两个集合之间的关系的方法有：
(1)将元素一一列举出来再判断；
(2)从集合中的元素入手，观察两个集合的特征性质能否相互推出；
(3)集合中的元素为不等式的解集时，可借助数轴判断．2．集合中关系的描述原则：
(1)当A?B和A?B均成立时，A?B更准确的反映了集合A，B的关系；
(2)当A?B和A＝B均成立时，A＝B更准确的反映了集合A，B的关系．
3．注意空集的特殊性：
(1)?是任何集合的子集；
(2)?是任何非空集合的真子集．设集合A＝{a|a＝2n＋1，n∈Z}，B＝{b|b＝2n－1，n∈Z}．试判断A与B之间的关系．
[解析] 任设a∈A，则a＝2n＋1＝2(n＋1)－1，
∵n∈Z，∴n＋1∈Z，∴a∈B，故A?B.①
又任设b∈B，则b＝2n－1＝2(n－1)＋1，
∵n∈Z，∴n－1∈Z，∴b∈A，∴B?A.②
由①②知A＝B.由集合关系求参数范围 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
[思路分析] 要注意以下几点：
①A、B都是以方程的解为元素构成的集合；
②B?A，即B为A的真子集；
③mx＋1＝0是含字母的方程．
解答本题可由条件B?A入手，分别按B＝?，B≠?讨论．[规律总结] 1.分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
2．此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
3．此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
[解析] 当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴， 设集合A＝{2，x，y}，B＝{2x，y2,2}，且A＝B，求x，y的值．[规律总结] 两个集合相等时，集合若用列举法给出，其元素应完全相同，但其顺序不一定相同；当两集合都用描述法给出时，其特征性质应相同．第一章 §3 3.1
一、选择题
1．(2015·广东高考)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝( )
A．{0，－1} B．{0}
C．{1} D．{－1,1}
[答案] B
[解析] M∩N＝{1}，故选B.
2．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{－1≤x≤2}，则A∪B等于( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0[答案] A
[解析] 借助数轴，易知A∪B＝{x|x≥－1}．
3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)} D．(2,1)
[答案] C
[解析] 由解方程组
解得x＝2，y＝1，
所以A∩B＝{(2,1)}．
4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] D
[解析] ∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴，∴a＝4.故选D.
5．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( )
A．{－2} B．{2}
C．{－2,2} D．?
[答案] A
[解析] A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．
6．设集合M＝{x|－3A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
[答案] A
[解析] 利用数轴分别画出集合M、N，如图：
∴M∩N＝{x|1≤x<2}．
二、填空题
7．(2015·江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
[答案] 5
[解析] A∪B＝{1,2,3}∪{2,4,5}＝{1,2,3,4,5},5个元素．
8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5[答案] －4
[解析] 如图所示，
可知a＝1，b＝6，∴2a－b＝－4.
三、解答题
9．集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由题意得B＝{x|x≥2}，
又A＝{x|－1≤x<3}，如图．
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)由题意得，C＝{x|x>－}，
又B∪C＝C，故B?C，∴－<2，∴a>－4.
∴实数a的取值范围为{a|a>－4}．
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解析] 因为A∪B＝A，所以B?A，
由已知得A＝{1,2}．
(1)若1∈B，则2×12－a×1＋2＝0，
得a＝4，当a＝4时，B＝{1}?A，符合题意．
(2)若2∈B，则2×22－2a＋2＝0，得a＝5.
此时B＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝?A，
所以a＝5不符合题意．
(3)若B＝?，则a2－16<0，
得－4综上所述，a的取值范围为－4一、选择题
1．集合A＝{a2，a＋1，－1}，B＝{2a－1，|a－2|,3a2＋4}，A∩B＝{－1}，则a的值是( )
A．－1 B．0或1
C．2 D．0
[答案] D
[解析] 由A∩B＝{－1}，得－1∈B.因为|a－2|≥0,3a2＋4>0，所以2a－1＝－1，这时a＝0，这时A＝{0,1，－1}，B＝{－1,2,4}，则A∩B＝{－1}成立．
2．设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}给出下列关系式：①A∩C＝?；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 事实上A＝R，B＝{y|y≥－4}，C是点集，只有①是正确的，其余3个均不正确．
二、填空题
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
[答案] {2} {－3,0,2}
[解析] ∵A＝{－3,2}，B＝{0,2}，
∴A∩B＝{2}，A∪B＝{－3,0,2}．
4．已知A＝{x|a5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
[答案] －3≤a<－1
[解析] 由题意A∪B＝R得下图，
则得－3≤a<－1.
三、解答题
5．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－px－2q＝0}，且A∩B＝{－1}，求A∪B.
[解析] 因为A∩B＝{－1}，所以－1∈A，－1∈B，
即－1是方程x2＋px＋q＝0和x2－px－2q＝0的解．
所以解得
所以A＝{－1，－2}，B＝{－1,4}．
所以A∪B＝{－2，－1,4}．
6．设集合A＝{－2}，B＝{x|mx＋1＝0，x∈R}，若A∩B＝B，求m的值．
[解析] ∵A∩B＝B，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，
∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程mx＋1＝0无解，此时m＝0.
当B≠?时，此时m≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，即有－＝－2，得m＝.
综上，得m＝0或m＝.
7．已知A＝{x|a≤x≤－a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝R，求a的取值范围．
[解析] (1)①当A＝?时，A∩B＝?，
∴a>－a＋3，∴a>.
②当A≠?时，要使A∩B＝?，必须满足
，解得－1≤a≤.
综上所述，a的取值范围是a≥－1.
(2)∵A∪B＝R，∴，解得a≤－2.
故所求a的取值范围为a≤－2.
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 集 合第一章第一章§3 集合的基本运算3.1 交集与并集已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？
事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了.1.并集与交集的概念既属于集合A又属于集合B{x|x∈A且x∈B}属于集合A或属于集合B{x|x∈A或x∈B}的所有元素的所有元素2.并集与交集的运算性质＝∩???AA＝∪??AAB1.设集合P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,4}，则P∩Q等于( )
A．? B．{－2，－1,0,1,4}
C．{4} D．{0,1}
[答案] A
[解析] ∵P与Q没有公共元素，∴P∩Q＝?，故选A.2．(2015·新课标Ⅱ)已知集合A＝{x|－1A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
[答案] A
[解析] 因为A＝{x|－1A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ①中a∈(A∪B)还有可能a∈B，错；②正确；③正确；④A∪B＝A?B?A?A∩B＝B，正确．故有3个正确．4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.
[答案] {(2,5)}5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
[答案] a≤1
[解析] 把集合A，B分别画在数轴上，要使A∪B＝R，则需a≤1. (1)设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，求A∩B，A∪B.
[思路分析] (1)首先化简M，N，然后再求交集．
(2)集合A，B都是无限集，可借助数轴直观求解A∩B，A∪B.交集、并集的简单运算 [规律总结] 此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．(1)(2015·新课标Ⅰ高考)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,1,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] D
[解析] 本题主要考查集合的运算．集合A用列举法表示为A＝{2,5,8,11,14，…}，所以A∩B＝{8,14}，元素的个数为2.(2)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
[答案] C
[解析] ∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴由并集的概念知A∪B＝{1，－2,3}．故选C.已知集合的交集并集求参数 已知集合M＝{2,3，a2＋4a＋2}，N＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且M∩N＝{3,7}，求实数a的值．
[思路分析] 根据交集中的元素必在两集合中，分别讨论求解．对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程求解．另外，在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求解结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性．[规范解答] ∵M∩N＝{3,7}，
∴a2＋4a＋2＝7，解得a＝1，或a＝－5.
当a＝－5时，N＝{0,7,3,7}，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝1时，M＝{2,3,7}，N＝{0,7,3,1}，
∴M∩N＝{3,7}，符合题意．
∴a＝1.
[规律总结] 本题考查交集的定义，并考查集合中元素的性质，注意分类讨论思想的运用，在确定集合中的元素时，要注意元素的互异性这一属性以及是否满足题意．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C交集、并集性质的应用 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[思路分析] 由A∪B＝A可知B?A.B为x2－4x＋a＝0的解集．故要分B＝?和B≠?两种情况讨论．[规范解答] 由已知得A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B?A，集合B有两种情况，B＝?或B≠?.
(1)B＝?时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
(2)B≠?时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}?A，满足条件；当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.
综上，a的取值范围是a≥4.[规律总结] 1.处理与集合元素有关的问题时，最后结果要检验，一方面看是否符合题意，另一方面看是否符合集合元素的三大特征．
2．在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等，解答时应灵活处理．
3．当集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝?的情况，切不可漏掉！已知集合A＝{x|－3≤x≤7}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．交集、并集的实际应用 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种电器中两种的占63%，三种电器齐全的占25%，求一种电器也没有的相对贫困户所占的比例．
[解析] 不妨设调查了100户农户，如图所示，A＝{100户中拥有电冰箱的农户}，
B＝{100户中拥有电视机的农户}，
C＝{100户中拥有洗衣机的农户}，
由图知，A∪B∪C的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90，
因此一种电器也没有的相对贫困户数为100－90＝10.
所以一种电器也没有的相对贫困户所占的比例为10%. 已知M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax＝1}，若M∪N＝M，则实数a取值的集合为________．第一章 §3 3.2
一、选择题
1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则集合A等于( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．?
[答案] C
[解析] ∵?UA＝{2}，且U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．
2．(2015·安徽高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?UB)＝( )
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
[答案] B
[解析] ∵?UB＝{1,5,6}，∴A∩(?UB)＝{1}，∴选B.
3．(2014·辽宁高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0[答案] D
[解析] A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
∴?U(A∪B)＝{x|04．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1A．{3} B．{0,3}
C．{0,4} D．{0,3,4}
[答案] B
[解析] ∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，
B＝{0,1,2,3}，
∴?UA＝{－1,0,3,4}，
∴B∩(?UA)＝{0,3}．
5．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．A∩B B．A∪B
C．B∩(?UA) D．A∩(?UB)
[答案] C
[解析] 由Venn图可知阴影部分为B∩(?UA)．
6．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )
[答案] B
[解析] ∵M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，∴N?M，故选B.
二、填空题
7．已知集合A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1,1，－3,3}，?UB＝{－1,0,2}，则集合B＝________.
[答案] {1,4,6，－3,3}
[解析] ∵?UA＝{－1,1，－3,3}，
∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，
又?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝{1,4,6，－3,3}．
8．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝______________.
[答案] {x|0[解析] ∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，
∴?UA＝{x|0三、解答题
9．设全集U＝R，集合A＝{x|－1[解析] 集合A、B在数轴上表示如图所示．
A∩B＝{x|－1A∪B＝{x|－1?U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}；
?U(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥3}．
10．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠?；(2)A∩B＝A；(3)A∪(?RB)＝?RB.
[解析] (1)A∩B≠?，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a<－1或a＋3>5
解得a<－1或a>2，
∴当a<－1或a>2时，A∩B≠?.
(2)∵A∩B＝A，∴A?B.由图得
a＋3<－1或a>5.
即a<－4或a>5时，A∩B＝A.
(3)由补集的定义知：?RB＝{x|－1≤x≤5}，
∵A∪(?RB)＝?RB，
∴A??RB.
由图得
解得：－1≤a≤2.
一、选择题
1．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
[答案] A
[解析] 由A∪B＝{1,2,3}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3,4}知A∩(?UB)＝{3}．
2．如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是( )
A．(A∪B)∩(A∩B) B．?U(A∩B)
C．[A∩(?UB)]∪[(?UA)∩B] D．?U(A∪B)∩?U(A∩B)
[答案] C
[解析] 阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(?UB)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(?UA)∩B.故选C.
二、填空题
3．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B??RA，实数a的取值范围为________．
[答案] a≥－1
[解析] ∵A＝{x|x>1}，如图所示，
∴?RA＝{x|x≤1}．
∵B＝{x|x<－a}，要使B??RA，则－a≤1，即a≥－1.
4．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
[答案] 12
[解析] 方法一：如图，全班同学组成集合U，喜欢篮球的组成集合A，喜欢乒乓球运动的组成集合B，则A∩B中人数为：15＋10＋8－30＝3人，∴喜欢篮球不喜欢乒乓球运动的人数为15－3＝12人．
方法二：设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8?x＝12.
三、解答题
5．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1(1)求A∩B；
(2)求(?UB)∪P；
(3)求(A∩B)∩(?UP)．
[解析] 借助数轴，如图
(1)A∩B＝{x|－1(2)∵?UB＝{x|x≤－1，或x>3}，
∴(?UB)∪P＝{x|x≤0，或x≥}．
(3)?UP＝{x|0(A∩B)∩(?UP)
＝{x|－1＝{x|06．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果?UA＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．
[解析] ∵?UA＝{0}，∴0∈U，但0?A，
∴x3＋3x2＋2x＝0，
∴x(x＋1)(x＋2)＝0，
∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.
当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；
当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；
当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5?U，故舍去，
综上所述，实数x存在，且它只能是－1.
7．设全集U＝R，A＝{x∈R|a≤x≤2}，B＝{x∈R|2x＋1≤x＋3，且3x≥2}．
(1)若B?A，求实数a的取值范围；
(2)若a＝1，求A∪B，(?UA)∩B.
[解析] (1)B＝{x|x≤2，且x≥}
＝{x|≤x≤2}，
又∵B?A，∴a≤.
(2)若a＝1，则A＝{x|1≤x≤2}，
此时A∪B＝{x|1≤x≤2}∪{x|≤x≤2}
＝{x|≤x≤2}．
∵?UA＝{x|x<1或x>2}，
∵(?UA)∩B＝{x|x<1，或x>2}∩{x|≤x≤2}
＝{x|≤x<1}．
课件36张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1 集 合第一章第一章§3 集合的基本运算3.2 全集与补集如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五、……，一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础.1.全集
在研究某些集合的时候，这些集合往往是_____________的子集，这个___________叫作全集，用符号____表示．某个给定集合给定的集合U2．补集{x|x∈U，且x?A}所有不属于A的元素U?A∪∩1.(2014·湖北高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则 ?UA＝( )
A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}
C．{2,4,7} D．{2,5,7}
[答案] C
[解析] ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，
∴?UA＝{2,4,7}．2．(2015·天津高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(?UB)＝( )
A．{3} B．{2,5}
C．{1,4,6} D．{2,3,5}
[答案] B
[解析] A＝{2,3,5}，?UB＝{2,5}，则A∩(?UB)＝{2,5}，故选B.3．集合A＝{A|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1[答案] D
[解析] ∵B＝{x|x<1}，A＝{x|－1≤x≤2}，
∴?RB＝{x|x≥1}，
∴A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．4．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则?UA＝________，?UB＝________，?BA＝________.
[答案] {0,1,3,5,7,8} {7,8} ?BA＝{0,1,3,5}
[解析] 由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得?UA＝{0,1,3,5,7,8}，?UB＝{7,8}，?BA＝{0,1,3,5}．5．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________.
[答案] 5
[解析] 由补集的定义知5?B，且5∈A，故m＝5. 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.
[思路分析] 先由集合A与?UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B.
[规范解答] 解法1：A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法2：借助Venn图，如图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．求补集的简单运算 [规律总结] 1.求补集的两个步骤
(1)明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集U.
(2)借助补集定义：利用?UA＝{x|x∈U，且x?A}求A的补集．
2．根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．已知A＝{0,1,2}，?UA＝{－3，－2，－1}，?UB＝{－3，－2,0}，用列举法写出集合B.
[解析] ∵A＝{0,1,2}，
?UA＝{－3，－2，－1}，
∴U＝{－3，－2，－1,0,1,2}．
又∵?UB＝{－3，－2,0}，
∴B＝{－1,1,2}.集合的交、并、补的综合运算 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|22．交、并、补运算时常用的性质
(1)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．
(2)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)．设全集U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，求A∪B.
[解析] 因为(?UA)∩B＝{2}，
所以2∈B，且2?A.
因为A∩(?UB)＝{4}，所以4∈A，且4?B.
所以42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0，
所以p＝－7，q＝6.
此时A＝{3,4}，B＝{2,3}，所以A∪B＝{2,3,4}.利用Venn图进行集合运算 集合S＝{x|x≤10，且x∈N＋}，A?S，B?S，且A∩B＝{4,5}，(?SB)∩A＝{1,2,3}，(?SA)∩(?SB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
[思路分析] 本题可用直接法求解，但不易求出结果，用Venn图法较为简单．
[规范解答] 解法1：(1)因为A∩B＝{4,5}，所以4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.
(2)因为(?SB)∩A＝{1,2,3}，所以1∈A,2∈A,3∈A,1?B,2?B, 3?B.(3)因为(?SA)∩(?SB)＝{6,7,8}，所以6,7,8既不属于A，也不属于B.
因为S＝{x|x≤10，且x∈N＋}，所以9,10不知所属．
由(2)(3)可知，9,10均不属于?SB，所以9∈B,10∈B.
综上可得A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
解法2：如图所示．
因为A∩B＝{4,5}，
所以将4,5写在A∩B中．
因为(?SB)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中．因为(?SB)∩(?SA)＝{6,7,8}，
所以将6,7,8写在S中A，B之外．
因为(?SB)∩A与(?SB)∩(?SA)中均无9,10，所以9,10在B中．
故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
[规律总结] 此题解答中的解法2的巧妙之处就是运用数形结合的方法求解，即利用Venn图将已知条件在图中标出，并从图中找出所求，直观形象，一目了然，省去解法一中的推理．设全集U＝{x∈Z|－2A．0∈S且0∈T B．0∈S但0?T
C．0?S但0∈T D．0?S且0?T
[答案] B
[解析] 由已知，得U＝{－1,0,1,2,3}，
∵S∩T＝{2}，∴2∈S,2∈T.
∵(?US)∩T＝{－1}，∴－1∈T，－1?S.利用补集思想求参数范围 已知集合A＝{x|x2－2(m－3)x＋3m－5＝0}，B＝{x|x>0}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
[思路分析] 直接求解，情况较多，十分麻烦，这时我们从求解问题的反面来考虑，就比较简单．
[规范解答] 设全集U＝{m|Δ＝4(m－3)2－4(3m－5)≥0}＝{m|m≤2或m≥7}，若方程x2－2(m－3)x＋3m－5＝0的两根均为非正，则
[规律总结] 本题运用的“正难则反”的解题策略，正是运用了“补集思想”．对于难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易、化隐为显，从而将问题解决．若集合A＝{x∈R|x2＋x＋m＝0}至少含有一个元素，求m的取值范围．
[分析] 解答本题可通过Δ＝1－4m>0，或Δ＝1－4m＝0来求根的情况，亦可利用补集的思想，先求Δ＝1－4m<0，然后取其补集． 若集合A＝{x|－1≤x<1}，当全集U分别取下列集合时，求?UA.
(1)U＝R；(2)U＝{x|x≤2}；(3)U＝{x|－4≤x≤1}．
[错解] 三种都求为?UA＝{x|x<－1或x≥1}．
[辨析] 给定集合A，如果不指定全集，是不能求补集的，本题应该利用补集定义、结合数轴求解．[正解] (1)∵U＝R，A＝{x|－1≤x<1}，
∴?UA＝{x|x<－1或x≥1}．
(2)∵U＝{x|x≤2}，A＝{x|－1≤x<1}，
∴?UA＝{x|x<－1或1≤x≤2}．
(3)∵U＝{x|－4≤x≤1}，A＝{x|－1≤x<1}，
∴?UA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．
[规律总结] 全集主要在与补集有关问题中用到，要注意它是求补集的条件，研究补集问题需先确定全集．