课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1集 合第一章本章归纳总结第一章本章主要学习了集合的概念，元素与集合、集合与集合间的关系，以及子集的性质与集合间的运算性质等．
1．集合是“某些指定对象的全体”
构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外，还可以是其他对象．
集合的元素具有：①确定性；②互异性；③无序性．
集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．
解答集合问题，要明白它所表示的意义，即元素指什么？是什么范围？紧紧抓住竖线前面的代表元素及它所具有的性质．判断给定对象能否构成集合时，要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，注意它的“互异性”，“无序性”．
2．元素与集合，集合与集合间的关系
元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系．
元素与集合间用“∈”或“?”表示．
集合与集合之间有包含关系，如子集、全集的关系，相等关系，真子集关系．
熟练掌握集合的图形表示，会借助韦恩图、数轴解决集合问题，树立数形结合解题的意识．3．“交、并、补”都是集合的运算，对于两个集合而言，交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，并集是指由这两个集合的全部元素组成的集合(要注意集合元素的互异性)．补集必须相对于指定的全集而言，一个集合的补集是指由不属于这个集合的全集中的全部其它元素组成的集合．
4．求解含参数的集合运算问题，先对集合化简，使问题明朗化，再对参数进行讨论，讨论时既不能重复也不能遗漏．5．在集合运算过程中应力求做到“三化”：
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？
(2)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助“数形结合思想”解决问题．1.集合中元素的三性
集合中的元素具有确定性，互异性和无序性．判断所给对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”，“无序性”．
[例1] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，
B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．
[思路分析] 根据集合中的元素对应相等，分情况讨论．学好集合的关系是把握“五个三” [解析] ∵A＝B，须分情况讨论．
①若a＋b＝ac，则a＋2b＝ac2，
解得a＋ac2－2ac＝0.
a＝0时，集合B中的三个元素均为零，和元素互异性矛盾，故a≠0.
∴c2－2c＋1＝0，即c＝1.
但c＝1时，B中的三个元素又相同，故无解．2．集合的三种表示方法
集合的常用表示法有列举法、描述法和Venn图法．这三种表示方法各有特点，应结合具体问题适当选用．特别要注意的是，在用描述法表示集合时，一定要弄清代表元素是什么．
[例2] 设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则下列关系中不正确的一个是( )
A．A∩C＝? B．B∩C＝?
C．B?A D．A∪B＝C
[解析] 集合A是由二次函数y＝x2的自变量x组成的集合，即A＝R；集合B是由二次函数y＝x2的因变量y组成的集合，即B＝{y|y≥0}；而集合C是由二次函数y＝x2图像上所有点组成的集合，为点集．所以A∪B＝R≠C.
[答案] D3．集合的三类
按照集合中元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集三类．其中，空集是一个特殊的集合，它不含有任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系的问题时，它往往易被忽视而导致解题出现失误．
[例3] 设U＝R，A＝{x|x2－3x－10>0}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且B?(?UA)，求实数a的取值范围．5．集合的三种运算
集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(?UA)，要正确理解并会进行这三种运算．设全集为U，已知集合A、B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，?UA＝{x|x∈U且x?A}．
[例5] 已知全集U＝{x|－4≤x≤4，x∈Z}，A＝{－1，a2＋1，a2－3}，B＝{a－3，a－1，a＋1}，且A∩B＝{－2}，求?U(A∪B)．
[分析] 要求?U(A∪B)，应先求出A∪B，这样问题就转化为求参数a的值．观察集合A，B中元素的特点，若A∩B＝{－2}，则只能a2－3＝－2成立．[解析] ∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.
又∵a2＋1>0，∴a2－3＝－2，解得a＝±1.
当a＝1时，A＝{－1,2，－2}，B＝{－2,0,2}，
则A∩B＝{－2,2}与A∩B＝{－2}矛盾．∴a≠1.
当a＝－1时，A＝{－1,2，－2}，B＝{－4，－2,0}，
则A∩B＝{－2}符合题意．
此时A∪B＝{－4，－2，－1,0,2}．
又∵U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，
∴?U(A∪B)＝{－3,1,3,4}.数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁．在日常学习中，要注意数学思想方法在解题中的运用，要增强运用数学思想方法解决问题的意识，这样能在求解过程中迅速找到解题思路或简化解题过程．集合中蕴涵的数学思想方法 1．数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．
(1)数轴法
对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算力差或考虑不全面而极易出错．此时，数轴分析法是个好帮手，它能将复杂问题直观化．在具体应用时，要注意端点是实心还是空心，以免增解或漏解．[例6] 已知集合A＝{x|－1
(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．(2)Venn图法
Venn图是集合语言中的图像语言，它易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念，问题的本质以及相互之间的关系．加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识，夯实基础，提高能力具有重要意义．
[例7] 已知I为全集，集合M，N?I，若M∩N＝N，则( )
A．?IM??IN B．M??IN
C．?IM??IN D．M??IN[解析] 根据条件画出Venn图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．
[答案] C2．分类讨论思想
分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想，利用分类讨论思想解决分类讨论问题，已成为高考考查学生知识和能力的热点问题．首先，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对知识面的考查；其次，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想和技巧，运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确，做到“不重不漏”．3．转化与化归思想
在解决一些集合问题时，如果一种集合的表达形式不好入手，那么就将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A?B”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，通过合理的相互转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．[例9] 某校高一(5)班有50人，其中参加航模小组的有25人，参加电脑小组的有32人，求既参加航模小组又参加电脑小组的人数的最大值与最小值．
[解析] 设U＝{高一(5)班学生}，A＝{参加航模小组的学生}，B＝{参加电脑小组的学生}．
设既参加航模小组又参加电脑小组的学生有x人．如图所示，从图中可得至少参加一组的有(25－x)＋x＋(32－x)＝57－x.4．补集思想
对于比较复杂，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样往往能化难为易，从而将问题解决，这就是补集思想，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．集合中的补集运算常常与方程、不等式等相联系，特别是否定性的条件，如a?A，可转化为a∈?RA，有时求解将会十分方便，省去一些复杂的讨论．[例10] 若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围．集合中的创新题主要是指题目中引入了新概念、新术语、新符号或定义新的运算的问题，处理这类问题的关键是要准确地理解相关“新内容”的含义，依据其含义寻找解题的切入点．
[例11] 设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M，且x?P}，则M－(M－P)等于( )
A．P B．M∩P
C．M∪P D．M集合中的创新题 [解析] 本题是差集问题，可以从所给的定义入手转化为集合的交、并运算式进行推理，也可直接从M－(M－P)的意义上去考虑．
当M∩P≠?时，由Venn图知，M－P为图形中的阴影部分，则M－(M－P)显然为M∩P.
当M∩P＝?时，M－P＝M，则M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M且x?M}＝?.
[答案] B一、选择题
1．(2015·山东高考)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝( )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
[答案] C
[解析] 因为B＝{x|1＜x＜3}，所以A∩B＝(2,3)，故选C.2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(?UA)∩B＝( )
A．{0} B．{2}
C．{0,1,2} D．?
[答案] A
[解析] ∵?UA＝{0,1}，∴(?UA)∩B＝{0}，故选A.3．设P＝{x|x>4}，Q＝{x|－2A．P?Q B．Q?P
C．P??RQ D．Q??RP
[答案] D
[解析] ∵Q＝{x|－2而?RP＝{x|x≤4}，
∴Q??RP.4．如果A＝{x|x>－1}，那么正确的结论是( )
A．0?A B．{0}?A
C．{0}∈A D．?∈A
[答案] B
[解析] 由于0>－1，所以{0}?A.而选项A，C，D对于元素与集合、集合与集合的关系使用符号不对，故都是错误的．5．集合A＝{1,2,3,4}，B?A，且1∈(A∩B)，4?(A∩B)，则满足上述条件的集合B的个数是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
[答案] C
[解析] 由1∈(A∩B)，且4?(A∩B)，得1∈B，
但4?B，又B?A，
∴集合B中至少含有一个元素1，至多含有3个元素1,2,3，故集合B可以为{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．二、填空题
6．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．
[答案] 3
[解析] 用列举法将A∩Z中的元素列举出来相加即可．
A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1∴A∩Z＝{0,1,2}．
∴A∩Z的元素的和为3.7．设集合A＝{x∈Z|x≤－3}，B＝{x∈Z|x≤2}，全集U＝Z，则(?UA)∩B＝________.
[答案] {－2，－1,0,1,2}
[解析] ∵U＝Z，A＝{x∈Z|x≤－3}，
B＝{x∈Z|x≤2}，
∴?UA＝{x∈Z|x>－3}，
∴(?UA)∩B＝{x∈Z|－3[答案] {0,1,5}
[解析] ∵A∪B＝A，∴B?A.
当B＝?时，a＝0；当B＝{1}时，a＝5；
当B＝{5}时，a＝1，
∴由a的取值组成的集合为{0,1,5}．三、解答题
9．已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)若x∈N，求集合A的子集的个数．课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1函 数第二章本章归纳总结第二章函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终，配方法、换元法、待定系数法等基本方法，特殊化思想、分类讨论思想、数形结合等数学思想在本章中有较大应用，通过学习幂函数、二次函数，体会函数思想在数学和其他学科中的重要性，因此说函数是中学数学的一条主线，是中学数学的重要内容，是学习数学其他知识和分支的基础．1．函数的概念
函数的实质是两个非空数集之间的一种特殊映射．
学习时要注意体会用函数的思想解方程、不等式，要善于总结归纳求函数的定义域、值域的常见题型及相应的求解思路．
2．函数的图像
函数的图像可以形象地揭示函数的有关性质．在考试题中主要考查基本初等函数的图像特征及函数的图像变换．要学会利用函数的图像来解题，若题目中已给出图像，应注意深入挖掘图像中所反映出的有助于解题的明显信息和隐含信息；若题目中未给出图像，应有意识地画出函数的草图．3．函数的性质
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性，这是考试考查的重点中的重点，与此相关的综合题，不仅局限于函数本身的综合，还可以是与不等式的交叉综合，但归根结底都要利用函数的性质来进行解题．4．二次函数
熟练掌握二次函数的三种表示方式：
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－k)2＋h(a≠0)；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
二次函数与二次方程密切联系，在解决二次函数的有关问题，特别是含参数的二次方程的有关问题时，通常借助于二次函数的图像特征(如单调区间、与坐标轴的交点、对称轴的位置、最值等)．函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它是两个非空数集间的映射，它要求任给一个自变量的值，都有唯一的函数值与之对应，由此可判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集A到非空数集B的对应是否是函数．函数的表示方法主要有列表法、图像法、解析法．在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是非常重要的．函数的图像是变量间关系的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势．函数图像广泛地应用于解题过程当中，利用数形结合解题直观、明了、易懂，在历届高考中，常出现有关函数图像和利用图像解题的试题．函数的概念及表示法 [例1] 已知函数f(x)的定义域为[－1,3]，在同一坐标系下，函数y＝f(x)的图像与直线x＝1的交点个数为
( )
A．0 B．1
C．2 D．0或1
[解析] ∵f(x)的定义域为[－1,3]，而1∈[－1,3]，∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图像上，又在直线x＝1上．
由于函数的定义知，函数是一种特殊的对应，即对于定义域[－1,3]中的任意一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x＝1与y＝f(x)的图像有且只有一个交点．
[答案] B[例2] 客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图像中，正确的是( )1.直接法
求基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)的最值，应用基本初等函数的最值结论，直接写出其最值．
[例3] 函数f(x)＝x2－4x＋3在[0,3]上的值域是
( )
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[－1,3] 求函数最值(值域)的方法[解析] f(x)＝(x－2)2－1，∵0≤x≤3，
∴f(x)min＝f(2)＝－1，
f(x)max＝f(0)＝3.
∴－1≤f(x)≤3.
[答案] D[例4] 求下列函数的值域．
(1)y＝3x－1，x∈{1,2,3,4}；(2)y＝|x|＋1.
[解析] (1)∵y＝3x－1，x∈{1,2,3,4}，
∴y∈{2,5,8,11}．
∴函数的值域为{2,5,8,11}．
(2)∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.
∴函数的值域为[1，＋∞)．3．配方法
当函数的解析式中出现二次式的结构时，常用配方法求值域．5．图像法
画出函数图像，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
[例7] 函数y＝|x＋1|－|x－1|的最大值是________．6．单调性法
先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值．常用到下面的结论：①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增加的，在区间[b，c)上是减少的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减少的，在区间[b，c)上是增加的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．7．分离常数法
注意到分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法求出值域．研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求．其中，单调性是在某个区间上刻画函数值随自变量的变化而变化的趋势；奇偶性是从整个定义域内反映函数的对称性质．对函数的这两个性质，不仅会从图像上直观感知，还要能利用它们解决有关函数问题．函数的性质及应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．抽象函数问题 [分析] 令x＝y＝1，得f(1)，将抽象不等式f(x)＋f(2－x)<2转化为关于x的不等式组．
[解析] (1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.1.数形结合思想
函数的数形结合思想是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，尤其是在新课标“多考一点想，少考一点算”的指导下，数形结合将成为考查学生理性思维的一个切入口．函数中的思想方法 2．分类讨论思想
当某些数学问题含有参数时，常常运用分类讨论的思想，把问题转化为小问题一一解决．
分类讨论相当于增加了具体的条件，使思路更加开阔．分类标准视具体情形确定，但要遵循“不重复、不遗漏”的原则．[答案] B[答案] A3．二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥f(0)，那么实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，－0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
[答案] C[答案] A5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B二、填空题
6．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是____________．
[答案] [－1,1]，[3，＋∞)
[解析] y＝|x2－2x－3|的图像如图所示，由图像法直接得出增区间．8．函数f(x)是定义域R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0]上为减函数，则f(1.5)，f(π)，f(－2)的大小顺序为(用<号连接起来)__________．
[答案] f(1.5)[解析] 由f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为单调减函数，可得f(x)在[0，＋∞)上为单调增函数，∴f(1.5)∴f(1.5)9．奇函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上为增函数，是否存在m使f(2t2－4)＋f(4m－2t)>f(0)对t∈R均成立？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．课件57张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1指数函数和对数函数第三章本章归纳总结第三章指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是历届高考的重点．本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上，引入了分数指数幂的概念，然后将分数指数幂推广到实数指数幂，进而研究指数运算、指数函数的概念及图像性质；对数运算、对数函数的概念及其图像和性质．另外，函数的实际应用是新课标增添的内容．但它的研究思想方法，一直是高中数学的重点及难点之一，也是高考中常见题型．(2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像3．对数的概念及相关性质
(1)对数的定义
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)指数式与对数式的关系(7)对数函数的图像及性质在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过程中提高运用知识解决问题的能力．1.有关指数、对数的运算问题
指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次，若出现分式，则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．基本题型归纳
2．函数图像的应用
指数函数、 对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，记熟性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．[例2] 已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是( )
[解析]因为函数y＝log2x的反函数是y＝2x，所以f(x)＝2x.故f(1－x)＝21－x，因为此函数在R上是减函数，且过点(0,2)．因此选C.
[答案]C3．数的大小比较问题
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．4．考查函数的定义域
函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错解，因而也是易错题．5．考查函数的值域
函数的值域或最值问题往往与单调性相关，而对数函数的单调性及应用是历年高考的重点．[点评] 本题考查的知识点较多，如求f(x)，g(x)的解析式，求函数定义域和函数值，求反函数等．在解题过程中还要用到指数函数与对数函数的性质，解方程和不等式等．只要掌握好每一个知识点，按题目要求一步一步地进行求解，就可以顺利完成.1.数形结合思想的应用
函数的解析式与函数图像是函数的两种不同表现形式，因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到“以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数的判断和解的范围的确定等．数学思想方法归纳 [例7] 求不等式x－1解指数不等式与对数不等式是本章常见题型，其解法主要是“同底法”，通过等价转化，将指数、对数不等式(或方程)转化为一次或二次不等式(或方程)，若是含有参数的不等式，结合函数的单调性，一般需利用分类讨论的思想方法判断．[例8] 若－1换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．本章中，常设u＝logax或u＝ax，然后将问题转化为一元二次方程、二次函数等问题，特别要注意换元后u的取值范围．4．转化与化归思想
所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段，将问题通过变换使之转化，归结为在已有的知识范围内可以解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换，转化为已解决的问题．可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无一不是在不断转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式．[例10] 解方程2(4x＋4－x)－7(2x＋2－x)＋10＝0.
[分析] 通过换元，将方程化为关于t的二次方程并求解．[答案] C
[解析] 解法一：当x＝2时，log2x－1＝1－1＝0，函数f(x)无意义，排除B、D；当x＝1时，log2x－1＝0－1＝－1，函数f(x)无意义，排除A，故选C.
解法二：要使函数f(x)有意义，应满足log2x－1>0，
∴log2x>1，∴x>2，故函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．2．函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(－2,1) D．(－1,1)
[答案] D
[解析] 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图像过定点(－1,1)．4．已知0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] y＝ax＋b的图像，可看成y＝ax(0A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
[答案] D
[解析] ∵a＝log36＝1＋log32；b＝log510＝1＋log52；
c＝log714＝1＋log72.
∵log32>log52>log72，∴a>b>c.[答案] (1,2]
[解析] 当x≤2，故－x＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需f1(x)＝3＋logax(x＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a＞1，所以f1(x)＞3＋loga2，所以3＋loga2≥4，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是(1,2]．课件50张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修1函数应用第四章本章归纳总结第四章1．方程的根与函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
零点性质：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法
对于区间[a，b]上图像连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
3．用二分法求零点的近似值的步骤：
第1步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
第2步：求区间(a，b)的中点x1；第3步：计算f(x1)；
(1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；
(3)若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]；
(4)若满足精度ε时，a，b近似值相等，则其值为所求，否则重复(2)～(4)．4．函数应用题，就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学函数问题．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：5．解函数应用问题，一般地可按以下四步进行．
第1步：阅读理解、认真审题．
就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质．尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．
在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试找出问题的函数关系．审题时要抓住题目中关键的量，要勇于尝试、探索，敢于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．第2步：引进数学符号，建立数学模型．
一般地设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
第3步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第4步：再转译成具体问题作出回答．1.函数零点的判断
由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以函数问题可转化为方程问题，方程问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件，我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用．基本题型归纳 [点评] 确定函数的零点所在的大致区间时，可以从形与数两个方面共同考虑．先根据函数的图像，得到函数零点所在的大致区间，再验证区间端点处的函数值是否反号，这需要函数的图像要较准确．2．方程根的区间分布
[例2] 求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0.
(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2)有两个实根，且都大于1；
(3)有两实数根α、β，且满足0<α<1<β<4；
(4)至少有一个正根．
[分析] 利用函数零点的性质和根的判别式求解．[点评] 解决本题要注意与二次函数图像的结合，可以作出各种情况的草图帮助解题，另外对于(4)的分类，要特别注意一根为正、一根为零的情况．用二分法逐步计算，列表如下：[点评] 1.求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解．
2．二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确值．4．函数建模应用问题
[例4] 点P从点O出发，沿周长为l的图形运动一周，设O、P的距离y与点P所走的路程x的函数关系如图所示，则点P所走的图形是( )1.函数与方程思想
在数学上，解方程是很重要的内容，但是能够将精确解求出来的方程不是很多，五次以上的一般代数方程，一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解．而将解方程的问题转化为函数零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法．解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为求函数零点的求解问题．数学思想方法 2．数形结合思想
数形结合思想是重要的数学思想方法，它把数学关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，从而将问题转化为熟悉的问题来解决．数形结合常用于解方程、不等式和求函数值域等问题中．3．分类讨论思想
有些实际问题，在建立函数模型的过程中，可能会涉及多种说不清楚的情况，此时，应运用分类讨论的思想，对它进行分类讨论，从而顺利地建模．分类标准应视具体情况而定，但要遵循“不重不漏”的原则．
[例7] 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量am3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分按b元/m3支付超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示，根据表中的数据求a，b，c.[分析] 易知2月份，3月份的用水量已超过了最低限量am3，但1月份的用水量是否已超过最低限量，需要进行分类讨论．一、选择题
1．若函数f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
[答案] B[解析] 由已知条件得f(－2)＝f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图像如下图所示，可知f(x)有两个零点．3．某种细菌在培养过程中，每30分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成1024个需经过( )
A．5小时 B．6小时
C．7小时 D．8小时
[答案] A
[解析] 因为细菌每30分钟分裂一次，一小时分裂两次，所以细菌个数y与分裂时间t小时的函数关系式为y＝22t，把y＝1024代入得1024＝22t,1024＝22×5＝22t，
所以t＝5(小时)，故选A.5．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1[答案] B二、填空题
6．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)有两个零点，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是________．
[答案] 17．现有含盐7%的食盐水200g，要将它制成工业生产上需要的含盐在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需加入4%的食盐水xg，则x的取值范围是________．
[答案] (100,400)[答案] A、B、E或B、D、E、F
[解析] 当投资为13亿元时，有以下两种投资选择方案：f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(投资13亿元)；
f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(投资13亿元)．三、解答题
9．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.
(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式．
(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(lg2≈0.3010)
[分析] (1)利用归纳猜想的方法得函数关系式；
(2)利用(1)的结论转化为解不等式．第一、二章综合测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·新课标Ⅰ)已知集合M＝{x|－1A．(－2,1) B．(－1,1)
C．(1,3) D．(－2,3)
[答案] B
[解析] 由M＝{x|－12．已知集合M＝{x|－2A．2.5∈M B．0?M
C．?∈M D．集合M是有限集
[答案] A
[解析] 因为－2<2.5<3，所以2.5是集合M中的元素，即2.5∈M.
3．函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )
A．(－∞，0)∪ B．(－∞，2]
C.∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵x∈(－∞，1)∪[2,5)
∴x－1∈(－∞，0)∪[1,4)
当x－1∈(－∞，0)时，∈(－∞，0)；
当x－1∈[1,4)时，∈.
4．已知函数f(x)＝，则( )
A．f(x)是奇函数且f()＝－f(x)
B．f(x)是奇函数且f()＝f(x)
C．f(x)是偶函数且f()＝－f(x)
D．f(x)是偶函数且f()＝f(x)
[答案] C
[解析] f(－x)＝＝＝f(x)，
又f()＝＝－()＝－f(x)．故选C.
5．抛物线y＝2x2－x＋1的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x＝， B．x＝，
C．x＝， D．x＝，
[答案] B
[解析] ∵y＝2x2－x＋1＝22＋，
∴对称轴为x＝，顶点坐标为.
6．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．1或－1
[答案] A
[解析] 由M∪N＝M知N?M.
∴a2＝0或1，∴a＝0,1，－1.
而当a＝0,1时，不满足集合中元素的互异性．
∴a＝－1.
7．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )
A．18件 B．36件
C．22件 D．9件
[答案] A
[解析] y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－x2
＝－x2＋18x－20.
∴x＝18时，y有最大值．
8．若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)＝( )
A．3 B．3x
C．6x＋3 D．6x＋1
[答案] B
[解析] 由f[g(x)]＝f(2x＋1)＝6x＋3＝3(2x＋1)，知f(x)＝3x.
9．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( )
A．(－2,1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知?RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤1}．
10．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试判断M与P的关系是( )
A．M?P B．P?M
C．M＝P D．M?P，且P?M
[答案] A
[解析] 由题设可知M、P都是整数的集合，为确定它们之间的关系，可从元素与集合的关系入手，对于任意x∈M，则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5.
∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P.
这说明集合M中的任何一个元素1＋a2(a∈N＋)都是集合P的元素，∴M?P.
又1∈P，此时a2－4a＋5＝(a－2)2＋1＝1，即a＝2.
而1?M，因为此时1＋a2＝1在a∈N＋时无解．
∴综合知M?P.
11．已知定义在R上的奇函数f(x)，在[0，＋∞)上单调递减，且f(2－a)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是( )
A．(，2] B．(，＋∞)
C．[1，) D．(－∞，)
[答案] D
[解析] ∵f(x)在[0，＋∞)单调递减且f(x)为奇函数，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，从而f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f(2－a)∴2－a>a－1，∴a<，故选D.
12．如果奇函数y＝f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)上，满足f(x)＝x－1，那么使f(x－1)<0成立的x的取值范围是( )
A．x<0 B．1C．x<2且x≠0 D．x<0或1[答案] D
[解析] x<0时，－x>0.由题设f(－x)＝－x－1.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝x＋1.∴函数y＝f(x)的解析式为
f(x)＝，
∴不等式f(x－1)<0化为，
或.
∴x<0或1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则(?UA)∪B＝__________.
[答案] {x|x≥－2}
[解析]
由数轴得，?UA＝{x|－1≤x<2或x≥3}，
再由数轴得，(?UA)∪B＝{x|x≥－2}．
14．若?{(x，y)|y＝ax2＋1}，则a＝________.
[答案] －
[解析] 由得，
由题意知，－1＝4a＋1，
∴a＝－.
15．函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数g(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)的定义域为________．
[答案] [a,1－a]
[解析] 由已知得
?
∵0∴g(x)的定义域为x∈[a,1－a]．
16．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原像；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
[答案] ②③
[解析] 当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原像时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a[解析] (1)A∩B＝{x|3≤x<6}．
∵?RB＝{x|x≤2，或x≥9}，
∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6，或x≥9}．
(2)∵C?B，如图所示：
∴，解得2≤a≤8，
∴所求集合为{a|2≤a≤8}．
18．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(f(－1))的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
[解析] (1)因为f(－1)＝－f(1)＝0，
故f(f(－1))＝f(0)，
由奇函数的性质知f(0)＝0，
从而有f(f(－1))＝0.
(2)当x＝0时，由奇函数的性质知f(0)＝0；
当x<0时，－x>0，
故f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)＋3]＝－x2－4x－3.
综上所述，f(x)＝
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)画出偶函数f(x)的图像；
(2)根据图像，写出f(x)的单调区间；同时写出函数的值域．
[解析] (1)f(x)的图像如图所示．
(2)由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1)，(0,1)．
f(x)的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)，值域为{y|y≥－1}．
20．(本小题满分12分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,1]时，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c.
从而，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴?
又f(0)＝c＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)及f(x)>2x＋m?m令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，则当x∈[－1,1]时，g(x)＝x2－3x＋1为减函数，
∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，从而要使不等式m21．(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)满足：
①对任意的x，y∈R，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；
②当x>1时，f(x)>0.求证：
(1)f(1)＝0；
(2)对任意的x∈R，都有f()＝－f(x)；
(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性．
[解析] (1)证明：令x＝y＝1，则有
f(1)＝f(1)＋f(1)?f(1)＝0.
(2)对任意x>0，用代替y，有
f(x)＋f()＝f(x·)＝f(1)＝0，
∴f()＝－f(x)．
(3)f(x)在(－∞，0)上是减函数．
取x11，∴f()>0，
∵f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f()＝f()>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，0)上为减函数．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c∈R)，且同时满足下列条件：①f(－1)＝0；②对任意实数x，都有f(x)－x≥0；③当x∈(0,2)时，有f(x)≤()2.
(1)求f(1)；
(2)求a，b，c的值；
(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(m∈R)是单调函数，求m的取值范围．
[解析] (1)由f(－1)＝0，得a－b＋c＝0，①
令x＝1，有f(1)－1≥0和f(1)≤()2＝1，
∴f(1)＝1.
(2)由f(1)＝1得a＋b＋c＝1②
联立①②可得b＝a＋c＝，
由题意知，对任意实数x，都有f(x)－x≥0，即ax2＋(a＋c)x＋c－x≥0，
即ax2－x＋c≥0对任意实数x恒成立，于是
即
∵c＝－a，
∴??a＝，
∴a＝c＝，b＝.
(3)由(2)得：g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋－mx＝[x2＋(2－4m)x＋1]
∵x∈[－1,1]时，g(x)是单调的，
∴|－|≥1，解得m≤0或m≥1.
∴m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．
第一章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·新课标Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
[答案] A
[解析] 由已知得B＝{x|－22．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
[答案] B
[解析] A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．
3．有下列结论：①由1,2,3,4,5构成的集合含有6个元素；②大于5的自然数构成的集合是无限集；③边长等于1的菱形构成的集合是有限集合；④某校高一入学成绩最好的学生构成的集合是有限集．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ②正确，①中集合的元素有5个，③中边长等于1的菱形，夹角不定，④不对，故①③④不正确．
4．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－A．A∩B＝? B．A∪B＝R
C．B?A D．A?B
[答案] B
[解析] 本题考查集合的关系与运算．
A＝{x|x2－2x>0}＝{x|x<0或x>2}
∴A∪B＝R，故选B.
5．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是( )
A．a≤－1 B．a≥1
C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1
[答案] C
[解析] ∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.
即：－1≤a≤1.
6．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么( )
A．a?A B．a?A
C．{a}?A D．{a}?A
[答案] D
[解析] A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A是包含与否的关系，据此，A、C显然不对．而<，所以a是A的一个元素，{a}是A的一个子集．故选D.
7．(2014·浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝( )
A．? B．{2}
C．{5} D．{2,5}
[答案] B
[解析] 本题考查集合的运算．A＝{x∈N|x2≥5}＝{x∈N|x≥}，故?UA＝{x∈N|2≤x<}＝{2}．选B.
8．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( )
A．{(1,2)} B．{(2,1)}
C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}
[答案] C
[解析] 该集合为数集，所以A、B都不对，D是用列举法表示，但元素为方程x2－3x＋2＝0.
9．设S＝R，M＝{x|－1A．M∩N B．M∪N
C．?S(M∪N) D．?S(M∩N)
[答案] C
[解析] ∵M∪N＝{x|－110．设U是全集，M、P、S是U的三个子集，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪(?US)
C．(M∩P)∪S D．(M∩P)∩(?US)
[答案] D
[解析] 阴影部分不属于S，属于P，属于M，故选D.
11．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a?N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合{x∈Q|∈N}是有限集．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[答案] D
[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，∴①不正确．
②当a＝0时，0∈N，∴②不正确．
③∵x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，
∴{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，
∴③不正确．
④当x为正整数的倒数时∈N，
∴{x∈Q|∈N}是无限集，
∴④不正确．
12．设集合M＝{x|x≤2}，a＝，其中b∈(0,1)，则下列关系中正确的是( )
A．a?M B．a?M
C．{a}∈M D．{a}?M
[答案] D
[解析] 由集合与集合及元素与集合之间的关系知，显然A、C不正确．又因为2＝，
所以当b＝0时，a＝，可知<，而当b＝1时，a＝，可知D正确．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________.
[答案] {6,8}
[解析] 本题考查的是集合的运算．
由条件知?UA＝{6,8}，B＝{2,6,8}，∴(?UA)∩B＝{6,8}．
14．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(?RM)∩N＝________.
[答案] {x|x<－2}
[解析] ∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴?RM＝{x|x<－2或x>2}．
又N＝{x|x<1}，
∴(?RM)∩N＝{x|x<－2}．
15．设全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影表示的集合为________．
[答案] {－3}
[解析] 如图阴影部分为(?UA)∩B.
∵A＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}，
B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，
∴(?UA)∩B＝{－3}．
16．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3l＋1，l∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
[答案] S?P＝M
[解析] M、P是被3除余1的数构成的集合，则P＝M，S是被6除余1的数，则S?P.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
[解析] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M；
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾；
当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴a＝4.
18．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－2＝0}且A∪B＝A，求实数m组成的集合C.
[解析] 由A∪B＝A得B?A，因此B有可能等于空集．
①当B＝?时，此时方程mx－2＝0无解，
即m＝0符合题意．
②当B≠?时，即m≠0，此时A＝{1,2}，B＝{}，
∵B?A.∴＝1或＝2，
∴m＝2或m＝1.
因此，实数m组成的集合C为{0,1,2}．
19．(本小题满分12分)设数集A＝{a2,2}，B＝{1,2,3,2a－4}，C＝{6a－a2－6}，如果C?A，C?B，求a的取值的集合．
[解析] ∵C?A，C?B，∴C?(A∩B)．
又C中只有一个元素，
∴6a－a2－6＝2，解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，a2＝4,2a－4＝0满足条件；
当a＝4时，a2＝16,2a－4＝4也满足条件．
故a的取值集合为{2,4}．
20．(本小题满分12分)已知M＝{x|x2－5x＋6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若N?M，求实数a所构成的集合A，并写出A的所有非空真子集.
[解析] ∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．
∵N?M，∴N为?或{2}或{3}．
当N＝?时，即ax＝12无解，此时a＝0；
当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；
当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.
所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．
21．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；
(2)若??(A∩B)，且A∩C＝?，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠?，求a的值．
[解析] (1)∵A∩B＝A∪B，
∴A＝B，即x2－ax＋a2－19＝x2－5x＋6，
∴a＝5.
(2)由已知有B＝{2,3}，C＝{－4,2}．
∵??(A∩B)，A∩C＝?，∴3∈A，而－4,2?A.
由32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5.
当a＝－2时，A＝{3，－5}，符合题意，
当a＝5时，A＝{3,2}，与A∩C＝?矛盾，
∴a＝－2.
(3)若A∩B＝A∩C≠?，则有2∈A.
由22－2a＋a2－19＝0，得a＝5或a＝－3.
当a＝5时，A＝{3,2}，不符合条件，
当a＝－3时，A＝{－5,2}，符合条件．
∴a＝－3.
22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：
①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.
(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．
(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?
[解析] (1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．
若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：
{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，
若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．
(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：
S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．
(3)答案不唯一，如：①S?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5?S，则S中元素个数为偶数个．
第二章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，在(－∞，0)上为递增的是( )
A．f(x)＝－2x＋1 B．g(x)＝|x－1|
C．y＝ D．y＝－
[答案] D
[解析] 熟悉简单函数的图像，并结合图像判断函数单调性，易知选D.
2．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( )
[答案] B
[解析] 选项B中，当x取某一个值时，y可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．
3．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[2,3) B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
[答案] C
[解析] 要使函数有意义，
x需满足解得x≥2且x≠3.故选C.
4．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是( )
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
[答案] C
[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．
5．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f作用下的像是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] A
[解析] 由已知可得解得
于是y＝x－2，因此5在f下的像是5－2＝3.
6．若函数f(x)＝那么f(－3)的值为( )
A．－2 B．2
C．0 D．1
[答案] B
[解析] 依题意有f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，即f(－3)＝2.
7．不论m取何值，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图像总过的点是( )
A．(1,3) B．(1,0)
C．(－1,3) D．(－1,0)
[答案] A
[解析] 由题意知x2＋2x－y＋m(1－x)＝0恒成立，
∴，解得，
∴图像总过点(1,3)．
8．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间上一定是减函数的是( )
A．[3,4] B．[1,2]
C．[2,3] D．[－1,0]
[答案] A
[解析] 偶函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f(x)向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．
9．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( )
A．f(3)＋f(4)<0 B．f(－3)－f(－2)<0
C．f(－2)＋f(－5)<0 D．f(4)－f(－1)>0
[答案] D
[解析] 由题意知函数f(x)在[0,6]上递增．
A中f(3)＋f(4)与0的大小不定，A错；
B中f(－3)－f(－2)＝f(3)－f(2)>0，B错；
C中f(－2)＋f(－5)＝f(2)＋f(5)与0的大小不定，C错；
D中f(4)－f(－1)＝f(4)－f(1)>0，D正确．
10．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(－∞，0) D．[0，)
[答案] D
[解析] ∵函数的定义域为R，
∴kx2＋4kx＋3恒不为零，则k＝0时，成立；
k≠0时，Δ<0，也成立．
∴0≤k<.
11．函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则＋－的值是( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] A
[解析] ∵函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a＋b＋c＝0，
即a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b.
∴＋－＝－1.
12．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意得|2x－1|<?－<2x－1<?<2x<?第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．
[答案] y＝x2＋4x＋2
[解析] y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2
＝x2＋4x＋2.
14．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
[答案] 0
[解析] 本题考查偶函数的定义等基础知识．
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|x－a|＝|x＋a|，平方，整理得：ax＝0，
要使x∈R时恒成立，则a＝0.
15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________；
当g[f(x)]＝2时，x＝________.
[答案] 1 1
[解析] f[g(1)]＝f(3)＝1，
∵g[f(x)]＝2，
∴f(x)＝2，∴x＝1.
16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有________个．
[答案] 3
[解析] 根据定义，满足函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y＝2x2＋1，x∈{0，}；y＝2x2＋1，x∈{0，－}，y＝2x2＋1，x∈{－，0，}共3个．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知f(x)＝，
(1)画出f(x)的图像；
(2)求f(x)的定义域和值域．
[分析] 解答本题可分段画出图像，再结合图像求函数值域．
[解析] (1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－3,3]．
(1)当a＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数．
[解析] (1)当a＝－5时，f(x)＝x2＋10x＋2＝(x＋5)2－23，x∈[－3,3]，
又因为二次函数开口向上，且对称轴为x＝－5，
所以当x＝－3时，f(x)min＝－19，
当x＝3时，f(x)max＝41.
(2)函数f(x)＝(x－a)2＋2－a2的图像的对称轴为x＝a，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数，
所以a≤－3或a≥3.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
[解析] (1)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)
＝－＝.
∵00.
∴<0.∴f(x1)∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又∵f(x)在[，2]上是增加的，
∴即
∴a＝.
20．(本小题满分12分)已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
[解析] 由{x|－2(1)由－2m2－m＋3>0，
∴2m2＋m－3<0，∴－由(2)知f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2为偶函数，舍去．
当m＝0时，f(x)＝x3为奇函数．
∴f(x)＝x3.
当x∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数，
∴f(x)的值域为[0,27]．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图
函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2]．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋x3，x∈R.
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若a，b∈R，且a＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小．
[解析] (1)函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数，
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝(x1＋x)－(x2＋x)＝(x1－x2)＋(x－x)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x＋1)
＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x＋1]．
因为x10.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数．
(2)由a＋b>0，得a>－b，由(1)知f(a)>f(－b)，
因为f(x)的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x－x3
＝－(x＋x3)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.
第三、四章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·江西高考)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由x2－x>0，得x>1或x<0，故选C.
2．函数y＝x，x∈(0,8]的值域是( )
A．[－3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，3]
[答案] A
[解析] ∵x∈(0,8]，∴x≥8，
∴x≥－3，∴y≥－3.故正确答案为A.
3．函数f(x)＝的零点是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
[答案] B
[解析] 令f(x)＝0，得＝0，即x＋1＝0，
所以x＝－1.
4．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
[答案] C
[解析] ∵＝|2－a|＝a－2.＝|3－a|＝3－a，
∴原式＝a－2＋3－a＝1，故选C.
5．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
[答案] D
[解析] ∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝－<0，f(0)＝30－02＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0，
∴有零点的区间是[－1,0]．
6．设a，b，c均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
[答案] B
[解析] 由换底公式得logab·logca＝·＝＝logcb，B正确．
7．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
[答案] B
[解析] 由f(x)为偶函数得m＝0，所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2.
b＝f(log25)＝2log25－1＝2 log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c8．(2014·天津高考)函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
[答案] D
[解析] 本题考查复合函数的单调性，f(x)＝(x2－4)由y＝u及u＝x2－4复合而成，y＝u在定义域为减函数，而u＝x2－4在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝(x2－4)的单调递增区间(－∞，－2)，选D.
9．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x B．f2(x)＝x
C．f3(x)＝log2(x＋1) D．f4(x)＝log8(x＋1)
[答案] B
[解析] 在同一坐标系下画出四个函数的图像，由图像可知f2(x)＝x增长的最快．
10．(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
[答案] C
[解析] 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作函数g(x)的图像如图，
由，得
结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－111．方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[分析] 此类方程是超越方程，只能借助函数图像解决．
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝log2(x＋4)及y＝3x的图像，如图所示．由图像可知，它们的图像有两个交点，故选C.
12．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案] C
[解析] 解法1：由图像变换知函数f(x)图像如图，
且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，
∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，
∴当x∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f(a)>f(－a)，故选C.
解法2：①若a>0，则－a<0，
∴log2a>a?log2a>log2?a>?a>1.
②若a<0，则－a>0，
(－a)>log2(－a)?
log2(－)>log2(－a)?－>－a
?a2<1?a∈(－1,1)．
又∵a<0，∴－1由①②可知a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．
故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
[答案] log32
[解析] 当x∈(－∞，1]时，f(x)∈(0,3]；
当x∈(1，＋∞)时，f(x)∈(－∞，－1)．
∵f(x)＝2，∴3x＝2?x＝log32.
14．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根大于1，另一根小于1，则a的取值范围是________．
[答案] a<2
[解析] 设f(x)＝3x2－5x＋a.由题意知，f(1)<0，即－2＋a<0，∴a<2.
15．(2014·安徽高考)()－＋log3＋log3＝________.
[答案]
[解析] ()－＝()－3＝，而log3＋log3＝log31＝0，所以应填.
16．某类产品按质量可分10个档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，最低档次的产品，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则每件利润增加2元；最低档次产品每天可生产60件，用同样的工时，每提高一个档次将少生产3件产品，则生产第__________档次的产品，所获利润最大．
[答案] 9
[解析] 设生产第x档次的产品获利为y元，则
y＝[8＋2×(x－1)][60－3(x－1)]＝(6＋2x)(63－3x)＝6(x＋3)(21－x)＝6(－x2＋18x＋63)
＝－6(x－9)2＋864.
∴当x＝9时，y取最大值，即获利最大．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算：(2)＋(lg5)0＋()－；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
[解析] (1)原式＝()＋(lg5)0＋[()3]－＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得
6x－9＝33＝27，
∴6x＝36＝62，∴x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解．
∴原方程的解为x＝2.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有唯一零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
[解析] (1)∵函数f(x)在区间(－1,1)上有唯一零点，
∴或
即或∴1(2)若a＝，
则f(x)＝x3－x＋，
∵f(－1)>0，f(1)<0，f(0)＝>0，
∴零点在(0,1)上．又f(0.5)＝0，
∴f(x)＝0的根为0.5.
19．(本小题满分12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)，
(1)求函数的定义域；
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．
[解析] (1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1所以函数的定义域为{x|－1(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数．因为u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，
所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1.
所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝log4u为单调增函数，所以y的最大值为y＝log44＝1，此时x＝1.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝
求函数g(x)＝f(x)－的零点．
[解析] 求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根．
当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；
当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.
∴函数g(x)＝f(x)－的零点是或.
21．(本小题满分12分)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
[解析] (1)依题意：由，有，
解得：a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.
由，有，
解得a2＝，b2＝5，∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5.
所以甲厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．
(2)作函数图像如下：
从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1g(x)；
当522．(本小题满分12分)定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时的解析式为f(x)＝－(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．
[解析] (1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，
f(－x)＝－＝4x－a·2x，
又∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．
(2)∵f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]．
∴g(t)＝at－t2＝－(t－)2＋.
当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1；
当1<<2，即2当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.
综上所述，当a≤2时，f(x)最大值为a－1，
当2当a≥4时，f(x)最大值为2a－4.
第三章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{y|y＝x2，x∈N＋}，则( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A?B且B?A
[答案] D
[解析] ∵A＝{2,4,8,16,32，……}，
B＝{1,4,9,16,25，……}，
∴2∈A，且2?B；9∈B且9?A，故选D.
2．下列计算正确的是( )
A．log26－log23＝log23
B．log26－log23＝1
C．log39＝3
D．log3(－4)2＝2log3(－4)
[答案] B
[解析] 在B选项中，log26－log23＝log2＝log22＝1，故该选项正确．
3．已知函数f(x)＝则f(f())＝( )
A．4 B.
C．－4 D．－
[答案] B
[解析] f(f())＝f(log3)＝f(－2)＝2－2＝.
4．给定函数①y＝x，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，
④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] B
[解析] y＝(x＋1)和y＝|x－1|在区间(0,1)上单调递减，y＝x和y＝2x＋1在区间(0,1)上单调递增．
5．函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图像形状只能是( )
[答案] A
[解析] 排除法：
∵函数y＝－logax中x>0，故排除B；
当a>1时，函数y＝ax为增函数，函数y＝－logax为减函数，故排除C；
当06．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
[答案] A
[解析] ∵y＝在[－1，＋∞)上是增函数，
∴y＝在(0，＋∞)上为增函数．
7．(2015·新课标Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log2 12)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
[答案] C
[解析] 由已知得f(－2)＝1＋log24＝3，又log212>1，所以f(log212)＝2log212－1＝2 log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.
8．(2014·辽宁高考)已知a＝2－，b＝log2，c＝，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
[答案] D
[解析] a＝2－＝∈(0,1)，b＝log2<0，
c＝> ＝1，∴c>a>b.
9．设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝3x－2，集合M＝{x|x∈R|f(g(x))>0}，N＝{x∈R|g(x)<2}，则M∩N＝( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(－∞，1)
[答案] D
[解析] ∵f(g(x))>0，∴g2(x)－4g(x)＋3>0.
∴g(x)>3或g(x)<1，
∴M∩N＝{x|g(x)<1}．
∴3x－2<1,3x<3，∴x<1.故选D.
10．(2015·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
[答案] A
[解析] 由已知条件可得函数图像：
故f(a)＝－3＝－log2(a＋1)，可得a＝7；
f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.
故本题正确答案为A.
11．(2014·陕西高考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝()x
[答案] B
[解析] 当f(x)＝3x时，f(x＋y)＝3x＋y，
f(x)f(y)＝3x·3y＝3x＋y，
∴f(x＋y)＝f(x)·f(y)；
当f(x)＝()x时，f(x＋y)＝()x＋y，
f(x)f(y)＝()x·()y＝()x＋y，
∴f(x＋y)＝f(x)f(y)，
又f(x)＝()x为单调递减函数，f(x)＝3x为单调递增函数，故选B.
12．已知f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－4,4) B．[－4,4)
C．(－4,4] D．[－4,4]
[答案] C
[解析] 要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则需g(x)＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上递增且恒大于零．
∴?－4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．(2014·天津高考)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u＝x2，则函数u＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y＝lgu是增函数，∴函数f(x)＝lgx2的单调递减区间为(－∞，0)．
14．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________.
[答案]
[解析] ∵f(x6)＝log2x＝log2x6，
∴f(x)＝log2x，
∴f(8)＝log28＝log223＝.
15．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－，则a，b，c大小关系为______．
[答案] c[解析] a＝log32＝，b＝ln2＝，
而log23>log2e>1，所以ac＝5－＝，而>2＝log24>log23，所以c综上c16．关于函数y＝2x2－2x－3有以下4个结论：
①定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)；
②递增区间为[1，＋∞)；
③是非奇非偶函数；
④值域是(，＋∞)．
则正确的结论是________．(填序号即可)
[答案] ②③
[解析] ①不正确，因为y＝2 x2－2x－3的定义域为R；
④不正确，因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴2 x2－2x－3≥2－4＝，即值域为[，＋∞)；
②正确，因为y＝2u为增函数，u＝x2－2x－3在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，所以y＝2 x2－2x－3的递增区间为[1，＋∞)；
③正确，因为f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)＋＋3×100－；
(2)设4a＝5b＝100，求2(＋)的值．
[解析] (1)原式＝＋＋3－
＝＋＋3－0.4
＝＋＋3－
＝
(2)∵4a＝100，
∴a＝log4100.同理可得，b＝log5100，
则＝＝log1004，＝＝log1005，
∴＋＝log1004＋2log1005＝log100(4×52)＝log100100＝1.∴2(＋)＝2.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)．
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝2x，
∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
∵f(x)的定义域是[0,3]，
∴解得0≤x≤1.
∴g(x)的定义域是[0,1]．
(2)g(x)＝(2x)2－4×2x
＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，
∴2x∈[1,2]．
∴当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3；
当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4.
19．(本小题满分12分)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，求不等式f(log4x)>0的解集．
[解析] 因为f(x)是偶函数，
所以f(－)＝f()＝0，
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．
所以f(log4x)>0?log4x>或log4x<－，
解得：x>2或0则不等式f(log4x)>0的解集是
{x|x>2，或020．(本小题满分12分)某商品的市场日需求量Q1和日产量Q2均为价格P的函数，且Q1＝144·()P＋12，Q2＝6×2P，日总成本C关于日产量Q2的关系式为：
C＝10＋Q2.
(1)Q1＝Q2时的价格为均衡价格，求此均衡价格P0；
(2)当P＝P0时，求日利润L的大小．
[解析] 均衡价格即供需相等时所对应的价格，利润＝收益－成本，列出方程即可求解．
(1)根据题意有Q1＝Q2，
144·()P＋12＝6×2P，
即(2P)2－2·2P－24＝0.
解得2P＝6,2P＝－4(舍去)．
∴P＝log26，故P0＝P＝log26.
即均衡价格为log26元．
(2)由于利润＝收益－成本，故
L＝Q1P－C＝36log26－(10＋×36)＝36log26－22，
故P＝P0时，利润为(36log26－22)元．
21．(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝logax，x∈[2,4]的值域为[m，m＋1]，求a的值．
[解析] 当a>1时，f(x)＝logax，在[2,4]上是增加的，
∴x＝2时，f(x)取最小值；x＝4时，f(x)取最大值，即
∴2loga2＝loga2＋1.
∴loga2＝1，得a＝2
当0∴当x＝2时，f(x)取最大值；x＝4时，f(x)取最小值，即
∴loga2＝2loga2＋1，
∴loga2＝－1.∴a＝.
综上所述，a＝2或a＝.
22．(本小题满分12分)已知a>1，f(logax)＝·(x－)．
(1)求f(x)；
(2)判断并证明f(x)的单调性；
(3)若f(1－m)＋f(2m)<0，求m的取值范围．
[解析] (1)设t＝logax，则x＝at，
则f(t)＝(at－)，
∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．
(2)设x1＝[(a x1－a x2)＋(a－x2－a－x1)]
＝(a x1－a x2)(1＋)．
∵a>1，∴ax1而>0,1＋>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)为R上的增函数．
(3)∵f(－x)＝(a－x－ax)
＝－(ax－a－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∵f(1－m)＋f(2m)<0，
∴f(1－m)<－f(2m)＝f(－2m)．
∵f(x)在R上是增函数，
∴1－m<－2m.
解得m<－1.
故m的取值范围是(－∞，－1)．
第四章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．
2．函数y＝x的零点是( )
A．0 B．(0,0)
C．(1,0) D．1
[答案] A
[解析] 函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A.
3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( )
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,4)
[答案] B
[解析] 若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，
又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B.
4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．
5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．0 B．2
C．4 D．无法判断
[答案] C
[解析] 由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．
∴x1＋x2＝4.
6．夏季高山温度从山脚起每升高100米，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( )
A．1750米 B．1730米
C．1700米 D．1680米
[答案] C
[解析] 设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－0.7x，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x＝17(百米)，
∴山的相对高度是1 700米．
7．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，故选B.
8．已知函数f(x)的图像是连续不断的，x、 f(x)的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间为( )
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
[答案] C
[解析] 由图表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，
f(5)<0.故选C.
9．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m的取值范围是( )
A．(－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
[答案] A
[解析] 考查函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．
由图可知，
即
∴－510．某商品零售价2015年比2014年上涨25%，欲控制2016年比2014年只上涨10%，则2016年应比2015年降价( )
A．15% B．12%
C．10% D．50%
[答案] B
[解析] 1＋10%＝(1＋25%)(1－x%)，解得x＝12.
11．设二次函数f(x)＝x2－x＋a，若f(－t)<0，则f(t＋1)的值( )
A．是正数 B．是负数
C．是非负数 D．正负与t有关
[答案] B
[解析] 因为f(t＋1)＝(t＋1)2－(t＋1)＋a＝t2＋t＋a，f(－t)＝t2＋t＋a，
又∵f(－t)<0，所以f(t＋1)为负数．
12．(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
[答案] D
[解析] 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，
∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，
∴f(x)＝.
∴g(x)＝.
当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
当x<0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－，
∴函数g(x)的零点的集合为{－2－，1,3}．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝(x2－3)(x2－2x－3)的零点为________．
[答案] ±，3，－1
[解析] 令f(x)＝0，得x＝±，或x＝3，或x＝－1.
14．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．
[答案] 9m2
[解析] 设框架的一边长为xm，则另一边长为(6－x)m.
设框架面积为ym2，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(015．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为________．
[答案] 4025
[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2012个零点，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4025个零点．
16．(2014·福建高考)函数f(x)＝
的零点个数是________．
[答案] 2
[解析] 当x≤2，令x2－2＝0，得x＝－；
当x>0时，令2x－6＋lnx＝0，
即lnx＝6－2x，
在同一坐标系中，画出函数y＝6－2x与y＝lnx的图像如图所示．
由图像可知，当x>0时，函数y＝6－2x与y＝lnx的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
综上可知，函数f(x)有2个零点．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝x3＋1.
[解析] (1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1
＝－(8x＋1)(x－1)，
令f(x)＝0，可解得x＝－或x＝1，
所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数解．
所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)因为f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，
令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，
解得x＝－1.所以函数的零点为－1.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋m的零点都在区间(0,2)内，求实数m的范围．
[解析] 由题意可得即，
解得019．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
若方程f(x)＝k无实数解，求k的取值范围．
[解析] 当x≥时，函数f(x)＝lgx是增函数，
∴f(x)∈[lg，＋∞]；
当x<时，函数f(x)＝lg(3－x)是减函数，
∴f(x)∈(lg，＋∞)．故f(x)∈[lg，＋∞)．
要使方程无实数解，则k故k的取值范围是(－∞，lg)．
20．(本小题满分12分)某公司从2004年的年产值100万元，增加到10年后2014年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)
[解析] 设每年年增长率为x，
则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，
两边取常用对数，得
10·lg(1＋x)＝lg5，
∴lg(1＋x)＝＝(lg10－lg2)＝.
又∵lg(1＋x)＝，
∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.
∴ln(1＋x)＝×ln10＝×2.30＝0.161＝16.1%.
又由已知条件：ln(1＋x)≈x得x≈16.1%.
故每年的平均增长率约为16.1%.
21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．
[解析] 若实数a满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．
f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0.
解得，x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．
22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．
[分析] 解答本题可先进行分类讨论，在各种情况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的情况．
[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：
(1)当一顶点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，
∴S1＝SBCDB1＝5600m2.
(2)当一顶点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，
∴S2＝SAA1DE＝6 000m2.
(3)当一顶点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.
设MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x.
又OA＝20，OB＝30，则＝，
∴＝，∴QB＝x，
∴MN＝QC＝QB＋BC＝x＋70，
∴S3＝SMNDP＝MN·MP＝(70＋x)·(80－x)
＝－(x－)2＋，
当x＝时，S3＝.比较S1，S2，S3，得S3最大，
此时MQ＝m，BM＝m，
故当长方形一顶点落在AB边上离B点m处时公寓占地面积最大，最大面积为m2.
综合测试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·陕西高考)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
[答案] B
[解析] x2<1，∴－12．(2015·湖北高考)函数f(x)＝＋lg 的定义域为( )
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
[答案] C
[解析] 由函数y＝f(x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足条件：，解得.即函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4]，故应选C.
3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f(x)与g(x)有相同图像的一组是( )
A．f(x)＝(x2)，g(x)＝(x)2
B．f(x)＝，g(x)＝x－3
C．f(x)＝(x)2，g(x)＝2log2x
D．f(x)＝x，g(x)＝lg10x
[答案] D
[解析] 选项A中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)；选项B中，f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g(x)的定义域为R；选项C中，f(x)＝(x)2＝x，x∈[0，＋∞)，g(x)＝2log2x，x∈(0，＋∞)，定义域和对应关系都不同；选项D中，g(x)＝lg10x＝xlg10＝x，故选D.
4．函数y＝lnx＋2x－6的零点，必定位于如下哪一个区间( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
[答案] B
[解析] 令f(x)＝lnx＋2x－6，设f(x0)＝0，
∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，
又f(2)＝ln2－2<0，f(2)·f(3)<0，
∴x0∈(2,3)．
5．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是( )
A．x>1 B．x<1
C．0[答案] D
[解析] 由已知得?，
∴x∈(1,2)，故选D.
6．已知x＋x－＝5，则的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
[答案] B
[解析] ＝x＋＝x＋x－1
＝(x＋x－)2－2
＝52－2＝23.
故选B.
7．(2014·山东高考)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．0[答案] D
[解析] 本题考查对数函数的图像以及图像的平移．
由单调性知08．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
[答案] B
[解析] f(x)＝3x＋3－x且定义域为R，则f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．
同理得g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．故选B.
9．()，()，()的大小关系为( )
A．()>()>() B．()>()>()
C．()>()>() D．()>()>()
[答案] D
[解析] ∵y＝()x为减函数，<，
∴()>().
又∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，且>，
∴()>()，
∴()>()>().故选D.
10．已知函数f(x)＝x，则方程()|x|＝|f(x)|的实根个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．2006
[答案] B
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝()|x|及y＝|x|的图像如图所示，易得B.
11．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是( )
A．f(－)B．f(－1)C．f(2)D．f(2)[答案] D
[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．
又∵－2<－<－1，且f(x)在(－∞，－1)上是增函数，
∴f(2)12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“好点”的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y＝x没有交点，
∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M、N、P一定不是好点．可验证：点Q(2,2)是指数函数y＝()x和对数函数y＝logx的交点，点G(2，)在指数函数y＝()x上，且在对数函数y＝log4x上．故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有________个．
[答案] 4
[解析] ∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，
∴0,1∈A且－1?A.
又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，
∴1∈A且至多－2,0,2∈A.
故0,1∈A且至多－2,2∈A.
∴满足条件的A只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个．
14．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
[答案]
[解析] 此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．
令f(a)＝t，则f(t)＝2.
∵t>0时，－t2<0≠2，∴t≤0.
即t2＋2t＋2＝2，∴t＝0或－2.
当t＝0时，f(a)＝0，a≤0时，a2＋2a＋2＝0无解．
a>0时，－a2＝0，a＝0无解．
当t＝－2时，a≤0，a2＋2a＋2＝－2无解
a>0时－a2＝－2，a＝.
15．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
[答案] (，1)
[解析] 设f(x)＝x3－6x2＋4，
显然f(0)>0，f(1)<0，
又f()＝()3－6×()2＋4>0，
∴下一步可断定方程的根所在的区间为(，1)．
16．函数y＝(x2－3x)的单调递减区间是________．
[答案] (3，＋∞)
[解析] 先求定义域，∵x2－3x>0，∴x>3或x<0，
又∵y＝u是减函数，且u＝x2－3x.
即求u的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设全集U为R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，求A∪B.
[解析] ∵(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，
∴2∈B,2?A,4∈A,4?B，根据元素与集合的关系，
可得，解得
∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．
∴A∪B＝{2,3,4}．
18．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log3＋lg25＋lg4＋7log72＋(－9.8)0
(2)如果f(x－)＝(x＋)2，求f(x＋1)．
[解析] (1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1
＝＋2＋3＝.
(2)∵f(x－)＝(x＋)2
＝x2＋＋2＝(x2＋－2)＋4＝(x－)2＋4
∴f(x)＝x2＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋4＝x2＋2x＋5.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
[解析] (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，
即Δ＝4＋12(1－m)>0，可解得m<；
Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，可解得m>.
故m<时，函数有两个零点；
m＝时，函数有一个零点；m>时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x.
(1)求f(log2)的值；
(2)求f(x)的解析式．
[解析] (1)因为f(x)为奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，
所以f(log2)＝f(－log23)＝－f(log23)
＝－2log23＝－3.
(2)设任意的x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，所以f(－x)＝2－x，
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x，
即当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－2－x；
又因为f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，
综上可知，f(x)＝.
21．(本小题满分12分)(2015·上海高考)已知函数f(x)＝ax2＋，其中a为常数
(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．
[解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，
f(－x)＝a(－x)2＋＝ax2－，
当a＝0时，f(－x)＝－f(x)为奇函数，
当a≠0时，由f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，知f(－1)≠－f(1)，故f(x)即不是奇函数也不是偶函数．
(2)设1≤x1f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)[a(x1＋x2)－]，
由1≤x1－1<－<－，又1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1[解析] (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∵f(－x)＝a－x－1，∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴所求的解析式为f(x)＝.
(3)不等式等价于
或，
即或.
当a>1时，有或
注意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理可得，当0综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0综合测试题(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
[答案] A
[解析] A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.
2．已知集合A＝{x|0A．(0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
[答案] D
[解析] 因为A＝{x|0B＝{x|x≤2}．
所以A∩B＝{x|13．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋ex B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝
[答案] A
[解析] 令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以 y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A.
4．设f(x)＝，则f[f()]＝( )
A. B.
C．－ D.
[答案] B
[解析] 由于||<1，所以f()＝|－1|－2＝－，而|－|>1，所以f(－)＝＝＝，所以f[f()]＝，选B.
5．log43、log34、的大小顺序是( )
A．log34B．log34>log43>
C．log34>>log43
D．>log34>log43
[答案] B
[解析] 将各式与0,1比较．∵log34>log33＝1，
log431，
∴<0.
故有6．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为( )
A．a＝1，b＝0
B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝3
D．以上答案均不正确
[答案] B
[解析] 对称轴x＝1，当a>0时在[2,3]上递增，
则解得
当a<0时，在[2,3]上递减，
则解得
故选B.
7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵当a>1或0∴f(x)min＋f(x)max＝a，
即1＋loga1＋a＋loga(1＋1)＝a，∴a＝.
8．(2015·安徽高考)函数f(x)＝的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
[答案] C
[解析] 由f(x)＝及图像可知，x≠－c，－c>0，则c<0；当x＝0时，f(0)＝>0，所以b>0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C.
9．已知函数f(x)满足：x≥4，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝3＋log23
＝3·log23＝×＝，选A.
10．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点就是方程(x－1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x|＝，因此函数的零点也就是函数g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．
11．设0A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
[答案] C
[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式．
由a2x－2ax－2>1得ax>3，∴x12．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )
A．19 B．20
C．21 D．22
[答案] C
[解析] 操作次数为n时的浓度为()n＋1，由()n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，∴n≥21.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知loga>0，若ax2＋2x－4≤，则实数x的取值范围为________．
[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞)
[解析] 由loga>0得0由a x2＋2x－4≤得a x2＋2x－4≤a－1，
∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.
14．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围________ .
[答案] 1[解析] y＝
作出图像，如图所示．
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<115．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
[答案] [0，＋∞)
[解析] 要使函数y＝的定义域为R，
则对于任意实数x，都有m·3x－1＋1≠0，
即m≠－x－1.而x－1>0，∴m≥0.
故所求m的取值范围是m≥0，即m∈[0，＋∞)．
16．已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[答案] －
[解析] 首先讨论1－a,1＋a与1的关系．
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2.
解得a＝－.
当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a.
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1，
因为f(1－a)＝f(1＋a)
所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)
综上，满足条件的a＝－.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求a的值．
(2)若A∪B＝B，求a的值．
[分析] A∩B＝B?B?A，A∪B＝B?A?B.
[解析] A＝{－4,0}．
(1)∵A∩B＝B，∴B?A.
①若0∈B，则a2－1＝0，a＝±1.
当a＝1时，B＝A；
当a＝－1时，B＝{0}，则B?A.
②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7，或a＝1.
当a＝7时，B＝{－12，－4}，B?A.
③若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，a<－1.
由①②③得a＝1，或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A?B.
∵A＝{－4,0}，又∵B中至多只有两个元素，
∴A＝B.
由(1)知a＝1.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝[()x－1]，
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的增减性．
[解析] (1)()x－1>0，即x<0，
所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．
(2)∵y＝()x－1是减函数，f(x)＝x是减函数，
∴f(x)＝[()x－1]在(－∞，0)上是增函数．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．
[解析] f(x)＝＝＝a－，
设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
(1)当a＝1时，f(x)＝1－，设0≤x1则f(x1)－f(x2)＝，
又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在[0,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝1－＝，
f(x)min＝f(0)＝1－＝－1.
(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0，
而f(x1)－f(x2)＝，
∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．
20．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)>0，求实数a的取值范围．
(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)[解析] (1)∵f(1－a)＋f(1－a2)>0，
∴f(1－a)>－f(1－a2)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(1－a)>f(a2－1)．
又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，
∴解得1(2)因为函数g(x)在[－2,2]上是偶函数，
则由g(1－m)又当x≥0时，g(x)为减函数，得到
即
解之得－1≤m<.
21．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：
①f(x)在D上单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b]∈D(其中a(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f(x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可)
[解析] (1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则，解得a＝－1，b＝1，
所以存在区间[－1,1]满足②，
所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．
(2)f(x)＝k＋是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f(x)＝k＋是闭函数，存在区间[a，b]满足②，
即
即a，b是方程k＋＝x的两根，化简得，a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根，且a≥k，b>k.
令f(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2，得
解得－所以实数k的取值范围为(－，－2]．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2－mx－m.)
(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，求实数m的取值范围．
[解析] (1)m＝1时，f(x)＝(x2－x－1)，
由x2－x－1>0可得：x>或x<，
∴函数f(x)的定义域为(，＋∞)∪(－∞，)．
(2)由于函数f(x)的值域为R，所以z(x)＝x2－mx－m能取遍所有的正数从而Δ＝m2＋4m≥0，解得：m≥0或m≤－4.
即所求实数m的取值范围为m≥0或m≤－4.
(3)由题意可知：
?2－2≤m<2.
即所求实数m的取值范围为[2－2，2)．
