第七章 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案（含答案）

第七章　复　数
§7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
[学习目标]　
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件.
一、复数的有关概念
问题　我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
知识梳理　
1.定义：我们把形如__________的数叫做复数，其中i叫做____________，满足i2＝________.
2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的________.
3.复数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做____________.
(2)表示：通常用大写字母________表示，即C＝.
例1　以2＋i的实部为虚部，2i＋1的虚部为实部的复数为________.
反思感悟　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪训练1　若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)
A.2 B. C.－ D.－2
二、复数的分类
知识梳理　
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下：
复数
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
例2　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数.
延伸探究　若本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
反思感悟　复数分类问题的求解方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
跟踪训练2　若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
三、复数相等的充要条件
知识梳理　
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di __________.特别地，a＋bi＝0 ________.
例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.
(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(3＋2x－x2)i有实数根，求实数a的值.
反思感悟　复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数a＋bi(a，b∈R)的形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题解决.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的有关概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.
1.在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(1＋)i的实部与虚部分别是(　　)
A.1， B.1＋，0
C.0,1＋ D.0，(1＋)i
3.(多选)下列说法中正确的为(　　)
A.两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等
B.1－ai(a∈R)是一个复数
C.i2的虚部为1
D.－1的平方根只有一个，即为－i
4.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为________.
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
问题　为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1.
知识梳理
1.a＋bi(a，b∈R)　虚数单位　－1
2.实部　虚部
3.(1)复数集　(2)C
例1　2＋2i　跟踪训练1　A
知识梳理
1.实数　虚数　a＝0
例2　解　(1)当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
(3)当即m＝5时，z是实数.
延伸探究　解　因为z>0，
所以z为实数，需满足
解得m＝5.
跟踪训练2　B
知识梳理
a＝c且b＝d　a＝b＝0
例3　(1)解　由复数相等的充要条件，
得解得
(2)解　设方程的实数根为x＝m，
则原方程可变为
3m2－m－1＝(3＋2m－m2)i，
所以
解得或
所以a的值为－4或.
跟踪训练3　5
随堂演练
1.C　2.C　3.AB　4.1,1