第七章 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学案（含答案）

§7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
[学习目标]　
1.熟练掌握复数的加、减运算法则.
2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
一、复数的加、减法运算
知识梳理　
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝________________；
(2)z1－z2＝________________.
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝________；
(2)(z1＋z2)＋z3＝________.
例1　(1)复数(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝______.
(2)设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.
反思感悟　复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
跟踪训练1　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、复数加、减法的几何意义
问题　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
知识梳理　
如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝(c，d)，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝(a＋c，b＋d)与复数________对应，向量＝(a－c，b－d)与复数________对应.
因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义.
例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)对应的复数；
(2)对应的复数；
(3)对应的复数及||的长度.
反思感悟　复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.
跟踪训练2　
(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________.
三、复数模的综合问题
例3　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.
反思感悟　两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
跟踪训练3　△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
1.知识清单：
(1)复数代数形式的加、减运算法则.
(2)复数加、减法的几何意义.
(3)复数模的综合问题.
2.方法归纳：类比、数形结合.
3.常见误区：忽略模的几何意义.
1.计算(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A.－1＋i
B.1－i
C.i
D.－i
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A.
B.5
C.2
D.10
4.若复数z满足|z|＝2，且z－4是纯虚数，则复数z＝________________.
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
知识梳理
1.(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(2)(a－c)＋(b－d)i
2.(1)z2＋z1　(2)z1＋(z2＋z3)
例1　(1)8＋5i
解析　复数(2＋3i)－(1－i)＋(7＋i)＝(2－1＋7)＋(3＋1＋1)i＝8＋5i.
(2)解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虚数，
∴m2－2m－15≠0且m＋2≠0.
∴m≠5且m≠－3且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞).
跟踪训练1　A
问题　设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线．
知识梳理
z1＋z2　z1－z2
例2　解　(1)因为＝－，
所以对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以对应的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，
所以对应的复数为
(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
所以||＝＝.
跟踪训练2　(1)
(2)(－∞，2)
解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.
例3　A　[设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以点Z在线段Z1Z2上移动，
|ZZ3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.]
跟踪训练3　A　[由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴点P是△ABC的外心.]
随堂演练
1.A　2.C　3.B　4.4＋2i或4－2i