第七章 7.2.2 复数的乘、除运算 学案（含答案）

7.2.2　复数的乘、除运算
[学习目标]　
1.掌握复数的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.掌握在复数范围内解方程的方法.
一、复数乘法的运算法则和运算律
问题1　类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
问题2　类比实数的乘法运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想.
知识梳理　
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝______________.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
例1　计算下列各题.
(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
反思感悟　(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
①首先按多项式的乘法展开；
②再将i2换成－1；
③然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1　(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　)
A.2i－13
B.13＋2i
C.13－2i
D.－13－2i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1)
B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞)
D.(－1，＋∞)
二、复数除法的运算法则
问题3　类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
知识梳理　
复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋____________(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).
例2　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)
A.3＋5i
B.3－5i
C.－3＋5i
D.－3－5i
(2)计算：＝________.
反思感悟　复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
跟踪训练2　设复数z满足＝i2 025，则|z|等于(　　)
A.1 B. C. D.2
三、在复数范围内解方程
例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数).
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
跟踪训练3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根.
1.知识清单：
(1)复数的乘法运算及运算律.
(2)复数的除法运算.
(3)在复数范围内解方程.
2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.
3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1
D.a＝1，b＝－1
2.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝________.
4.如图，在复平面内，向量与复数z对应，则＝________.
7.2.2　复数的乘、除运算
问题1　复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
问题2　猜想：
对于任意z1，z2，z3∈C，有
(1)交换律：z1z2＝z2z1；
(2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
证明：
设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，
z3＝a3＋b3i.
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)
＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)
＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
又a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2) (3)略.
知识梳理
1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.z2z1　z1(z2z3)　z1z2＋z1z3
例1　解　(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2
＝1－i2＋4＋4i＋i2
＝5＋4i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
跟踪训练1　(1)D　(2)B
问题3　设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi.
∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，
∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi.
由复数相等，可知
解这个方程组，得
于是有(a＋bi)÷(c＋di)
＝＋i.
知识梳理
i
例2　(1)A　(2)－2＋i
跟踪训练2　A
例3　解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二　因为Δ＝62－4×1×10
＝－4<0，
所以方程的根为
x＝＝－3±i.
跟踪训练3　解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程成立.
∴1－i是方程的根.
随堂演练
1.D　2.B　3.±i　4.1－2i