课件13张PPT。高中数学 必修21.1.1 棱柱、棱锥和棱台问题导入：“点动成线，线动成面”，面动成体？ 一般地，由一个平面多边形沿某一个方向平移形成的空间几何体叫
做棱柱(prism)． 平移起止位置的两个面——棱柱的底面； 多边形的边平移形成的面——棱柱的侧面； 两侧面的公共边或者说是底面顶点平移所成的线——棱柱的侧棱．请同学们仔细观察下面的几何体，它们有哪些共同的特点?上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得？ 棱柱的特点：
Ⅰ. 面的特点：
① 两底面是平行的全等多边形；
② 侧面都是平行四边形．
Ⅱ. 棱的特点：
侧棱平行且相等；
Ⅲ. 截面的特点：
平行于底面的截面是与底面全等的多边形．——至少有5个面棱柱的分类：按底面多边形的边数分类——
按侧棱和底面的位置关系—— 底面为三角形，四边形，五边形……的棱柱分别称为三棱柱，四棱柱，五
棱柱‥‥‥分别记为三棱柱ABC－A?B?C ? ，四棱柱ABCD－ A?B?C ?D?… 侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱，否则叫斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，如正三棱柱ABC－A?B?C ? ．例1：画一个三棱柱．练习：
1. 棱柱中互相平行的面有且只有一对．
2. 如图，用过BC的一个平面截去长方体的一个角，剩下
所得的几何体是什么？截去的几何体是什么？
3. 有两个面平行，其余各面均为平行四边形的几何体是棱柱吗？ 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间几何体叫做棱锥(pyramid)．
相邻侧面的公共边——棱锥的侧棱．
棱锥的分类：按底面多边形的边数分类．
② 侧面是有一个公共顶点的三角形．棱锥的特点：① 底面是多边形；练习：
1. 各面都是三角形的多面体一定是三棱锥吗？
2. 用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，截面和底面什么关系？
截棱锥呢？
棱台的分类：按底面多边形的边数分类．
② 侧面都是梯形；
③ 侧棱所在直线必交于一点．棱台的特点：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面与底面之间的部分叫做棱台．
(truncated pyramid)．① 两底面是平行的相似多边形；练习：
你认为右侧的空间几何体是棱台吗？例2：画一个三棱台．画三棱台的方法是：
画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在
各个侧面内画出与底面的对应边平行的线段，将多余的线段擦去． 练习．
(1)三棱柱、六棱柱分别可以看成是由 、 平移形成的几何体
(2)棱柱的侧面是___________形，棱锥的侧面是__________形，棱台的侧面是________形．
(3)四棱柱的底面和侧面共有_______个面，四棱柱有______条侧棱．
(4)下列说法正确的有_____________
①用平行于底的平面截棱柱所得的多边形与棱柱的两底面全等;
②棱柱的两底面平行其余各面都是平行四边形;
③有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;
④棱锥只有一个面可能是多边形其余各面都是三角形;
⑤有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥. 课堂小结：1．棱柱、棱锥和棱台的概念以及它们的特征.
2．初步掌握三个简单几何体的画法.课件17张PPT。高中数学 必修21.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球复习回顾与情境创设：多面体棱柱棱锥棱台一平面多边形沿一个方向平移而形成的空间几何体棱柱的一个底面收缩为一个点而形成的空间几何体用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面间形
成的空间几何体移缩截旋转会产生什么样的结果呢？ 仔细观察下面的几何体，它们有什么共同特点或生成规律？关于旋转的常识性的知识：1．旋转一般指绕一条直线旋转，该直线称为旋转轴；故通常只研究矩形绕一边旋转，直角梯形绕垂直于底的腰旋转．2．只有与旋转轴垂直的线，旋转后才在同一平面内．直角三角形绕一直角边旋转，矩形绕着它的一边所在的直线旋
转一周，形成的几何体叫做圆柱直角三角形绕着它的一直角边所在的直
线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥直角梯形绕着垂直于底边的腰所在直
线旋转一周，形成的几何体叫做圆台 还有其他方法可以生成圆柱吗？
? 圆面沿与圆面垂直的方向平移而成．
圆锥呢？
? 将圆柱的一个底面变为其圆心时
形成的几何体是圆锥．
圆台呢？
? 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆
锥，截面和底面之间的部分叫做圆台． 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做
半圆弧旋转而成的曲面叫做球面．
一般地，一条平面曲线绕它所在的平
面内的一条定直线旋转一周，所形成的
曲面叫做旋转面；封闭的旋转面围成
的几何体叫做旋转体．球；？轴:侧面:垂直于轴的边旋转所成的圆面.不垂直于轴的边旋转所成的曲面.母线:不垂直于轴的边.旋转前不动的一边所在的直线.底面:关于旋转体的几个几何概念：建构数学1．平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的截面是什么图形？
2．过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？性质2：过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形，等腰三角形，等腰梯形．想一想？性质1：平行于底面的截面都是圆．用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？ 性质3：用一个平面去截球体得到的截面都是一个圆．大圆：截面过球心时所截得的圆是大圆，其它都称为小圆．数学运用例1．如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？ 生活中有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的，这些几何体叫做组合体．如下图所示的机械图可以看成由一些基本几何体构成的组合体．对组合体的研究可以通过把它们分解为一些基本几何体来完成．例2．以下几何体分别是由哪些简单几何体构成的？割与补是几何中处理组合体的重要方法分拆组合例2．以下几何体分别是由哪些简单几何体构成的？例3．把一个圆锥截成一个圆台，已知圆台的上下底面半径是1∶4，母线长为 10 cm，求圆锥的母线长． 课堂练习1．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？（4）球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线。 （2）圆台的上下底面的直径分别为2cm，10cm，高为3cm，则圆台母线长为_______.（ ）（ ）（ ）（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形． 5cm2．判断题：（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．3．填空题：（1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴截面的面积为________．（ ）4．简答题：
①如图1将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
②如图2钝角三角形ABC绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？图1图2ABCDABC回顾小结：（1）圆柱、圆锥、圆台和球的概念；
（2）运动变化、类比联想的观点；
（3）分解复杂的组合体．课外作业：1．请同学们课后找一找生活中具有圆柱、圆锥、圆台和球几何结构特征的实物.
2．观察生活中的一些组合体可以分割成我们学习过的哪些简单的几何体 .课件19张PPT。高中数学 必修21.1.3 中心投影和平行投影 几何研究的主要对象就是图形，因此研究立体几何遇到的第一个问题就是如何在平面内画出立体图形．我们先看下面的影像与图形：这些形象逼真的图形是怎样形成的呢？
它们形成的原理又是什么呢？
这些原理还有哪些重要用途呢？ 情境问题：投影：多面体棱柱棱锥棱台旋转体圆柱圆锥圆台球空间几何体平面图形投影投影给我们解决将立体图形变为平面图形的问题提供了参考和依据．几何体在灯光或日光的照射下，就会在墙壁或地面上产生影子，这就是投影． 投影是光线(投射线)通过物体，向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的方法．
投射线交于一点的投影称为中心投影；
投射线相互平行的投影称为平行投影．
——斜投影、正投影斜投影ABCA?B?C?正投影ABCA?B?C?投影：中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，因此主要运用于绘画．消点 中心投影中，水平线(或铅直线)仍保持水平(或竖直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点．地平线中心投影也常用来概括地描绘一个结构或一个产品的外观． 中心投影中与平行投影的区别和用途 ．投影能非常逼真地反
映原来的物体 主要运用于绘画领域 能精确地反映原来
物体的形状和特征 更多应用于工程
制图或技术图样 主视图俯视图左视图三视图：1．视图：是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形. 2．三视图：主视图、俯视图与左视图的总称.
主视图：光线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图.
俯视图：光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图.
左视图：光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图. 3．画三视图的基本原则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐．
长对正：主视图与俯视图的长应对正．
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等． 主视图俯视图左视图要将被遮挡的轮廓线画成虚线．例1．绘制所给圆柱体的三视图：主视图俯视图左视图绘制正三棱锥的三视图：主视图俯视图左视图例2．如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图(单位：cm) 331.50.91.234.21.50.91.21.54.231.51.51.5主视图俯视图左视图例3. 根据下列三视图，说出立体图形的形状. (1)圆台(2)主视图俯视图左视图正四棱锥练习．画出下列几何体的三视图．练习：根据下列三视图，说出立体图形的形状.正前方224该几何体应为正六棱柱(如下图)，高为3，棱长为433问题：
①一个确定的物体三视图惟一吗？
——正方向
②一个视图或两个视图能惟一确定物体的形状吗？
③ 物体的三视图能惟一确定物体吗？主视图左视图俯视图小结：投影中心投影平行投影斜投影正投影视图主视图俯视图左视图长度相等宽度相等高度相等三视图告诉我们要学会从不同的角度看问题，切忌片面地看问题．作业：课本14页练习第1题．课本17页习题第4题．课件12张PPT。高中数学 必修21.1.4 直观图画法情境创设：中心投影 正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛运用．但三视图的直观性较差．如何把立体图形画在纸上？
立体几何的底面是将平面图形水平放置，要将立体图形画在纸上，首先要画出平面图形的水平放置图！平行投影三视图数学建构：平面图形水平放置图，即平面图形的直观图．画水平放置的正三角形的直观图．直观图画法——斜投影ABC第一步： 在已知的正三角形ABC中，取AB边所在的直线为x轴，取对称轴CD为y轴，两轴相交于点O；画对应的x?轴、y?轴，使∠x?O?y?＝45?(或135?)． xyx?y?A?B?OO?C?第二步：在x?轴上取O?A?＝OA，O?B?＝OB，在y?轴上取O?C?＝0.5OC． 第三步： 连结A?C?，B?C?，所得三角形A?B?C?就是正三角形ABC的直观图．画水平放置的正六边形的直观图．A?B?C?D?E?F?练习：xyOx?y?O?主要步骤：
① 在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O；
② 作x?轴，y?轴，两轴相交于O?，且使∠x?O?y?＝45?或135? ；
③ 已知图中平行于x轴的线段仍与x?轴平行，且保持原长度不变；平行于y
轴的线段仍与y?轴平行，长度变为原来的一半；
④ 连接其余线条，擦去多余的辅助线．——斜二测画法斜二测画法的主要作用是为了画空间几何体．ABCDA?B?C?D?例题 画棱长为2cm的正方体的直观图． x?y?z?第一步 画水平放置的正方形的直观图ABCD，
使∠BAD＝45?，AB ＝2cm，AD＝1cm．第二步 过A作z?轴，使∠BAz?＝90?．分别过
点B，C，D作z?的平行线，在z?轴及这组平行
线上分别截取AA?＝BB?＝CC?＝DD?＝2cm．第三步 连结A?B?，B?C?，C?D?，D?A?，所得的图形就是所求作的正方体的
直观图． 主要步骤：
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，再取z轴，使
∠xOz＝90?，且∠yOz＝90?．
(2)画直观图时把它们画成对应的x?轴、y?轴和z?轴，它们相交于O?点，并使
∠x?O?y?＝45?(或135?)，∠x?O?z?＝90?，x?轴和y?轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x?
轴、y?轴或z?轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行
于y轴的线段，长度为原来的一半．
(5)连接其余线条，擦去多余的辅助线．练习：
1．关于“斜二测”直观图的画法，下列说法中正确的有 ．
①用斜二次画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
②几何体的直观图的长宽高与几何体的长宽高的比例相同
③水平放置的矩形的直观图是平行四边形
④水平放置的圆的直观图是椭圆2．判断：
①水平放置的正方形的直观图可能是梯形
②两条相交直线的直观图可能是平行直线
③互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
④正方形的直观图可能是平行四边形
⑤梯形的直观图可能是平行四边形 4．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是多少？3．如图，直观图表示的平面图形是 （ ）
A．任意三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形上图中，若△A?B?C?的面积是3，则△ABC的面积是______．小结：平面图形的水平放置?立体图形的直观图?正方形?锐角为45?且长宽比为2:1的平行四边形圆?椭圆作业：课本16-17页练习第2，6题．课本18页习题第6，9，10，11．课件15张PPT。高中数学 必修21.2.1 平面的基本性质（1）复习回顾与情境创设：空间几何体 利用平面几何知识研究立体几何，是立体几何中最基本的数学方法和数学
思想现实生活中哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要哪些？
平面图形投影问题：平静的湖面，干净的地面,课桌面,黑板面等
画面会给你留下怎样的印象呢？问题：当我们想象海平面是一平如镜时，它有什么特点？以上问题给了我们“平面”的直观形象，平面是一个不加定义的概念，
具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.很大、很平.1．平面的认识．① 一个平面的面积可以等于100cm2吗？
②通常200页书会比20页书厚一些，那么200个平面
重合在一起时比20个平面重合在一起时厚吗？无限延展（无边界、无面积）没有厚薄之分本节课除了认识平面外，还要解决以下问题：(1)如何表示平面？(2) 空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？(3)如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？Ⅰ. 水平放置的平面(通常画成平行四边形) 锐角为45?；
短边长为长边的一半．
Ⅱ.平面的表示：
①用顶点字母表示，如平面ABCD．
②平行四边形也可用对角顶点的字母表示．如平面AC．
③用一个小写希腊字母表示(通常标在锐角)，如平面?．
Ⅲ. 两个相交平面
被遮住的部分用虚线表示或不画2．平面的画法及表示．ABCD? 通常我们画出直线的一部分来表示直线；同
样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.右图中正方体的底面是什么形状？
为何画成了平行四边形？在长方体ABCD—A1B1C1D1中，正方体的三个
面所在平面A1C1，A1B，BC1分别记作?，?，?．
① A1??，B1_____ ?，C1 _____ ?，D1 _____ ?；
② A??，B _____ ?，A1 _____ ?，B1 _____ ?；
④ ?∩?＝A1B1， ?∩?＝_____，?∩?＝_____.BB1AA1DD1CC1?????? BB1B1C13．空间点、直线和平面的位置关系．(1)点与直线位置关系点A在直线l上A?l点A不在直线l上图形语言符号语言lAlAA?l(2)点与平面位置关系图形语言符号语言点A在平面?内点A不在平面?内A??A??AA??3．空间点、直线和平面的位置关系．3．空间点、直线和平面的位置关系．(3)直线与直线位置关系(平面内)图形语言符号语言l2A(4)直线与平面位置关系符号语言A直线AB在平面?内直线l与平面?交于P点AB∥?直线l1与直线l2相交直线l1与直线l2平行l1l1∩l2=Al2l1l1∥l2直线AB与平面?平行类似地，还有平面与平面的位置关系图形语言P??BA?BAB??l∩?＝P 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内． 4．平面的基本性质．P?Q如图，P??，Q??，则直线PQ与平面?的位置关系为PQ∩?＝PA?B公理1：用符号语言可表示为A??B???AB??公理1利用点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系? l??．或表示为A?lB?lA??B??或利用直线与平面的位置关系确定点与平面的位置关系 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这
些公共点的集合是经过此公共点的一条直线 .
符号表示：P??，P?? ? ?∩?＝l，P?l .4．平面的基本性质．P??，P??，且?∩?＝l ? P?l．公理2常用于：①找两平面的交线；②判定点在线上：即常用于判定三点共线或三线共点．公理2：例1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面?与长方体表面的交线． P 因为点P既在平面?内又在平面AB1内，所以点P在平面?与平面AB1的交线上．同理点A1在平面?与平面AB1的交线上．因此，PA1就是平面?与平面AB1的交线 同理，连结PC1，A1C1，它们都是平面?与长方体表面交线的一部分．公理3可表述为：不在同一条直线上的三点，可以确定一个平面．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．有——存在性只有——惟一性例2：已知△ABC在平面?外，它的三边所在直线分别交?于P，Q，R．
求证：P，Q，R三点共线．?三点共线 ? 点在线上PRQ找两个平面的交线：
如图，点P是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上一点(不同于端点A，B)，试画出由D1，C，P三点所确定的平面?与长方体表面的交线．PQR1．下列叙述中，正确的是_______．
①因为P??，Q??，所以PQ??；
②因为P??，Q??，所以?∩?＝PQ；
③因为AB??，C?AB，D?AB，所以CD??；
④因为AB??，AB??，所以?∩?＝AB. 2．用符号表示下列语句，并画出图形：
(1) 点A在平面?内，点B在平面?外；
(2)直线l 经过平面?外一点P和平面?内一点Q；
(3) 直线l在平面?内，直线m不在平面?内；
(4) 平面?和?相交于直线AB；
(5) 直线l是平面?和?的交线，直线m在平面?内，l 和m相交于点P．练习：作业：课本24-25页练习1，4，5，6，7题．课件15张PPT。高中数学 必修21.2.1 平面的基本性质（2）复习回顾：空间点、直线和平面的位置关系A?lA?lA??A??l1∩l2=Al1∥l2AB∥?AB??l∩?＝P?∩? =l?∥?复习回顾：公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点
都在这个平面内． 用符号语言可表示为A??B???AB??? l??．或表示为A?lB?lA??B??公理2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公
共点的集合是经过此公共点的一条直线 .符号表示：P??，P?? ? ?∩?＝l，P?l .公理2常用于：(1)找两平面的交线；(2)判定三点共线与三线共点问题公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2
可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定
一个平面呢？ 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．C?BA推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．已知：直线l，点A?l(如图)．求证：过直线l和点A有且只有一个平面． 所以经过直线l和点A的平面只有一个．证明：在直线l上任取两点B，C．因为点A不在直线l上，根据公理3，经过不共线三点A，B，C有一个平面?．因为B ??，C??，所以根据公理1，l??，即平面?经过直线l和点A．因为B，C直线l上，所以经过直线l和点A的平面一定经过A，B，C．根据公理3，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个，l推论1的另一种证明：
存在性 在直线l上任取两点A，B．
∵P?l ∴经过A，B，P有一个平面．
∵A?l，B ? l，A ? ?，B ? ?，
∴l??．
故过直线l和点A有一个平面?．
惟一性 假设过直线l和点A还有一个平面?．
∴A ? ?，B ? ?，P ? ?，
又A ? ?，B ? ?，P ? ?，
与过不共线三点确定一个平面矛盾．
故结论成立．推论2的证明：
在直线l上任取一点A异于点P．
∴直线m和点A确定一个平面?．
又l∩m＝P，
∴P ? l，又A ? l，
∴P ? ?， A ? ?，
∴l??．
故直线l，m确定一个平面．推论3证明：
存在性 ∵l∥n，
∴经过l，n有一个平面?．
惟一性 假设过直线l，n还有一个平面?．
在直线l上任取一点A．
∵A ? l，l??．
∴ A ? ?，n?? ，
同理A ? ?，n??．
与直线及其外一点确定一个平面矛盾．
故结论成立．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据，也是判定四点共面或三线共面的重要依据．小结：例1：已知A ? l，B ? l，C ? l，D?l．求证：直线AD，BD，CD共面．?lABCD所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面．证明：因为D?l，所以l与D可以确定平面?(推论1)．因为A?l，所以A ??，又D??，所以AD??(公理1)．同理BD??，CD??，变式：求证：两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内． 例2．如图，若直线l与四边形ABCD的三条边 AB，AD，CD分别交于点E，F，G．求证：四边形ABCD为平面四边形．例3．已知a??，b??，a∩b＝A，P ? a，PQ∥b．
求证：PQ??．?PQabA练习：
1．判断下列命题是否正确．
①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面.
②经过一点的两条直线确定一个平面．
③经过一点的三条直线确定一个平面．
④平面和平面交于不共线的三点A，B，C. 2．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下列结论成立的是______．
①四点中必有三点共线．
②四点中必有三点不共线．
③AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行．
④直线AB与CD必相交．3．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________ ．4．直线l1∥l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确______个平面． 5．已知a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B，求证：a，b，l三条直线共面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据，也是判定四点共面或三线共面的重要依据，小结：判定四点共面或三线共面的问题，应先确定一个平面，再判定要证明的元素(四点或三线) 都在所确定的平面内．作业：课本31页习题1.2（1）第4，5题．课件18张PPT。高中数学 必修21.2.2 空间两条直线的位置关系（2） 1．空间两直线的位置关系．复习回顾： 2．平行公理． 3．空间等角定理． 对于异面直线，如何判定，又如何进一步刻画呢？1．异面直线的定义． 空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线．异面直线不平行也不相交．2．异面直线的画法?ABl??mn??mn?mn画异面直线一定要依托于平面． 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的棱所在直线中，与直线AA1是异面的
有________________________． 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，相邻两个侧面的对角线A1B与异面CD，BC，B1C1，C1D1B1C的位置关系是____________．用反证法证明：空间四边形ABCD的对角线AC，BD是异面直线 ．DABC 在空间四边形中，各边所在直线异面的共有几对？练习：例1．求证过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线．
已知：A??，B??，B?l，l??．
求证：直线AB 和l是异面直线．?定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是
异面直线．符号表示：若A??，B??，B?l， l??，则直线AB与l是异面直线．—— 两点一线一面判定两条直线是异面直线的常用方法：反证法．练习： 判断正误：
①若a??，b??，则a，b为异面直线 .
②若a⊥b，b⊥c ，则a∥c .
③若a，b为异面直线， b，c为异面直线，则a，c也为异面直线 .
④若a，b共面，b，c共面，则a，c也共面 .
⑤一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行 .小结：异面直线的判定：
① 利用定义；
② 判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过
该点的直线是异面直线．
符号表示：若A??，B??，B?l，l??，则直线AB与l是异面直线．
—— 两点一线一面
③ 常用方法：反证法．定量
①空间内O点“任取”，说明角的大小与点O的位置选取无关，只
由两直线的相对位置所确定；
②a?，b?相交，转化为平面内两相交直线所成的角进行度量，
立体问题平面化；
③｛?｜0o＜?≤90o｝．——异面直线所成的角?abOa?b?a? 特别地：? ＝90o时，称两条异面直线互相垂直．记作：a⊥b．
* 空间两直线互相垂直，不一定有垂足．
异面直线互相垂直一定没有垂足．例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角 O 主要步骤：①构造平面角；
②证明；
③求角计算．转化为平面角(1)A1B与C1C；
(2)AC与B1D1；
(3)AC与BC1
(4)A1B与B1D1． 练习．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为所在棱的中点，求下列各对异面直线所成的角． O* 中位线(1)EF与MN；
(2)EF与BD1． 例2．空间四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD，AC的中点，
(1)若BC＝AD＝2EF，求直线EF与AD所成角的大小．
(2)若AB＝8，CD＝6，EF＝5，求AB与CD所成角的大小． BCDAEF练习：
1.指出下列命题是否正确，并说明理由.
①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线.
②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直.
③若a∥b，c⊥a则b⊥c．
④若c⊥a，b⊥c则a∥b．
⑤分别与两条异面直线a，b都相交的两条直线c，d一定异面. 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1所成角为60?的面对角线
有 条 3.已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点，N，Q分别在b，c上 ．求证：MN，PQ异面.4.如图在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②若AC＝BD，求证：四边形ABCD是菱形；
③当AC与BD满足什么条件时，四边形ABCD是正方形?ABFCDHEG 1．异面直线的判定．小结：① 利用定义；
② 判定定理：若A??，B??，B?l，l??，则直线AB与l是异面直线．
—— 两点一线一面
③ 常用方法：反证法． 2．异面直线所成的角．作业：课本第30页练习4，5和第31页习题1．2（1）第10，11，14．课件14张PPT。高中数学 必修21.2.3 直线与平面的位置关系（1）情境问题： 前面我们认识了异面直线，就是说两条直线不同在任一平面内，
换句话说，a与b是两条异面直线，a??，则b??． 从上句话中可知，直线与平面有哪几种位置关系？ ?ab直线与平面的位置关系 直线在平面内，如a??直线不在平面内，如b??直线与平面相交直线与平面平行数学建构： 在如图所示的长方体中，棱A1B1(或A1D1)所在的直线与平面AC没有公共点，对角线A1C(或棱AA1)所在的直线与平面AC有且只有一个公共点，棱AD所在的直线与平面AC有无数个公共点．A1ABCDB1C1D1 如果一条直线a和一个平面?没有公共点，我们就说直线a与平面?平行，记a∥?． 如果直线a与平面?有且只有一个公共点，我们就说直线a与平面?相交，记a∩?． 如果直线a与平面?有无数个公共点，我们就说直线a在平面?内，记a?? ．直线与平面的位置关系：AB∥?AB??l∩?＝P直线l与平面?交于P点直线AB与平面?平行直线AB在平面?内图1图2图3AP??BA?B思考：我们利用公理1可以判定直线在平面内或与平面相交，
如何判定直线与平面平行呢？?? a∥?a??b??a∥b数学建构：直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线
和这个平面平行．线线平行 ? 线面平行注意：面外，面内，平行，三者缺一不可！例1．如图，已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB，AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．ABCD数学应用：思考：若EF∥平面BCD，是否有EF∥BD呢？为什么？? a∥ll??a∥? 数学建构：直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．线面平行?线线平行 注意：平面不可缺失！l??a?? ?∩?＝l例2．如图是一四面体ABCD，用平行于一组对棱AC、BD的平面截此四面体得截面PQMN，求证：四边形PQMN是平行四边形． ABCDMQ数学应用：PN练习：
(1)如果直线a∥b，且a∥平面?，则b与?的位置关系是 ．
(2)过平面外一点，与这个平面平行的直线有 条．
(3)P是异面直线a，b外一点，过点P可作 个平面与a，b都平行．
(4)如图，P是ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC． 数学应用：PFEDCBAM，O 分别是PD，AC的中点．判断MO与平面PAB的关系．练习．如图，P为平行四边形ABCD所在的 平面外一点．M，N 分别是PD，PC的中点．试判断MN与四棱锥P－ABCD各面的位置关系．数学应用：例3．如图，?∩?＝CD，?∩?＝EF，?∩?＝AB，AB∥?．
求证：CD∥EF．变式：如图，?∩?＝CD，?∩?＝EF，?∩?＝AB，CD∥EF．
求证： AB∥?． 数学应用：思考．
求证：若一直线与两相交平面都平行，则这条直线与两平面的交线平行 ．数学应用：小结：直线与平面的位置关系直线与平面平行的判定定理AB∥?AB??l∩?＝P直线l与平面?交于P点直线AB与平面?平行直线AB在平面?内? a∥?a??b??a∥b线线平行 ? 线面平行直线与平面平行的性质定理? a∥la∥?a???∥? ＝ l线面平行?线线平行 作业：P41习题1.2(2)1，3．课件18张PPT。高中数学 必修21.2.3 直线与平面的位置关系（2）复习回顾：a∥? ? a∥la???∩?＝l直线与平面平行性质定理a∥l? a∥?a??l ??判定定理线线平行?线面平行证明线线平行的方法：①平行公理；
②平面内两直线无公共点；
③线面平行性质定理． 情境问题： 在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内，是否存在线与垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？ABCDA1B1C1D1直线与平面垂直的定义：
如果一条直线a与一个平面?内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面?互相垂直．
记作：a⊥?．
a —— 平面?的垂线；
? —— 直线a的垂面；
P —— 垂足．
a⊥?，l?? ? a⊥l．?数学建构： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知：a∥b，a⊥?．
求证：b⊥?． 求证：a∥b? b⊥??aba⊥?分析：只要证明b与平面?内任意一条直线都垂直． 证明：设m是?内任意一条直线a⊥?m??? a⊥ma∥b? b⊥mm是?内任意一条直线? b⊥? 在如图所示的长方体中，过A点有且只有棱AA1与底面AC垂直． 同样，过A点也有且只有底面AC与棱AA1垂直． 思考：为什么说棱AA1与底面AC垂直？图中棱AA1与底面AC中的哪些线垂直？数学建构：在空间:
(1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 若正方体的棱长为2，则点A1到底面的距离是 .2从平面外一点引平面的垂线，这个点与垂足之间的距离，叫做这
个点到这个平面的距离. 直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线
垂直于这个平面．? a⊥?线线垂直 ? 线面垂直m∩n＝An??m??a⊥na⊥mA?amn数学建构：例1．已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥AB，PA⊥AC，M，N分别是AB，PC的中点， (1)证明：BC⊥面PAB；(2)求证：MN⊥AB． 数学应用：练习：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：AC⊥BD1． 数学应用： 思考：如图，正方体中，与底面ABCD垂直的棱有哪几条，它们之间有什么关系呢？直线与平面垂直的性质定理：
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．? a∥b线面垂直?线线平行b⊥?a⊥??ab数学建构：例2．已知直线l∥平面?，求证：直线l上各点到平面?的距离相等. 数学应用：?lPP?QQ?数学建构： 一条直线与一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离. 1．下列说法中正确的有 .
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直.
②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直.
③若A，B两点到平面?的距离相等，则直线AB∥?.
④已知直线a在平面?内，若l⊥? ，则l⊥?.
⑤已知直线l和平面? ，若l⊥? ，则l和?相交. 数学应用：2．若AB的中点到平面?的距离为4cm，点A到平面?的距离为6cm，则点B到平面?的距离为_______cm． 数学应用：3．如图，已知PA⊥?，PB⊥?，垂足分别为A、B，且?∩?＝l，
求证：l⊥平面PAB． 4．在三棱锥A-BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．ABCDE5．能否构造出一个三棱锥A-BCD，使它的四个面均为直角三角形？ABCD作Rt△BCD，使∠C＝90?，过顶点B(D)作BA⊥面BCD，连AC，AD，则三棱锥A-BCD为所求作的．数学应用：小结：直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的判定定义定理线面垂直?线线垂直线面垂直?线线平行1．知识点2．方法3．数学思想类比点到平面的距离直线和平面间的距离作业：课本41－42页习题第8(1)，10，12．课件12张PPT。高中数学 必修21.2.3 直线与平面的位置关系（3）复习回顾：? a⊥?m∩n＝An??m??a⊥na⊥m? a⊥?a⊥mm是平面?内的任一条直线? a⊥?b⊥?a∥b直线与平面的垂直情境问题：关于线面垂直的一个重要结论：在空间:
(1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 在如图所示的长方体中，过A1点有且只有棱
AA1与底面AC垂直．而A1B，A1C，A1D虽然都与底面ABCD相
交，但都不与底面ABCD垂直．它们与底面
的关系如何表述呢？? 一条直线和一个平面相交但是
不垂直，称这条直线为这个平面的
斜线；斜线和平面的交点叫做斜足；从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线段叫做点到平面的斜线段；
过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影；
垂足和斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段在这个平面内的射影．数学建构：平面的斜线l? 平面的一条斜线与它在这个平面内射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．
特别地：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；
一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0?．数学建构：平面的斜线与平面所成的角． 注：斜线PQ与平面?所成的角∠PQP? ，是斜线PQ与平面?内经过点Q的直线所成的所有角中最小的角．
斜线和平面所成角的取值范围为(0?，90?)；
直线和平面所成角θ的取值范围为[0?，90?]．例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)直线A1B和平面ABCD所成的角；
(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 数学应用：例2 如图，已知AC，AB分别是平面?的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，a??，a⊥BC．
求证：a⊥AB．?AaCB分析：因为AB? 平面ABC．所以只要证明a⊥平面ABC．AC⊥?a???AC⊥aa⊥BCAC∩BC=C?a⊥平面ABCAB?平面ABC? a⊥AB证明：数学应用：变式 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直． ?AaCB数学应用：练习：
1．两条平行直线在平面内的射影可能是：①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 ．
2．设斜线与平面?所成角为θ，斜线长为l，则它在平面内的射影长是 ．
3．一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面?所成的角是 .数学应用：O4．如图所示，已知正△ABC的边长为6cm，点O到△ABC的各顶点的距离都是4cm．
(1)求点O到这个三角形所在平面的距离；
(2)求AO与底面ABC所成的角的大小．AHCBD数学应用：小结：知识点：点、线在平面内的射影；直线与平面所成的角．作业：课本40页练习第3，5．课本42页习题1.2(2)11，14．课件12张PPT。高中数学 必修21.2.3 直线与平面的位置关系（4）数学应用：1．在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的是 ． ①、④2．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角
形有 个． PACB4数学应用：例1．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD．PABCDMNQQ数学应用：例2．已知矩形ABCD中，过A点作SA⊥平面ABCD，再过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F，
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥平面SDC．ABCDSEFG数学应用：3．如图，在正方体AC1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN为
直角，则∠C1MN ＝ ．90?BCDA1B1C1D1AMN数学应用例3．已知∠BAC在平面?内，点P在?外，∠PAB ＝∠PAC．求证：点P在平面?内的射影在∠BAC的角平分线上． ?ABCPOEF数学应用（2）已知三棱锥P-ABC的三条棱PA＝PB＝PC，且O是 △ABC的外心，求证：OP⊥平面ABC． CPBAO4．（1）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，求证：PA＝PB＝PC． 数学应用（2）在三棱锥P-ABC中，O是底面△ABC的垂心，若OP⊥底面ABC．求证：PA⊥BC ． CPBAO5 （1）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是O，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：O是△ABC的垂心 ． 6．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，求证：BC⊥平面PAC． ABCPO小结：线面垂直?线线垂直线面垂直?线线平行1．方法．2．数学思想．类比转化线面平行?线线平行作业：课本41－42页习题第4，13，16．附加题： 如图，一块正方体木料的上底面内有一点E，要经过点E在上底面内画一条直线与CE垂直，应怎样画？ BCDA1B1C1D1E分析：因为CE? 平面CEC1．所以只要找与平面CEC1垂直．A作法：连结C1E．在平面A1B1C1D1内作C1E的垂线PE与C1E交于E点．P则直线PE就是所求作的直线.课件17张PPT。高中数学 必修21.2.4 平面与平面的位置关系（1） 前面我们研究了空间直线与直线、直线与平面的位置关系，其间也常常涉及两个平面的位置关系．情境问题：两种关系有公共点——没有公共点相交——？——公理2BCDA1B1C1D1A 以右侧长方体为例，说说两个平面之间的位置关系．两个平面平行：
两个平面没有公共点，那么就说这两个平面平行．a已知?∥?，若a?? (如图)，则a∥? ．数学建构：两个平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面．?∥?a???a∥?平面与平面的位置关系： 位置关系 面面平行 面面相交
公共点个数 没有公共点 有无数公共点
——交线
图形表示
符号语言?∥??∩?＝l数学建构：空间点、直线和平面的位置关系A?lA?lA??A??l1∩l2=Al1∥l2AB∥?AB??l∩?＝P?∩? =l?∥?小结：两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．?abAa∥?
b∥?
a??
b??
a∩b＝A数学建构：?∥?简记为：线面平行?面面平行 练习：
1．平面?内有无数条直线都平行于平面?，则?∥?．
2．过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
3．过平面外的一条直线一定能做出一个平面与已知平面平行．
4．平行于同一条直线的两平面平行．数学应用：例1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面AB1C∥平面A1C1D．数学应用： 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，是不是ABCD内的任一条直线与A1B1C1D1中的任一条直线都垂直？
要使得两条直线平行，需满足什么条件呢？两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
?∥?
?∩?＝a
?∩?＝b
* 面面平行 ? 线线平行数学建构：例2．已知：?∥?，?∥?．求证：?∥?．A例3．求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
已知：?∥?，l⊥?．求证：l⊥?．数学应用：变式：求证：垂直于同一条直线的两个平面平行． 和两个平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线；
公垂线夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段；
两个平行平面的公垂线段都相等．
公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．?数学建构：两个平行平面的公垂线及两个平行平面间的距离；练习：
1．下列条件中，能判断两个平面平行的是 ．
(1)一个平面内的一条直线平行于另一个平面；
(2)一个平面内的两条直线平行于另一个平面；
(3)一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；
(4)一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面．数学应用：2．在棱长为a的正方形ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别为棱AA1，A1B1，A1D1，BC，CC1，CD中点．
(1)求证：平面EFG∥面MNQ；(2)求平面EFG与面MNQ间的距离． 数学应用：EFGMNQ3．如图，平面?∥?，A，C??，B，D??，且AB，CD不共面，E，F分别是线段AB，CD的中点，求证：EF∥?． 数学应用：??ACBDEF小结：1．知识点．2．方法．3．数学思想．类比转化线面平行?面面平行平面与平面位置关系的认知；平面与平面平行的定义与判定；平面与平面平行的性质与两平行平面间的距离．作业：课本50－51页习题第3，11，12．课件13张PPT。高中数学 必修21.2.4 平面与平面的位置关系（2）前面我们研究了空间两平面的平行．复习回顾：平面与平面平行的定义平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定两平行平面间的距离面面平行?线面平行线面平行?面面平行面面平行?线线平行 两平面相交也是生产和生活中常见的现象，如发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度．使用笔记本电脑时，为便于操作，需将显示屏打开一定的角度．如何刻画两个平面所成的这种“角”呢？ 情境问题：ABNM?? 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
直线——二面角的棱；
每个半平面——二面角的面．
棱为AB，面为?，?的二面角，记作：二面角?-AB-?，
或二面角?-l-?，二面角P-l-Q．l数学建构：二面角：注：I．二面角的画法；
II．二面角不是“角”． 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个
面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射
线所成的角叫做二面角的平面角．
注：
I．与棱上任意一点的位置选取无关；
II．棱垂直于二面角的平面角所在平面．
III ．二面角的取值范围是{?｜0?≤?≤180?}数学建构：二面角的平面角：例1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中
求①二面角A1－AB－D的大小；
②二面角D1－AB－D的大小．数学应用：例2．如图，将等腰直角△ABC沿中线AD折成二面角B-AD-C，使BC＝AB．求二面角B-AD-C的大小．ABCD数学应用： 如果两个平面所成的二面角是直二面角，就称这两个平面互相垂直．l数学建构：两个平面垂直：例3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中
求证：平面A1C1CA⊥平面B1D1DB．数学应用：平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
a⊥?
a??
*线面垂直?面面垂直? ?⊥?l数学建构：判断：
1．过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面平行．
2．过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面垂直．
3．两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
4．两平面垂直，其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．FTTF5．判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)若?⊥?，?⊥?，则?∥?．FTF(3)若?∥?1，?∥?1，?⊥?，则?1⊥?1．(2)若?⊥?，?⊥?，则?⊥?．小结：二面角与二面角的平面角．两平面垂直定义与判定．作业：课本50页习题第7，8．课件10张PPT。高中数学 必修21.2.4 平面与平面的位置关系（3）复习回顾与情境创设：1．二面角的定义；
2．两平行垂直的定义、判定定理． 如果两平面垂直，那么其中一个平面内的任一点在另一个平面内的射影的位置有什么特殊性吗？ 平面与平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线
垂直于另一个平面．
?⊥?
?∩?＝l
a??
a⊥l
*面面垂直?线面垂直? a⊥?aOA在平面?内作BO⊥l，证明：设a∩l＝O，在a上任取点A，已知： ?⊥? ，?∩?＝l，a??，a⊥l ．求证： a⊥? ．由?⊥?可知AO⊥OB．又AO⊥l，所以AO⊥?．则∠AOB就是二面角?-l-?的平面角数学建构：例1．求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
已知：???，A??，AB??．
求证：AB??．同一法数学应用：例2．四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面EDB⊥平面PBC． 数学应用：1．如图，在三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90?，AB⊥面BCD，ABCD指出图中两两互相垂直的平面．求证：平面ABC⊥平面ACD．数学应用：2．如图，已知四边形ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，请写出图中与面PAB垂直的所有平面．数学应用：3．如图，S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求证：AB⊥BC． D4．如图，P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90?，且PA＝PB＝PC．
求证：平面PAC⊥平面ABC．O证明：取AC的中点O，连PO，BO，因为PA=PC，所以PO⊥AC.又因为∠ABC＝90?，所以BO=AO.又PB=PA，所以△PBO≌△PAO.则∠PBO= ∠PAO= 90?，即PO⊥BO.所以PO⊥平面ABC.又PO?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．作业：课本50页习题1.2（3）第9，10题．课件19张PPT。高中数学 必修21.3.2 空间几何体的体积 平面展开图
侧面展开图
S直棱柱侧＝ch ( c－底面周长，h－高 )
S正棱锥侧＝ ch? ( c－底面周长，h?－斜高 )
S正棱台侧＝ (c＋c?)h? (c，c?－上、下底面周长，h?－斜高)——表面积(全面积)——侧面积 S圆柱侧＝cl＝2?rl (c－底面周长，l－母线长 ，r－底面半径)
S圆锥侧＝ cl＝?rl (c－底面周长，l－母线长 ，r－底面半径)
S圆台侧＝ (c＋c?)l＝?(r＋r?)l
(c，c? －上、下底面周长，r，r? －上、下底面半径)复习回顾：情境创设：魔方 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．体积的单位： 我们用单位正方体(棱长为1个长度单位的正方体)的体积来度量
几何体的体积． 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少？已知的几何体体积公式：V长方体＝abc (a，b，c分别为长方体的长、宽、高)
＝Sh (S为底面积，h为高)V圆柱体＝Sh (S为底面积，h为高)V圆锥体＝ Sh (S为底面积，h为高)例1 有一堆相同规格的六角帽毛坯共重6kg .已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径10mm.那么约有毛坯多少个?(铁的比重为7.8g/cm3)V圆柱 ≈3.14×52×10＝7.85×102 (mm3)12103.741×103－7.85×102≈2.956×103（mm3）＝2.956cm3一个毛坯的体积为V＝约有毛坯6×103÷(2.956×7.8)≈260(个）答 这堆毛坯约有260个.解 V正六棱柱＝≈3.741×103 (mm3)1.正方体的一条面对角线长为 cm ,那么它的体积为________．
2.长方体的长、宽、对角线长分别为3 cm ，4 cm,13 cm ，则它的体积为_____ ;表面积为______．
4.已知一正四棱台形的油槽可以装油112cm3，假如它的上，下底面边长分别为4cm和8cm，求它的深度．3.若一个三棱锥的高为3cm，底面是边长为4cm的正三角形, 求这个三棱锥的体积．
练习： 144cm3216cm3192cm2本节课要解决的问题：柱、锥、台、球的体积计算公式；球的表面积公式．祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于
这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面
面积相等，那么这两个几何体的体积相等． 体积公式
V柱体＝Sh ( S－底面积，h－高 )
( S－底面积，h－高 )
(S，S?－上下底面积，h－高 )推导情境问题1柱、锥、台体的体积公式如何表示，如何推导？S?=0S?=SV柱体=Sh V球＝ ?R3 (R为球的半径) 情境问题2球体的体积公式如何表示，如何推导？S球面＝4?R2情境问题3球体的表面积公式如何表示，如何推导？练习．
1．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，圆锥被分成的三部分的体积之比为_________．
2．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为
9?，16? ，则这两个平行平面间的距离为_________． 1 : 7 : 191或7 正方体与球的位置关系：
Ⅰ. 内切球；
Ⅱ. 外接球；
——棱长为直径
——体对角线长为直径例2 在棱长为4的正方体中，求三棱锥A－B1CD1的体积．ACB1D1例3 正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，全面积为512cm2，求此正四棱台的体积．A1B1C1D1O1ABCDOM1MN小结：作业： 体积公式：
V柱体＝Sh ( S－底面积，h－高 )
( S－底面积，h－高 )
(S，S?－上下底面积，h－高 )课本60页练习与 63页习题．?*立方差公式课件15张PPT。高中数学 必修22.1.2 直线的方程（1）复习回顾反映直线的倾斜程度比值角度斜率k倾斜角?k＝tan?这样的点惟一吗？情境问题已知直线l过点A(－2 ，1)且斜率为－2，试写出直线上另一点B的坐标．设点P(x，y)是满足上述条件的直线l上任一点，则x，y应满足的什么关系？ 它们的共同点是什么？若点P(x，y)的坐标之间满足2x＋y－1＝0 ，则点P与经过点A(1，3)，斜率
为－2的直线l又有什么关系？已知直线的斜率是 k，且经过点P1(x1，y1)，怎样求直线的方程？数学建构直线的方程： 如何求直线的方程呢？这取决于确定一条直线的要素！两点确定一条直线，也可由一点和一个方向来确定． xyOP1(x1，y1)P2(x2，y2) 直线是点的集合，直线上任一点的坐标x，y之间都满足同一个等量关系，反过来，坐标x，y之间满足这一关系的点也都在这条直线上，这一等量关系就是直线的方程． 数学建构 一般地，直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，设点P是(x，y)直线l上任意一点，有k＝y－y1x－x1即：y－y1＝ k(x－x1)可以验证：
直线l上的每个点(包括点P1)的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，这个方程就是过点P1，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝ k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．直线的点斜式方程：思考：为什么不说k＝ 就是过点 P1(x1，y1) ，斜率为k的直线l的点斜式方程？(1)当直线l的倾斜角为0?时，k＝0，直线l的方程是y－y1＝0，即y＝y1；
(2)当直线l的倾斜角为90?时，k不存在，它的方程不能用点斜式表示，
由于直线经过点P1(x1，y1)，即直线上的每一点的横坐标都是x1，所以
它的方程是x＝x1．数学建构直线的点斜式方程：数学应用例1．已知一直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程． 数学应用根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点(4，－2)，斜率为3；(2)经过点(3，1)，斜率为 ；(3)经过点P(0，1)，斜率为2 ．数学建构例2．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程． 小结：
已知直线的斜率是k，与y轴的交点是P(0，b)，则直线l的方程为
y＝kx＋b．这个方程叫做直线的斜截式方程．注：
(1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊情形．
(2)当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的形式，因此函数y＝kx＋b中，
一次项系数k就是对应直线的斜率，常数项b是直线在y轴上的截距．
(3)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标，这可能是正数、负数或零．
与“距离”是不同的概念，距离是非负数．练习：求下列直线的方程：
(1)在轴上的截距为－1，斜率为4；
(2)过点B(－ ，2)，倾斜角为30°；
(3)过点C(4，－2)，倾斜角为0°；
(4)过点D(－1，0)，斜率不存在． 数学应用1．若一直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y ＝ －2x＋3的斜率相等，则该直线的方程是 ． 2．下列图象，能作为直线y ＝ k(x＋1)( k＞0)的图象的是 ( ) xyO1－1xyOxyOxyO1－1－1－111ABCD数学应用3．已知直线l经过点P(1，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为4，求直线l的方程． 4．已知直线l的斜率为－ ，且与两坐标轴所围成的三角形的周长为12，求直线l的方程． 过点P（2，2 ）的四条直线的倾斜角的比是1﹕2﹕3﹕4，第二条直线过原点，求这四条直线的方程． 思考题小结求直线的方程实际上就是求直线上点的坐标之间所满足的一个等量关系． 经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l方程可表示为： y－y1＝ k(x－x1)．
这个方程叫做直线的点斜式方程． 特别地，斜率是k，且与y轴的交点是P(0，b)的直线l的方程为y＝kx＋b．
这个方程叫做直线的斜截式方程． 当直线l的倾斜角为0?时，直线l的方程是y＝y1；
直线l的倾斜角为90?，k不存在，它的方程是x＝x1．作业课本87-88页习题3(1)、(2)，4(1)、(2)．课件14张PPT。高中数学 必修22.1.2 直线的方程（2）复习回顾 求直线的方程实际上就是求直线上点的坐标之间所满足的一个等量关系． 经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l方程可表示为： y－y1＝ k(x－x1)．
这个方程叫做直线的点斜式方程． 特别地，斜率是k，且与y轴的交点是P(0，b)的直线l的方程为y＝kx＋b．
这个方程叫做直线的斜截式方程． 当直线l的倾斜角为0?时，直线l的方程是y＝y1；
直线l的倾斜角为90?，k不存在，它的方程是x＝x1．求经过A(－1，3)，B(1，1)两点的直线l方程．情境问题若直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，直线l的方程如何表示呢? 已知直线 l 经过两点P1( x1，y1 )，P2( x2，y2 ) (x1≠x2)两点，试求直线 l 的方程直线l的斜率为k＝ y2－y1x2－x1由直线的点斜式方程，得y－y1＝ 当y1≠y2时，方程可以写成 方程叫做直线的两点式方程．若 y1 ＝ y2 ＝ a，则直线 l 的方程为： .y＝a数学建构直线的两点式方程．(1)直线 l 经过两点P1(1，2)，P2(3，5)；(2)直线 l 经过两点P1(1，3)，P2(2，3)；(3)直线 l 经过两点P1(3，2)，P2(3，1)；(4)直线 l 经过两点P1(3，0)，P2(0，2)．数学应用分别求满足下列条件的直线l 的方程．已知直线 l 经过两点P1(a，0)，P2(0，b)，其中(ab≠0)，则直线 l 的方程为b是直线与y轴交点的纵坐标，称为直线在y轴上的截距.a是直线与x轴交点的横坐标，称为直线在x轴上的截距.我们把这一方程称为直线的截距式方程.数学建构点斜式斜截式两点式截距式y－y1＝k(x－x1)直线方程的标准形式：y＝kx＋b例1．已知三角形的顶点是 A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程．xyOABC数学应用例2．已知直线l过点(1，2)且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．数学应用 已知菱形的两条对角线的长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程． xyOABCD数学应用 一根弹簧挂4kg的物体，长20cm．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧伸长1.5cm．试写出弹簧的长度l (cm)与所挂物体的质量m(kg)之间的关系． 数学应用 已知直线 l 经过点P(5，2)，且直线 l 在x，y轴上的截距互为相反数，求直线 l 的方程．直线 l过点B(0，2)且与x轴交于A点，若|AB|＝4，求直线l的方程.直线l经过点(5，2)，且与两坐标轴围成等腰三角形，求直线l的方程． 直线l经过点(5，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 数学应用点斜式斜截式两点式截距式y－y1＝ k(x－x1)y＝kx＋b适用性局限性有没有什么表示方法，可以避开这些局限性呢？ 相信大家一定会想到小结形式标准方程课本87-88页习题3(3)、(4)，4(3)，6．作业课件13张PPT。高中数学 必修22.1.2 直线的方程（3）有没有什么表示方法，可以避开这些局限性呢？ 复习回顾点斜式斜截式两点式截距式y－y1＝ k(x－x1)y＝kx＋b局限性形式标准方程不能表示斜率不存在的直线不能表示斜率不存在的直线不能表示与坐标轴平行的直线不能表示截距不存在或为0的直线 以上直线的方程都可以表示为x，y的二元一次方程．
反之，对于x，y的二元一次方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)是否都可以表示直线？问题情境（1）当B≠0时，Ax＋By+C＝0可化为这表示斜率为，且在y轴上的截距为（2）当B＝0时，由A，B不同时为0，必有
A≠0，Ax＋By＋C＝0可化为，表示一条垂直于x轴的直线． 因此，二元一次方程Ax+By+C＝0都表示一条直线，
我们把方程Ax+By+C＝0(其中A，B不同时为零)叫做直线方程的一般式． 的直线．数学建构直线一般式的方程直线过原点：C＝0 一般式方程： Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)直线垂直于x轴：B＝0 直线垂直于y轴： A＝0直线与两坐标轴都相交：AB≠0直线在两坐标轴上的截距相等： A＝B或C＝0 倾斜角为45°：A＋B＝0数学建构例1．求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴，y轴上的截距，并作图．数学应用若AC＜0，BC＞0，那么直线Ax＋By＋C＝0必不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限B数学应用例2．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值．
(1)直线l在x轴上的截距是－3；
(2)直线l的斜率是1．思考：满足题中方程的这些直线具有什么共同的特点？数学应用 1．设直线l的方程为 (m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距是－3；
(2)直线l的斜率是1．数学应用2．已知直线l的一般式方程为，求直线l的斜率和倾斜角．备用题3．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(1，2)，求过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程． 数学应用一般式方程： Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)每一个方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．数学应用课本88页习题7，8，10，14．作业课件12张PPT。高中数学 必修22.1.3 两条直线的平行与垂直（1）复习回顾点斜式斜截式两点式截距式y－y1＝ k(x－x1)y＝kx＋b局限性形式标准方程不能表示斜率不存在的直线不能表示斜率不存在的直线不能表示与坐标轴平行的直线不能表示截距不存在或为0的直线一般式Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 我们研究直线的方程，最主要的目的是想利用直线的方程，研究直线的性质！对于平面内的直线，我们研究它的什么性质呢？平行与相交，相交中的垂直关系与交点坐标判断两条直线平行或垂直，能从方程出发吗？情境问题 已知直线l1∥l2，
①若l1，l2的斜率存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2
则k1＝k2，且b1≠b2；
②l1，l2的斜率均不存在．yxOl1l2l1l2l1l2数学建构两直线平行例1．求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－ )，C(2，3)，D(－4，4)四点所得的四边形是梯形．数学应用 已知直线l1∥l2，
③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0．数学建构两直线平行． 已知直线l1∥l2，若l1的方程为Ax＋By＋C＝0，则l2的方程可设为Ax＋By＋C?＝0(C ?≠C) ．例2．求过点A(2，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程． 数学应用(1)求过点A(0，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程．(2)若直线l与直线2x+y－5＝0平行，并且在两坐标轴截距之和为6．求
直线l的方程．数学应用(3)若直线l平行于直线2x＋y－5＝0，且与坐标轴围成的三角形面积为9，
求直线l的方程．例3．已知两条直线：(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8，m为何值时，两直线平行． 数学应用(4)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值．数学应用小结2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系．
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则l1∥l2 ? A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0 ．1．利用两直线的斜率关系判断两直线的平行关系．
①斜率存在， l1∥l2 ? k1＝k2，且截距不等；
②斜率都不存在．
注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．3．利用直线系解题．
已知l1∥l2，且l1的方程为Ax＋By＋C1＝0，则设l2的方程为Ax＋By
＋C?＝0(C ?≠C) ，P96习题第1，2题．作业课件12张PPT。高中数学 必修22.1.3 两条直线的平行与垂直（2）复习回顾2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则l1∥l2 ? A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0 ．1．利用两直线的斜率关系判断两直线的平行关系
①斜率存在， l1∥l2 ? k1＝k2，且截距不等；
②斜率都不存在．
注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．3．利用直线系解题
已知l1∥l2，且l1的方程为Ax＋By＋C1＝0，则设l2的方程为Ax＋By
＋C?＝0(C ?≠C) ，情境问题 能否利用两直线的斜率关系或直接利用直线的一般式方程来判断两直线的垂直关系呢？如何判断，又如何利用这一关系解题呢？ 已知直线l1⊥l2，
①若l1，l2的斜率均存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2
则k1·k2＝－1；
②l1，l2中有一条直线斜率不存在，
则另一条斜率为0．yxOl1l2l1l2数学建构两直线垂直．例1．已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11).
求证：AB⊥CD.数学应用变式练习：
(1)已知直线l1的斜率k1＝ ，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．(2)求过点A(0，－3)，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线的方程．注：设l：Ax＋By＋C＝0，与直线l垂直的直线可设为：Bx－Ay＋n＝0数学建构 ③已知l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0 ．两直线垂直．(3)已知直线l ?与直线l：3x＋4y－12＝0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l ?的方程．数学应用例2．已知三角形的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求：AC边上的高BE所在直线的方程.数学应用例3．如图在路边安装路灯，路宽MN长为23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱BM成120?角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，当灯柱BM高为多少米时，灯罩轴线AC正好通过道路路面的中线?(精确到0.01米)ABCNM数学应用数学应用(5)若直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则实数a＝______． (4)已知直线l1:mx+y－(m+1)＝0与l2:x+my－2m＝0垂直，求m的值 ． (6)已知三条直线的方程分别为：2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0与2mx－3y＋12＝0．若三条直线能围成一个直角三角形，求实数m的值． (6?)已知三条直线的方程分别为：2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0与2mx－3y＋12＝0．若三条直线能围成一个三角形，求实数m的取值范围． 1．利用两直线的斜率关系判断两直线的垂直关系．小结2．利用直线的一般式方程判断两条直线的垂直关系．
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则l1⊥l2 ? A1A1＋B1B2＝0．3．利用直线系解题
已知l1⊥l2，若l1的方程为Ax＋By＋C＝0，则l2的方程可设为
Bx－Ay＋C＝0或－Bx＋Ay＋C＝0．P96习题第5，7题．作业课件13张PPT。高中数学 必修22.1.4 两条直线的交点复习回顾2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系.
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2 ? A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0．
l1⊥l2 ? A1A2＋B1B2＝0．1．利用两直线的斜率关系判断两直线的位置关系.
①斜率存在，
l1∥l2 ? k1＝k2，且截距不等；l1⊥l2 ? k1·k2 ＝－1，
②斜率不存在．
注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论．直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？ 问题情境垂足的坐标能否求出？如何求？ OxyB(4)请试着总结求两条直线交点的一般方法.(1)已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？(2)已知l1 :2x＋3y－7＝0，l2 :5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，
并判断下列各点分别在哪条直线上？
A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)(3)由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？P(x0，y0)．xyOP(x0，y0)A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0方程组的解就是两条直线的交点的坐标.数学建构两条直线的交点已知直线x＋y－2＝0与x－y＝0垂直，求垂足的坐标．想一想两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系？例1．解下列方程组，并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，观察它们的位置关系．(1)2x－y＝73x＋2y－7＝0(2)2x－6y＋4＝04x－12y＋8＝0(3)4x＋2y＋4＝0y＝－2x＋3 数学应用3x＋2y－7＝02x－y＝7有无数多个解有且只有一个解无解y＝－2x＋34x＋2y＋4＝0平行！相交！交点坐标为(3，－1)重合！设两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0； l2：A2x＋B2y＋C2＝0．方程组 (无数组解、惟一组解、无解)与两直线的
( 重合、 相交、 平行)对应．的解的组数 . A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0数学建构两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系.例2．已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围． 数学应用例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程． 数学应用 过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝ 0交点的直线系方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋?(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)． 当实数取不同实数时，方程2x＋3y＋8＋?(x－y－1)＝0表示什么图形？它们有什么共同的特点？数学应用 求证：不论取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 数学应用(1)经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________ (2)已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合． 某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系:
y1＝－x＋70, y2＝2x－20.
当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量.
(1)求平衡价格和平衡需求量.
(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴?
(3)若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格.y2y1P平衡价格平衡需求量数学应用知识与技能:
（1）通过解方程组确定两直线交点坐标．
（2）通过求交点坐标判断两直线的位置关系 ．
（3）过定点的直线系方程的理解与应用．
思想与方法：
方程思想、坐标法 、数形结合思想．小结：P96习题第3，4．作业课件15张PPT。高中数学 必修22.1.5 平面上两点间的距离 已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，四边形ABCD是否为平行四边形？ xyOABCD两组对边分别平行．通过对边相等来判别． 通过对角线互相平分来判别． 问题情境x轴上两点P1(x1，0)， P2(x2，0)的距离．
| P1P2|＝|x2－x1|．
y轴上两点Q1(0，y1)， Q2(0，y2)的距离．
| Q1Q2|＝|y2－y1|．
推广：
M1(x1，a)，M2(x2，a)的距离| M1M2|＝|x2－x1|．
N1(0，y1)， N2(0，y2)的距离| N1N2|＝|y2－y1|．xyOP1P2M1M2N1N2Q1Q2数学建构坐标轴上两点间的距离．平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝数学建构平面内任意两点间的距离．例1．(1)求(－1，3)，(2，5)两点间的距离；
(2)若(0，10)，(a，－5)两点间的距离是，求实数a的值． 数学应用(1)已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________．
(2)若x轴上的点M到原点及到点(5，－3)的距离相等，则M的坐标为
______ ．例2．已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，证明：四边形ABCD为平行四边形？ xyOABCD通过对角线互相平分如何判别？M数学应用x－2y＋4＝0数学建构中点坐标公式．练习：一直线被两坐标轴所截线段中点坐标为(－2，1)，则该直线的方程为
_______________． 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则：x0＝y0＝xyOP1(x1，y1)P2(x2，y2)P0(x0，y0)证明分两步完成：第一步 证明点M在直线P1P2上第二步 证明P1M＝ MP2． 例2．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)， C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程． xyOABCM思考：如何求△ABC的重心坐标呢？N数学应用 已知平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(1，2)，B(－1，3)， C(－3，－1)，求第四个顶点D 的坐标．xyOABC数学应用 已知矩形ABCD两个顶点A(－1，3)，B(－3，1)，若它的对角线交点M在x轴上，求C，D两点的坐标． 数学应用 已知点A(1，2)，B(2， )，试在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求此时PA的值．数学应用 已知A，B两点都在直线y＝2x＋1上，且A，B两点的横坐标之差为 ，A，B两点之间的距离为__________． 数学应用例4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标
系，证明：AM＝ BC． 数学应用AB＝设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上任意两点．设线段AB的中点是P(x0，y0)，则：x0＝y0＝小结1．平面内两点间距离公式． 2．中点坐标公式． 作业课本105页习题2.1（3）第1，2，4题．课件13张PPT。高中数学 必修22.1.6 点到直线的距离 前一节课我们判断了以A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)为顶点的四边形ABCD是平行四边形，它的面积是多少呢？ xyOABCD 我们利用两点间距离公式可以求出边AB或的BC长，需要求出点D(或C)到边AB的距离，或者是点D(或A)到边BC的距离．问题情境ExyO点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线l是平面上任意一直线，(1)直线l平行于x轴(如图)，记直线l的方程为y＝ b，P(x0，y0)(2)直线l平行于y轴(如图)，记直线l的方程为x＝ a，则点P到直线l的距离为|y0－b|．则点P到直线l的距离为|x0－a|．Ql数学建构点到直线的距离xyO点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线l是平面上任意一直线，P(x0，y0)(3)直线l与x轴、y轴都相交，Ql第一步：先求直线l过点P的垂线方程；第二步：解方程组得交点坐标；第三步：利用两点间距离公式求点到直线的距离．
—定义法数学建构点到直线的距离xyO点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线l是平面上任意一直线，P(x0，y0)(3)直线l与x轴、y轴都相交，l第一步：分别作PM⊥x轴， PN∥x轴；第二步：确定M，N的坐标，求出MN的长；第三步：利用面积求点P到直线l的距离．
—面积法数学建构点到直线的距离MNQ则点P(x0，y0)到直线 l: Ax+By+C＝0的距离d为:
点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线l是平面上任意一直线，数学建构点到直线的距离1. 当P(x0，y0)在直线 l: Ax+By+C＝0上时，d＝0.2. 当A＝0或B＝0时，公式也适用. 但可以直接求距离.例1．求点P(－1，2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0； (2)3x＝2．数学应用(1)若点(a，2)到直线3x－4y－2＝0的距离等于4，则a的值为______．
(2)若点(4， 0)到直线4x－3y＋a＝0的距离为3，则a的值为________．
(3)点P是直线4x－3y－6＝0任意一点，则点P到直线4x－3y＋9＝0的距
离为________． 两条平行线l1:Ax＋By＋C1＝0，l2:Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d，则d＝ ． 数学建构两条平行直线间的距离．例2．求两条平行线x＋3y－4＝0和2x＋6y－9＝0的距离． 数学应用 (1)与两条平行直线2x＋y＋1＝0和2x＋y＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程
为__________．
(2)两点A(1，0)，B(3，4)到直线l的距离均等于1，则直线l的方程为___．
(3)若直线l1过点A(5， 0)，直线l2过点B(0， 1)，且l1 // l2，l1 和l2间 的距
离为5，求l1 ，l2的直线方程． 点P在直线3x＋y－5＝0上，点P到直线x－y－1＝0的距离为 ，则点P的坐标是______________． 数学应用例3．建立适当的坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高． 数学应用 则点P(x0，y0)到直线 l: Ax+By+C＝0的距离d为:
点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线l是平面上任意一直线，小结1.点到直线的距离．2. 两平行直线间的距离. 直线l1:Ax＋By＋C1＝0，l2:Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d ，
则d＝ ． 作业课本105-106页习题2.1（3）第6，7，8，9，11题．课件10张PPT。高中数学 必修22.2.1 圆的方程（1） 圆是最完美的曲线．它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点就是圆心，定长就是半径 ．如何建立圆的方程？如何利用圆的方程研究圆的性质？问题情境rx2＋y2＝r2OrP(x，y) xyxy(x－a)2＋(y－b)2＝r2M(a，b) O数学建构圆的方程． 以(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
特别地，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心，
r为半径的圆；其中当r＝1，即x2＋y2＝1时，
称该方程表示的圆为单位圆．例1．求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程． 数学应用(1)经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；
(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－3y＋5＝0上；
(3)经过点A(3，5)和B(－3，7)，且圆心在x轴上．
(4)过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y＝x－1被该圆所截得的
弦长为 ． 例2．已知两点A(6，9)和B(6，3)，求以AB为直径的圆的标准方程，并且判断点M(9，6)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外? 数学应用例3．已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2. 7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？ 数学应用思考：1．方程x－1＝ 表示的曲线是什么？2．方程y＝ 表示的曲线是什么？Oxy数学应用2．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，及点M1(5，－7)，M2(－5，－1)，
M3(3，1)则过此三点是否存在圆的切线？若存在有几条？3．圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程． 数学应用圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2小结课本111页习题2.2（1）1，2，3题.小结课件10张PPT。高中数学 必修22.2.1 圆的方程（2） 以(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
特别的，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心，r为半径的圆； 复习回顾(1)(x－1)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标和半径分别是多少？
(2)x2＋y2－2x－4y－4＝0所表示的曲线是什么？ 问题情境形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0的方程所表示的曲线一定是圆么？ 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
① D2＋E2－4F ＞0 时， ——圆的一般方程；
圆心(－ ，－ )，半径为
② D2＋E2－4F ＝0时， ——点(－ ，－ )；
③ D2＋E2－4F ＜0时， ——不表示任何图形．数学建构圆的方程例1：判断下列是否表示圆？如果是，请求出圆的圆心及半径．
(1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；(2)x2＋y2－2x＋y－5＝0． 数学应用例2．已知△ABC顶点的坐标分别为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求外接圆的方程． 数学应用BACxy变式练习：已知点A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求经过A，B，C
三点的圆的方程，并确定这个圆的半径和圆心坐标．O例3．某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01m)OABPA2P2xy数学应用1．求经过A(4，2)、B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 2．圆C过点A(1，2)、B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程． 数学应用4．已知圆的方程为x2＋y2＋x＋2y＋1＝0，试问：过定点A(1，2)是否存在圆的切线？若存在，有几条？ 的点共有 个． 3．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上，到直线x＋y＋1＝0的距离为圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F ＞0 ) 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0在x轴上的两个截距之和为－D，在y轴上
的两个截距之和为－E．小结课本111页习题2.2（1）6，7．作业课件13张PPT。高中数学 必修22.2.2 直线与圆的位置关系(1)直线kx－y＋1＋2k＝0所过定点为 ；
(2)圆心为(2，3)点，半径为3的圆的标准方程为 ；
(3)(1)中的定点与(2)中的方程的关系是什么，(1)中的直线与(2)中的圆的位置关系是什么？问题情境d＞rd＝rd＜r方程组解的个数无解有惟一一组解有两组不同解数学建构直线与圆的位置关系及其判定:例1．求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们的位置关系． 变式：求直线4x＋3y＝50和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们
的位置关系．数学应用例2．自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝2的切线l，求切线l的方程． 变式：自点B(1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2 ＝1的切线l，求切线l的方程．小结：相切——求切线l的方程．数学应用例3．求直线x－ y＋2 ＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长 ． 变式：(1)求直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5截得的弦长．小结：相交——求弦长以及利用弦长求相关的方程．数学应用(2)已知直线kx－y＋6=0被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求k的值． 弦AB＝ ；
(其中d为圆心到弦的距离)ABdrQPrd数学建构I．关于弦长、弦心距和半径之间的关系切线PQ＝ ；
(其中Q为切点，d为点P到圆心的距离)II．关于切线长、点心距和半径之间的关系1．直线x－y－2＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为 ．2．若过点(－2，1)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝r2的切线有且只有一条，
则r＝ ．53．若直线(m＋1)x＋y＋1＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则实数的m值
为 ．－1数学应用4．已知直线x－y＋b=0与圆x2＋y2＝25相离，求b的取值范围． 变式：点M(x，y)是圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5上任一点，求点M到直线
2x－ y＋3＝0距离的最大值与最小值．小结：相离——求字母取值范围与最大值和最小值．数学应用5．求以C(1、3）为圆心，并和直线3x－4y－6＝0相切的圆的方程 ．6．已知⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，与直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
①证明：不论m取何实数，直线l与⊙C恒有两个交点；
②求直线被⊙C所截弦长最小时，l的方程．数学应用直线与圆的位置关系：相交——求弦长以及利用弦长求相关的方程．相切——求切线方程以及切线的长．相离——判断字母取值范围．弦AB＝ (其中d为圆心到弦的距离)；切线PQ＝ (其中Q为切点，d为点P到圆心的距离)；小结课本117页习题2.2（2）2，3，4．作业例4．自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上后被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．数学应用——备用题课件13张PPT。高中数学 必修22.2.3 圆与圆的位置关系 古希腊哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方吗？”芝诺风趣的打了一个比方：“如果有小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一些，但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多”请你谈谈其中的道理； 问题情境两圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含． 在初中，我们通过比较圆心距d (O1O2) 与｜r1－r2｜和 r1＋r2的大小来判断⊙O1与⊙O2的位置关系．根据方程如何来判断两圆的位置关系？方程组解的个数无解有惟一一组解有两组不同解数学建构两圆的位置关系及其判定：例1．判断下列两圆的位置关系：
（1）(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；
（2）x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0． 数学应用1．两圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为 ． 3数学应用小结：两圆的公切线数与两圆位置关系息息相关：位置关系公切线的条数内含0内切1相交2外切3外离42．若半径为1的动圆与圆x2＋y2＝4相切，则动圆圆心的坐标满足的关系是 ．x2＋y2＝1或x2＋y2＝9数学应用3．圆x2＋y2＝1上动点A到圆(x－3)2＋(y－4)2＝1上动点B间距离的最大值
和最小值分别为 ．7和3 4．若两圆x2＋y2＝9与x2＋y2－8x＋6y－8a－25＝0只有惟一的一个公共
点，求实数a的值．例2．求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆方程． 数学应用5．求与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0相外切，与直线y＝0相切且半径为4的圆方程. 数学应用6．已知⊙C1：x2＋y2＋6x－4＝0和⊙C2：x2＋y2＋6y－28＝0相交于A，B
两点．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过A，B两点的圆C方程． 经过⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋?(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
特别地，当?＝－1时，方程表示两圆的交点弦方程．(不包含⊙O2 )数学建构圆系例3．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求两圆公共弦AB所在直线的方程及公共弦的长．数学应用7．以A(1，－2)为圆心，与圆x2＋y2＝45相切的圆方程是 ． 8．若直线(x－a)2+(y－b)2＝1始终平分圆(x＋1)2+(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是 ．数学应用小结1．两圆的位置关系；2．两圆的位置关系与其公切线数的对应关系；3．圆系及两圆的相交弦所在直线的方程．课本117页习题2.2(2)6，7，8．作业课件10张PPT。高中数学 必修22.3.2 空间两点间的距离 一间房子长5米，宽3米，高3米，一根长7米的木棒能放进去吗？
借助平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置．
从而用坐标求平面内任意两点间的距离．那么，空间内两点间的距离又如
何求呢？如P1(2，2，5)，P2(5，4，－1)，则P1P2＝？问题情境AxyO空间内两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝z数学建构空间两点间距离．例1．求空间两点P1(3，－2，5)，P2(6，0，－1)间的距离P1P2 ．数学应用1.求空间两点P1(2，2，5)，P2(5，4，－1)间的距离P1P2.数学应用2.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，试判断：
△ABC是否是等腰三角形？是否是直角三角形？3.已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，求: 到A、B两点距离相等的点P的坐
标满足的条件.4.空间中与点(3，1，－1)距离等于2的点的坐标满足的条件是_____． 例2. 点P(1，－3，2)关于点(2，2，3)的对称点P ?的坐标为________.数学应用例3．平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为x2＋y2＝1．
在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．数学应用平面直角坐标系下的F(x，y)＝0表示什么?2x－y+１＝0(x－1)2＋(y－2)2＝9空间直角坐标系下的F(x，y，z)＝0表示什么?x＝3y＝22x－y+１＝0(x－1)2＋(y－2)2＝9x＝3y＝22x－y+3z+１＝0(x－1)2＋(y－2)2+(z－3)2＝9数学建构空间曲面与方程．1.空间两点间的距离公式；2.空间内平面、曲面的方程；3.空间内直线的方程．小结课本122-123页习题2.3第2，4，5．作业
