1.2.1 平面的基本性质（2）
教学目标：
掌握平面的基本性质的三条推论及作用．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容是在上节中公理3的基础上进一步研究确定平面的条件，得出3条推论．对于推论的证明，是学生学习立体几何遇到的第一个需要论证的问题．教学时应注重分析证明的思路及论证的依据，并指出证明的过程，包括存在性与惟一性两部分．为学生运用符号语言证明几何问题提供示范，从而为后续学习打下基础．
教学重点：
平面性质的三条推论，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
教学难点：
平面性质的三条推论的掌握与运用.
教学方法：
实验、探究、发现．
教学过程：
一、问题情境
1．复习上节课学过的平面基本性质的两条公理及作用；
2．问题：公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定一个平面呢？
二、学生活动
学生回顾思考并讨论问题；
三、建构数学
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
图形语言：
符号表示：A，B，C不共线A，B，C确定一个平面．
思考1：如何理解公理3中的“有且只有一个”？
思考2：公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？（提供确定一个平面的依据）
推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
已知：直线l，点A
求证：过直线l和点A有且只有一个平面
分析：证明：（见教材第21页）
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
四、数学运用
1．例题.
例1 已知A l，B l，C l，Dl(如图所示)．
求证：直线AD，BD，CD共面.
变式练习：求证：两两相交且不共点的三条直线必在同一个平面内．
例2 如图，若直线l与四边形ABCD的三条边 AB，AD，CD分别交于点E，F，G．求证：四边形ABCD为平面四边形．
例3 已知a ，b ，a∩b＝A，P a，PQ∥b．求证：PQ ．
2．练习.
（1）判断下列命题是否正确．
①如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面.
②经过一点的两条直线确定一个平面．
③经过一点的三条直线确定一个平面．
④平面和平面交于不共线的三点A，B，C.
（2）空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下列结论成立的是______．
①四点中必有三点共线． ②四点中必有三点不共线．
③AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行．④直线AB与CD必相交．
（3）下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________．
（4）直线l1∥l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确定_____个平面．
（5）已知a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B，求证：a，b，l三条直线共面．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．公理3的三条推论及作用；
2．证明共面问题的方法及步骤．
α
B
A
C
α
B
C
A
l
α
α
A
B
C
D
l
l
C
D
A
B
G
F
E
B
A
b
a
l1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
教学目标：
1．能根据几何结构特征理解空间旋转体形成过程；
2．认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；
3．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系．
教材分析及教材内容的定位：
教材先让学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的生成规律，然后给出它们的定义，让学生初步理解“旋转体”的概念．教学中可结合实物模型或计算机演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程，引导学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；也可以类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征；类比圆的定义得出球面的定义．
教学重点：
让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台和球的概念．
教学难点：
难点是区分一个旋转体由哪些基本几何体构成．
教学方法：
观察、发现、探究．
教学过程：
一、问题情境
1．复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念．
小结：移——缩——截．
2．旋转会产生什么样的结果呢？
仔细观察下面的几何体，它们有什么共同特点或生成规律？
二、学生活动
通过观察、思考、交流、讨论得出结论．
三、建构数学
圆柱、圆锥、圆台的概念；
2．圆柱、圆锥、圆台的相关概念（轴、高、底面、母线）；
思考：圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（引导学生从概念的形成和结构特征来分析三者之间的关系）
3．球面及球的概念；
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体．
球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
4．球的相关概念（球心、球半径、球的表示）；
5．旋转面、旋转体的概念（引导学生总结）．
四、数学运用
1．例题．
例1 将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是有哪些简单的几何体构成的？
例2 以下几何体是由哪些简单几何体构成的？
例3 把一个圆锥截成一个圆台，已知圆台的上下底面半径是1∶4，母线长为 10 cm，求圆锥的母线长．
2．练习．
（1)①如图1将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
②如图2钝角三角形ABC绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
（图1） （图2）
（2）下列命题中的说法正确的有________
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．
⑤在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念；
2．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；
3．圆柱、圆锥、圆台和球的应用．
A
B
C
D
图2
图1
C
B
A
C
D
A
B1.3.1 空间几何体的表面积
教学目标：
1．了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图；
2．了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式；
3．会求一些简单几何体的表面积．
教材分析及教材内容的定位：
体现运动变化的思想，认识事物的辩证唯物主义观点，通过和谐、对称、规范的图形，给学生以美的享受．
教学重点：
多面体的平面展开图，求简单几何体的表面积．
教学难点：
多面体的平面展开图．
教学方法：
在表面积的推导过程中充分调动学生的积极性，提高学生分析问题解决问题的能力．
教学过程：
一、问题情境
多面体是由一些平面多边形围成的几何体．一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开得到平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．
二、学生活动
在下图中,哪些图形是空间图形的展开图
三、建构数学
1．棱柱．
直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．
2．棱锥．
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．
3．棱台．
正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台．
思考：
正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的联系与区别：
4．圆柱．
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系？
5．圆锥．
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系？
6．圆台．
把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系？
思考：
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间有什么联系与区别？
四、数学运用
1．例题．
例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0．85m，底面的边长是1．5m，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？（保留两位有效数字）
例2 边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到G点的最短距离是
例3 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到 0．1cm）
分析：可以把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何的问题．
2．练习．
（1）如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体
（2）用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个锥筒的高是多少
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；
2．理解数学的化归思想．
a
b
c
a
b
c
h
h
a
b
c
a
b
c
h
h
h'
h'
h'
h'
上底缩小
上底扩大
S柱侧=ch
A
F
E
C
D
B2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）
教学目标：
掌握利用斜率判定两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何问题
的思想；
2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思
维习惯．
教材分析及教材内容的定位：
解析几何研究的另一方面内容就是根据方程研究几何性质，本节课是初次接触这方面的内容，要让学生学会研究方程．
教学重点：
用斜率判定两直线平行的方法.
教学难点：
理解直线平行的解析刻画．
教学方法：
合作交流．
教学过程：
一、问题情境
1．复习回顾：(1)直线方程的形式与标准方程；(2)各类标准方程的局限性
2．本节课研究的问题是：如何利用直线的方程研究两条直线的位置关系，重点是平行．
二、学生活动
探究：两条直线平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？
如果倾斜程度相同，不妨设直线l1，l2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为α1，α2，对应的斜率分别为k1，k2．
因为倾斜程度相同，则倾斜角相等，即α1＝α2．根据倾斜角与斜率的关系，我们知道当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1＝tanα1，k2＝tanα2，于是有k1＝k2．此时，若两直线平行，则两直线的斜率相等．
反之，如果两直线（不共线）的斜率相等，即k1＝k2，根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角相等，从而说明它们互相平行．
三、建构数学
两条直线的平行．
一般地，设直线l1，l2（不共线，斜率存在）所对应的斜率分别为k1，k2，
则l1∥l2 k1＝k2．
说明：
（1）如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，从而l1∥l2；
（2）在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论．
（3）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A1，A2，B1，B2全不为零）平行，那么两直线平行的等价条件为：．
四、数学运用
例1 求证：顺次连结A（2，－3），B（5，），C（2，3），D（－4，4）四点所得的四边形是梯形．
例2 求过点A（2，－3），且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程．
变式练习：
1．求过点A(0，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程．
2．若直线l与直线2x+y－5＝0平行，并且在两坐标轴截距之和为6．求直线l的方程．
3．若直线l平行于直线2x＋y－5＝0，且与坐标轴围成的三角形面积为9，求直线l的方程．
例3 已知两条直线：(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8，m为何值时，两直线平行．
变式练习：
4．直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值．
五、要点归纳与方法小结
两条直线平行的等价条件是什么？
——斜率相等．2.1.1 直线的斜率
教学目标：
1．理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；
2．理解直线倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；
3．掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系；
4．使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线斜率的变化规律．
教材分析及教材内容的定位：
本节课是平面解析几何的入门课，应该让学生知道解析几何的本质；斜率和倾斜角是刻画直线的两个基本量，要让学生理解两个量的定义及两个量之间的关系，应该明确斜率的两种计算方法；要让学生体会斜率变化规律和直线变化规律的关系．
教学重点：
过两点的直线的斜率公式的运用．
教学难点：
斜率的引入及倾斜角与斜率之间的关系．
教学方法：
合作交流法．
教学过程：
一、问题情境
1．本章研究的问题是——对于基本的几何图形——直线与圆．
——如何建立它们的方程？
——如何通过方程来研究它们的性质？——位置关系（平行、相交、…）．
2．本节课研究的问题是：
——如何确定直线？——两个要素（两点、点与方向）——通过建立直角坐标系，点可以用坐标来表示．
——如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？
二、学生活动
1．探究1：在同一坐标系中作出下列函数的图象：
（1）y＝x＋1；
（2）y＝2x＋1；
（3）y＝－x＋1．
2．探究2：
上图为环法自行车赛某日路线图的一部分，OA，AB两段哪段路程更“陡峭”？为什么？用什么来刻画山坡的倾斜程度？怎样将“直观”量化？
三、建构数学
1．直线的斜率．
已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率（slope）为：
说明：
（1）如果x1＝x2，那么直线PQ⊥x轴，此时k不存在（斜率不存在）；
（2）k＝；
（3）对于一条（与x轴不垂直的）直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的．
2．直线的倾斜角．
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination），并规定：
与x轴平行或者重合的直线的倾斜角为0o．
说明：
（1）由定义可知，直线的倾斜角的取值范围是；
（2）与斜率比较，直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，其中所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率；
（3）通过研究发现：当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足k＝tan．
四、数学运用
例1 已知直线l1，l2，l3，l4都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3，l4分别经过点Q1(3，7)，Q2(－3，2)，Q3(－2，－1)，Q4(4，－2)，讨论l1，l2，l3，l4的斜率是否存在，如存在，求出直线的斜率．
例2 经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：
（1）； （2）； （3）0； （4）斜率不存
例3 根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线，并写出倾斜角：
（1）P(1，2)，k＝1； （2）P(－1，3)，k＝0；
（3）P(0，－2)，k＝； （4）P(1，2)，斜率不存在．
五、要点归纳与方法小结
1．如何确定直线？直线的方向（倾斜程度）用什么量来刻画？
——斜率是刻画直线方向（倾斜程度）的代数量，它可以由直线的方程直接地体现．
2．斜率的取值范围是什么？倾斜角的取值范围是什么？斜率与倾斜角有什么关系？
——斜率kR，倾斜角[0，π)，k＝tan，一般地，斜率k随着倾斜角的增大而增大，但是，[0，π)不是其单调区间（分隔成两个单调区间）．
A
B
900m
900m
800m
B
1
300m
A
1
B
1
B
1
B
1
A
1
A
1
O1.2.3 直线与平面的位置关系（2）
教学目标：
1．掌握直线与直线垂直的概念；了解点到平面的距离；直线到平面的距离；
2．掌握直线与平面垂直的判定定理；
3．能够初步运用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题．
教材分析及教材内容的定位：
垂直关系是历年高考的核心内容之一，空间的垂直有三种：线线垂直、线面垂直和面面垂直；线面垂直是联系线线垂直和面面垂直的桥梁，因而本节课是重中之重. 线面垂直判定定理运用的关键在于证明直线和平面内的两条相交直线垂直；对于线面垂直的定义，用它来证明线面垂直较为困难，而已知线面垂直时，根据定义可知这条直线垂直于这个平面内的所有直线，提供了一种证明线线垂直的方法，即要证明线线垂直，则需要证明线面垂直.线面垂直的性质定理则为证明线线平行提供了一种重要方法.
教学重点：
直线与平面垂直的概念、判定定理和性质定理；
教学难点：
直线与平面垂直的概念及判定定理的归纳和概括.
教学方法：
问题探究，自主发现式．
教学过程：
一、问题情境
1．复习：线面平行的定义，判定定理与性质定理
2．在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？
二、学生活动
1．圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直？为什么？思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？
2．平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.那么,在空间：(1)过一点有几条直线与已知平面垂直 (2)过一点有几个平面与已知直线垂直？
3．在长方体AC1中，棱BB1与底面ABCD 垂直．观察BB1与AB、BC 的位置关系，由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？
4. 如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
三、建构数学
1．直线与平面垂直的定义．
如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 记作：l⊥α．
直线l 叫做平面的垂线，
平面α叫做直线l 的垂面．
垂线l和平面α的交点称为垂足.
2．在空间：
(1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
3．直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
符号语言：
图形语言：
简记为：线线垂直线面垂直
4．点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足之间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．
5．直线与平面垂直的性质：
（1）定义：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线；
（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：a⊥α，b⊥αa∥b ；图形语言：
（用反证法证明）
6．直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
四、数学运用
1．例题.
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知：a⊥α，a∥b ；
求证：b⊥α .
例2 已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥AB，PA⊥AC，M，N分别是AB，PC的中点， (1)证明：BC⊥面PAB；(2)求证：MN⊥AB．
例3 已知直线l∥平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
2．练习.
（1）下列说法中正确的有 .
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直.
②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直.
③若A，B两点到平面α的距离相等，则直线AB∥α.
④已知直线a在平面α内，若l⊥α，则l⊥α.
⑤已知直线l和平面α，若l⊥α，则l和α相交.
（2）若AB的中点到平面α的距离为4cm，点A到平面α的距离为6cm，则点B到平面α的距离为_______cm．
（3）如图，已知PA⊥,PB⊥,垂足分别为A、B，且∩＝l, 求证：l⊥平面PAB．
（4）如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.
思考：能否构造出一个三棱锥A—BCD，使它的四个面均为直角三角形？
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．直线与平面垂直的定义；
2．直线与平面垂直的判定定理；
3. 直线与平面垂直的性质：
（1）定义：如果一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线；
（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
4. 证明线线垂直通常通过线面垂直来证明；而证明线面垂直则通过线线垂直来证明.
D1
C1
B
A
C
D
B1
A1
n
P
m
a
b
α
a
b
α
l
α
P
A
B
l
α
β
A
B
C
D1.2.2 空间两条直线的位置关系（1）
教学目标：
1．了解空间两条直线的位置关系；
2．理解并掌握公理4及等角定理；
3．初步培养学生空间想象能力，抽象概括能力，让学生初步了解将空间问题平面化是处理空间问题的基本策略.
教材分析及教材内容的定位：
本节课是研究空间线线位置关系的基础，异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理4是等角定理的基础，而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础，也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.
教学重点：
异面直线的定义，公理4及等角定理．
教学难点：
异面直线的定义，等角定理的证明，空间问题平面化思想的渗透.
教学方法：
启发引导学生概括空间两条直线的位置关系，类比平面几何中的结论学习公理4及等角定理．
教学过程：
一、问题情境
1．在平面几何中，两条直线的位置关系有哪些？观察教室中的墙角线、电棒等所在的直线，说说空间两条直线有哪些位置关系？
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，指出下列两条直线的位置关系：
（1）AB和AD； （2）AB和CD；
（3）AB和C1D1；（4）AB和B1C1；
3．在上图中，∠CAB的两边和∠C1A1B1的两边在位置上有何关系？这两角的大小呢？
二、学生活动
1．说出教室内墙角线所在的直线之间的位置关系，由此概括空间两条直线位置关系；
2．观察正方体中各棱所在的直线的位置关系，由此得出公理4；
3．由问题情境3，概括等角定理．
三、建构数学
1．引导学生描述异面直线的定义；
2．空间两条直线的位置关系有以下三种：
（1）相交直线：在同一个平面内，有且只有一个的两条直线；
（2）平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线；
（3）异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线；
从有无公共点的角度，可以将空间两条直线的位置关系分成：相交直线和不相交直线两类；
从是否共面的角度，可以将空间两条直线的位置关系分成：共面直线和不共面直线两类；
3．平行的传递性：
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示：
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
思考：如果将定理中“方向相同”这一条件去掉，结论会是怎样的呢？
四、数学运用
1．例题.
例1 如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1.
变式：如图E、F、G、H是平面四边形ABCD四边中点，四边形EFGH的形状是平行四边形吗？为什么？如果将ABCD沿着对角线BD折起就形成空间四边形ABCD，那么四边形EFGH的形状还是平行四边形吗？
例2 如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1，E分别为A1D1，AD的中点，求证：∠C1E1B1＝∠CEB．
2．练习.
（1）若两直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系________________．
（2）直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a和b的位置关系是_________．
（3）如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，∠AOB＝40o，则∠A1O1B1＝ ．
（4）如图已知AA1，BB1，CC1不共面，AA1 BB1，BB1 CC1，求证：△ABC≌△A1B1C1．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．异面直线的概念；
2．空间两条直线的位置关系；
3.公理4和等角定理；
4.公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间；等角定理是通过构造全等三角形来证明的，这个过程就是一个平面化的过程.
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
A
C
1
a∥b
b∥c
a∥c
A
B
C
D
B1
1
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
折叠
E1
E
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
1
∥
＝
∥
＝
A
C
B
A1
C1
B12.2.3 圆与圆的位置关系
教学目标：
1．理解圆与圆的位置关系；
2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距；
3．会用圆心距与两圆半径之间的大小关系判断两圆的位置关系．
教材分析及教材内容的定位：
本节教材是本单元的最后一节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变．通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育．所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在几何教学中都占有重要的地位．
教学重点：
两圆位置关系的判定．
教学难点：
通过两圆方程联立方程组的解来判断圆与圆的位置关系．
教学方法：
导学点拨法、电脑、投影．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：古希腊哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方吗？”芝诺风趣的打了一个比方：“如果有小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一些，但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多”请你谈谈其中的道理；
2．问题1：直线与圆的位置关系的几何特征是通过公共点来刻化的，请同学们猜想一下：圆与圆的位置关系按公共点分类能划分为哪几类？
问题2：圆与圆的位置关系有几种情况？
问题3：(师指出圆与圆的五种位置关系的名称之后提问)
你能给这五种位置关系分别下一个准确的定义吗？
二、学生活动
1．回顾知识点互相交流；
2．在教师引导下，阅读教科书；
3．利用类比方法，总结出判定圆与圆的位置关系的方法．
4．学生动手在同一个直角坐标系中画出两个圆，观察并思考用数学语言发表自己的解题方法
5．在教师的引导下总结判定两圆位置关系的方法—代数法与几何法
三、建构数学
1．引导学生自己总结给出判定圆与圆位置关系的步骤；
2．圆与圆之间有____，____，_____，____，_____五种位置关系．
3．判断圆与圆的位置关系有两种方法：
（1）几何方法：
两圆与
圆心距＝___________________________________________________,
两圆___________________________；
两圆___________________________；
两圆___________________；
两圆__________________________；
两圆_______________________；
时两圆为______________________________．
（2)代数方法：方程组
有两组不同实数解___________________________;
有两组相同实数解___________________________;
无实数解____________________________________．
4．两圆的公切线条数．
当两圆内切时有_______条公切线；当两圆外切时有________条公切线；相交时有________条公切线；相离时有_________条公切线；内含时_______公切线．
四、数学运用
1．例题．
例1 判断下列两圆的位置关系,并说明它们有几条公切线．
例2 求过点且与圆切于原点的圆的方程．
例3 已知圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0．
（1）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求公共弦AB所在直线的方程及公共弦的长；
（2）试求两圆的公切线方程．
2．练习．
（1）两圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为 ．
（2）若半径为1的动圆与圆x2＋y2＝4相切，则动圆圆心的坐标满足的关系是 ．
（3）圆x2＋y2＝1上动点A到圆(x－3)2＋(y－4)2＝1上动点B间距离的最大值和最小值分别为 ．
（4）若两圆x2＋y2＝9与x2＋y2－8x＋6y－8a－25＝0只有惟一的一个公共点，求实数a的值．
（5）求与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0相外切，与直线y＝0相切且半径为4的圆方程.
（6）已知⊙C1：x2＋y2＋6x－4＝0和⊙C2：x2＋y2＋6y－28＝0相交于A，B两点．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过A，B两点的圆C方程．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．圆与圆的五种位置关系；
2．圆与圆的位置关系的判定：
（1）几何方法；
（2）代数方法；
3．一个思想：数形结合思想方法．2.2.1 圆的方程（1）
教学目标：
1．理解建系解决轨迹方程的求法；
2．能根据已知条件求出圆的标准方程．
教材分析及教材内容的定位：
培养学生用坐标法研究几何问题的能力，增强学生用代数的方法解决几何问
题的意识．圆的方程研究是基础，为后续研究位置关系作下铺垫．在高考考点要求中是C级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容．
教学重点：
根据已知条件求出圆的标准方程．
教学难点：
运用几何法和待定系数法求圆的标准方程．
教学方法：
讨论学习法．
教学过程：
一、问题情境
情境问题：回忆初中学习圆的定义及圆当中一些重要定理，比如垂径定
理，并提出问题：如何建立圆的方程？
二、学生活动
1．回忆初中时学习有关圆的知识（学生可以进行口答，互相补充，活跃课
堂气氛，体现学生的主体地位）；
2．小组交流讨论如何求圆的方程：第一步，建立适当的直角坐标系；第二
步，设动点坐标为，第三步，利用定义，列出方程；第四步，化简方程得出圆的方程．
3．讨论归纳：总结出圆的标准方程（），并推广到一
般性的轨迹求法(建系，设点，列方程，化简)．
三、建构数学
1．引导学生回顾知识，对于垂径定理要突出介绍，对以后的解题有很大帮
助，为以后作铺垫；
2．推导圆的方程并总结步骤，在推导中明确指出解析法在解决几何问题中
的作用，充分体现平面解析几何的主旨，让学生形成一种意识，几何问题可以用计算来解决，而有些代数问题，又可以用图形来直观体现，让学生深刻体会数形结合思想的重要性；
3．运用圆的方程解决例题，例题主要是给出相关条件求圆的标准方程，在
解决这类问题时有两种思路：
（1）几何法，利用平面几何知识来确定圆心和半径；
（2）待定系数法，设圆的标准方程，通过已知建立方程组，解方程组．
四、数学运用
1．例题．
例1 求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程．
例2 已知两点A(6，9)和B(6，3)，求以AB为直径的圆的标准方程，并且
判断点M(9，6)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
例3 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行
驶，一辆宽为2. 7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
2．练习．求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；
（2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－3y＋5＝0上；
（3）过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y＝x－1被该圆所截得的
弦长为．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．圆的标准方程（），体会解析法的应用；
2．运用几何法，待定系数法求圆的标准方程；
3．渗透数形结合思想和方程思想．1.2.3 直线与平面的位置关系（4）
教学目标：
1. 系统理解掌握直线与平面的平行、垂直的判定和性质的应用；
2. 会比较熟练地运用有关结论完成证明；
3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力.
教学重点：
直线与平面的平行、垂直的判定．
教学难点：
线面平行、垂直的性质与判定的综合应用.
教学方法：
合作交流，启发式.
教学过程：
一、问题情境
1．复习：
（1）线面平行的定义、判定、性质；
（2）线面垂直的定义、判定、性质；
2．情境练习：
（1）在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的是 ．
（2）如图1，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有 个
二、典型例题
例1 如图2，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD．
例2 已知矩形ABCD中，过A点作SA⊥平面ABCD，再过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F，
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥平面SDC．
变式练习：如图4，在正方体AC1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN为直角，则∠C1MN ＝ ．
例3 已知∠BAC在平面α内，点P在α外，∠PAB ＝∠PAC．求证:点P在平面α内的射影在∠BAC的角平分线上．
变式练习：
1．在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，求证：PA＝PB＝PC．
2．在三棱锥P-ABC中，已知PA＝PB＝PC，O是底面△ABC的外心，求证：OP⊥底面ABC．
3．在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是O，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：O是△ABC的垂心．
4．在三棱锥P-ABC中，O是底面△ABC的垂心，OP⊥底面ABC．求证：PA⊥BC．
5．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任一点，求证：BC⊥平面PAC．
三、要点归纳与方法小结
1．线线平行线面平行；
2．线线垂直线面垂直线线垂直；
3．数学方法：转化、类比．
P
A
B
C
图1
P
A
B
C
D
M
N
图2
A
B
C
D
S
E
F
G
图3
M
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
图4
N
α
A
B
C
P
O
E
F
P
A
C
B
O
A
B
C
P
O1.2.2 空间两条直线的位置关系（2）
教学目标：
1．深化对异面直线定义的理解；
2．理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；
3．进一步体会空间问题平面化的解题策略．
教材分析及教材内容的定位：
两条直线异面是空间两条直线重要一种位置关系．异面直线所成的角反映了两条异面直线的相互倾斜程度．通过平移，我们将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角，公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证，等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础． 异面直线所成的角的定义不仅体现了空间问题平面化的解题策略，也给出了探求异面直线所成角的具体方法．另外，异面直线所成的角是空间角的重要一种，它的平面化的探求过程也为后面学习线面所成的角以及二面角提供了思想基础．
教学重点：
异面直线所成角的定义．
教学难点：
将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角．
教学方法：
合作探究法．
教学过程：
一、问题情境
1．操场上旗杆所在的直线和一条跑道所在的直线有何关系？是否存在一个平面同时经过这两条直线？
2．不同的异面直线间的相互倾斜程度也不同，怎样来刻画这种不同呢？
3． 如图在正方体中和对角线C1A异面的棱有哪几条？
二、学生活动
1．回忆空间两条直线的位置关系有哪些？什么叫异面直线？（进一步理解异面直线定义的实质）
2．每两位同学一组，把桌面作为平面α，一位同学持一支笔在桌面上移动表示平面内一条直线l，另一位同学持一支笔（表示另一条直线m）使其一端经过桌面上一点B，观察并思考什么情况下直线l和直线m是异面直线？（由此引导学生得出异面直线的判定定理）
3．借助合作构建异面直线的模型，思考如何刻画异面直线间的相互倾斜程度？平面内两条直线的相互倾斜程度是用什么来刻画的？（由此导出异面直线所成角的定义）
4．利用异面直线的模型，思考如何将空间角转化成平面角？如何平移两条异面直线成为相交直线？（由此得出探求异面直线所成角的一般步骤）
三、建构数学
1．异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
2．异面直线的直观图画法：通常把一条直线画在一个平面内，另一条直线在平面外（如下图所示）．
3．异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
符号表示：若l，A，B，Bl，则直线AB与l是异面直线．
（可以引导学生用反证法给予证明）
4．两条异面直线所成的角的定义：如下图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′，则这两条直线a′和 b′所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角．
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直．
异面直线a与b垂直也记作a⊥b．
异面直线所成角θ的取值范围： ．
四、数学运用
1．例题．
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）求直线A1A与直线CB所成的角的度数；
（2）求直线A1B与直线C1C所成的角的度数；
（3）求直线A1B与直线B1C所成的角的度数．
例2 空间四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD，AC的中点，
（1）若BC＝AD＝2EF，求直线EF与AD所成角的大小．
（2）若AB＝8，CD＝6，EF＝5，求AB与CD所成角的大小．
2．练习．
（1）指出下列命题是否正确，并说明理由．
①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线．
②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．
③若a∥b，c⊥a则b⊥c．
④若c⊥a，b⊥c则a∥b．
⑤分别与两条异面直线a，b都相交的两条直线c，d一定异面．
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1所成角为60的面对角线有 条．
（3）已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点，N，Q分别在b，c上 ．求证：MN，PQ异面．
（4）如图在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
②若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；
③当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．异面直线的判定定理；
2．异面直线所成角的定义；
3． 通过平移将异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角去求，平移的方法主要有：构造中位线，构造平行四边形或成比例线段等等．
D1
B1
A1
C1
D
A
B
C
A
1
α
A
l
B
α
m
l
β
α
b
a
O
a′
b′
a′
θ
O
α
b
a
C
1
1
D1
B1
A1
C1
D
A
B
C
B
C
D
A
E
F
N
a
c
b
O
M
Q
P
A
B
F
C
D
H
E
G2.3.2 空间两点间的距离
教学目标：
1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式；
2．理解推导公式的方法；
3．通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．
教材分析及教材内容的定位：
本节是在学习了空间直角坐标系的基础上来研究空间两点间的距离问题，是空间直角坐标系的加深与拓宽，进一步让学生体会用坐标法来解决问题的思想．
教学重点：
空间两点间的距离公式．
教学难点：
空间两点间的距离公式的推导．
教学方法：
启发、点拨式教学法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：一间房子长5米，宽3米，高3米，一根长7米的木棒能放进去吗？
2．问题：
（1）平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直接坐标系中去吗？
（2）你能根据平面直角坐标系中两点之间距离公式：
|AB|＝，猜想空间直角坐标系两点之间的距离公式吗？
二、学生活动
1．思考教师提出的问题；
2．在教师的指导下动手推导得出|OP|＝；
3．动手做例题、习题；
4．总结解题方法；归纳本节课所学内容．
三、建构数学
1．空间中任间一点P(x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？
引导学生用勾股定理来完成．
学生：在教师的指导下作答得出|OP|＝．
2．如果是空间中任间一点P1(x1，y1，z1)到点P2(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？3．空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离的公式|P1P2|=
四、数学运用
1．例题．
（1）求空间两点间的距离．
解 利用两点间距离公式，得
=．
（2）平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
解 与坐标原点的距离为1的点的轨迹是一个球面，满足，即．因此，就是所求的球面方程．
（3）已知三点、、，证明：三点在同一直线上．
分析：只要证明即可．
2．练习．
（1）先在空间直角坐标系中标出A，B两点，再求它们之间的距离：
①A(2，3，5)，B(3，1，4)；
②A(6，0，1)，B(3，5，7)
（2）在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，－3，1)的距离相等．
（3）求证：以A(10，－1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形．
（4）如图，正方体OABD–DA′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|．求MN的长．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．空间两点间距离公式的推导、应用；
2．进一步学会用类比、猜想、从特殊到一般的思想解决问题．
o
z
x
y
P(x,y,z)
B(x,y,0)
N
P2
P1
M2
M1
M
y
z
x
N
M
D＇
C＇
B＇
A＇
C
B
O
A
z
y
x1.1.4 直观图画法
教学目标：
掌握斜二侧画法的规则，并且会用它来画一些简单的空间几何体的直观图．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先简单介绍了中心投影的有关水平线及平行线的一些特征．进而重点介绍如何采用斜投影来画空间图形的直观图即斜二测画法．
教学重点：
使学生掌握空间几何体的直观图画法，能由直观图想象出其对应的几何体，并能由几何体的三视图画出其直观图．
教学难点：
绘制空间几何体的直观图时，如何选择恰当的坐标系．
教学方法：
动手实践、阅读自学．
教学过程：
一、问题情境
1．观察教材中的有关直观图；
2．正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛运用．但三视图的直观性较差．如何把立体图形画在纸上？
二、学生活动
观察图形思考应怎么画图，才能体现图形的立体感．
三、建构数学
1．平面图形水平放置图，即直观图．
2． 斜二测画法．
四、数学运用
1．例题．
例1 画水平放置的正三角形的直观图．
变式练习：水平放置的正六边形的直观图．
例2 画棱长为2cm的正方体的直观图．
引导学生总结斜二测画法规则：
（1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°；
（2）画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴,它们交于O，并使∠xOy＝45° (或135°)，∠xOz＝90，x轴和y轴所确定的平面表示水平面．
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段（即平行性不变）．
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半（即横不变纵折半）．
变式：①画长宽高分别为4cm，3cm，2cm的长方体的直观图．
②用斜二测画法画水平放置的圆的直观图．
2．练习．
（1）下列关于用斜二测画法画直观图的说法正确的有____________．
①用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形；
②几何体的直观图的长宽高与几何体的长宽高的比例相同；
③水平放置的矩形的直观图是平行四边形；
④水平放置的圆的直观图是椭圆．
（2）判断：
①水平放置的正方形的直观图可能是梯形；
②两条相交直线的直观图可能是平行直线；
③互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直；
④正方形的直观图可能是平行四边形；
⑤梯形的直观图可能是平行四边形．
（3）如图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔABC，其中AB∥y轴，BC∥x轴，若ΔABC的面积是3，则ΔABC的面积是______
（4）如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是多少？
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．斜二测画法的规则；
2．几何体直观图的画法．
x
y
O
A
B
C2.1.6 点到直线的距离
教学目标：
1．理解点到直线的距离的推导方法；
2．掌握点到直线的距离公式；
3．运用点到直线的距离公式解决实际问题．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容研究点到直线的距离公式的推导和应用，推导公式的过程渗透了化归的思想，培养学生勇于探索，勇于创新的精神．
教学重点：
点到直线的距离公式及其应用．
教学难点：
点到直线的距离公式的推导过程．
教学方法：
探索学习法．
教学过程：
一、问题情境
前一节课我们判断了以A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)为顶点的四边形ABCD是平行四边形，它的面积是多少呢？
二、学生活动
1．尝试求解:
学生1：求出边AB所在直线，并求出过点D(2，4)且垂直于边AB所在直线
的直线方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果；
学生2: 求出边AD所在直线，并求出过点B(3，－2)且垂直于AD边的直线
方程，联立方程组求出垂足坐标，代入两点间距离公式得到结果；
2．小组交流讨论一般性的解法(想法同以上两学生的描述)，探求求点到直线的一般解法；
3．归纳：点到直线的距离公式：．
三、建构数学
1．点到直线的距离公式：；
证明方法：（1）定义法；
（2）面积法；
（3）其他方法，如函数法等
2．平行线之间的距离公式
，则．
四、数学运用
1．例题．
例1 求点P(－1，2)到下列直线的距离：
（1）2x＋y－10＝0； （2）3x＝2．
变式练习：若点(a，2)到直线3x－4y－2＝0的距离等于4，求a的值．
例2 求两条平行线x＋3y－4＝0和2x＋6y－9＝0的距离．
例3 建立适当的坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高．
2．练习．
（1）点到直线的距离为______．
（2）和互相平行，则它们的距离是________．
（3）点在直线上，且点到直线的距离是，
则点的坐标是_________________．
（4）直线过点，直线过点，且两条直线平行，用表示两条
平行线之间的距离，则的取值范围是_____________．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．点到直线的距离公式；
2．点到直线的距离公式的应用；
3．数形结合思想的使用．1.2.4 平面与平面的位置关系（1）
教学目标：
1．了解两个平面的两种位置关系：相交和平行；
2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，并能灵活应用；
3．在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间两个平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．
教材分析及教材内容的定位：
空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透．因此本节课具有承上启下的作用．
教学重点：
两个平面平行的判定定理及性质定理．
教学难点：
两个平面平行的判定定理及性质定理的灵活应用．
教学方法：
通过直观观察，猜想，研究面面平行的判定和性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力．
教学过程：
一、问题情境
前面我们研究了空间直线与直线、直线与平面的位置关系，其间也常常
涉及两个平面的位置关系．
两个平面之间有哪些关系呢？如何判定？
二、学生活动
利用手中的两本书作为两个平面，探究两个平面的位置关系．
观察教室的四个平面间的关系，得到两个平面的位置关系，思考问题．
三、建构数学
1．面面平行的定义：
如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．
如果两个平面有一个公共点，由公理2可知，那么它们相交于经过这个点的一条直线，此时我们说两平面相交．
2．两平面的位置关系有以下两种：
（1）相交：两平面有一条公共直线
平行：两平面没有公共点
3．两平面平行的判定定理：
工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中
央，就能判断桌面是水平的，你能解释其中的奥秘吗？
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
符号语言：
图形语言：
简记为：线面平行面面平行
4．两平面平行的性质定理：
如果两个平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行．
已知：
求证：
证明：因为∥，所以与没有公共点，
因而交线a，b也没有公共点，
又因为a，b都在平面γ内，
所以a∥b．
四、数学运用
1．例题．
例1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证:平面BC1D∥平面AB1D1．
分析：可考虑证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行．
例2 已知：∥，∥．求证：∥．
例3 求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
已知：∥，l⊥，求证：l⊥．
分析：要证l⊥，只要证明l垂直与平面内的任意一条直线或某两条相交直线．
变式：求证：垂直于同一条直线的两个平面平行．
练习：
1．下列条件中，能判断两个平面平行的是
（1）一个平面内的一条直线平行于另一个平面
（2）一个平面内的两条直线平行于另一个平面
（3）一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
（4）一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别为棱AA1，A1B1，A1D1与BC，CC1，CD中点．
（1）求证：平面EFG∥平面MNQ；（2）求平面EFG与平面MNQ间的距离．
3．如图，平面∥，A，C，B，D，且AB，CD不共面，E，F分别是线段AB，CD的中点，求证：EF∥．
分析：只要找一个过EF的平面，使得，
或在内找一条与EF平行的直线
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．空间两平面的位置关系（相交、平行）；
2．两个平面平行的判定定理（线面平行面面平行）；
3．两个平面平行的性质定理（面面平行线线平行）；
4．两个平行平面的公垂线的概念，公垂线段的概念以及两个平行平面间的距离；
5．理解数学的化归思想．
A
a
b
D
A
B
C
A1
D1
C1
B1
A
C
B
D
E
F1.2.4 平面与平面的位置关系（2）
教学目标：
1．理解和掌握二面角及二面角的平面角；
2．理解和掌握直二面角的概念；
3．会求二面角的大小；
4．理解和掌握面面垂直的判定和性质定理．
教材分析及教材内容的定位：
空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透．因此本节课具有承上启下的作用．
教学重点：
二面角及二面角的平面角的概念及求法．面面垂直的判定和性质定理．
教学难点：
如何度量二面角的大小．
教学方法：
通过直观观察，猜想，研究面面垂直的判定和性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力．
教学过程：
一、问题情境
1．复面平行的定义、判定、性质；
2．复行平面间的距离；
3．情境问题：两平面相交也是生产和生活中常见的现象，如发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面和地球赤道平面形成一定的角度．笔记本电脑使用时，也需要展开一定的角度等等，那么我们如何来刻画这种两个平面所成的“角”呢？
二、学生活动
自由发言，通过回忆（异面直线所成的角，直线和平面所成的角），思考
类比．
三、建构数学
1．二面角：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．
二面角的表示：—l—．
2．二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
二面角的平面角的三个特征：1．点在棱上；2．线在面内；3．与棱垂直．
二面角的平面角的范围： （平面角是直角的二面角叫作直二面角）
二面角的平面角的作法：1．定义法；2．作垂面．
3．两平面垂直定义
一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．记作：．
为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
如何判断两个平面垂直？
4．两平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．
符号语言： 图形语言：
简记为：线面垂直面面垂直
四、数学运用
1．例题．
例1 如图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求二面角D1-AB-D的大小；
（2）求二面角A1-AB-D的大小．
例2 如图，将等腰直角△ABC沿中线AD折成二面角B－AD－C，使
BC＝AB，求二面角B－AD－C的大小．
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1C1CA⊥平面B1D1DB．
分析：根据两个平面垂直的判定定理，要证平面
A1C1CA⊥平面B1D1DB，只需在其中的一个平面内找一条
直线垂直于另一个平面即可．
练习：
1．判断下列说法是否正确：
（1）过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面平行；
（2）过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面垂直；
（3）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；
（4）两平面垂直，其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．
2．判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）若⊥，⊥，则∥．
（2）若⊥，⊥，则⊥．
（3）若∥1，∥1，⊥，则1⊥1．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．判断两平面垂直的方法有哪些？
（1）定义：两平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理：线面垂直面面垂直；
2．解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系；
3．理解数学的化归思想．
l
l
A
A1
B
C
D
B1
D1
C1
A
B
C
D
A
B
C
D
A
A1
B
C
D
B1
D1
C11.2.3 直线与平面的位置关系（1）
教学目标：
1． 了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；
2． 掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；
3． 在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．
教材分析及教材内容的定位：
直线与平面的位置关系是高考重点考查内容之一，解决问题的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与平面．通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的思想，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．
本节课的主要内容是直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究与发现、概括与证明、练习与应用．欲证线面平行，需转化为线线平行，故线面平行判定是线线平行判定的上位知识，需要认真复习初中平几中线线平行的有关内容；而已知线面平行时需要构造辅助平面与已知平面相交，则得出线线平行．线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用．学习这些内容是培养学生的数学表述与交流能力（用集合符号语言进行数学表达与交流），直感思维与逻辑思维，推理论证能力及空间想象能力等的重要载体．线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合、化归与转化思想．
教学重点：
直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理以及性质定理．
教学难点：
直线和平面平行的判定定理以及性质定理的正确运用．
教学方法：
探究发现式、合作讨论式．
教学过程：
一、问题情境
1．复习异面直线的定义；
2．思考并回答问题：异面直线是说两条直线不同在任一平面内，即a与b是异面直线，若a，则b．从这句话可知，直线与平面有哪几种位置关系？
二、学生活动
1．观察教室，概括空间直线和平面的三种位置关系；
2．观察长方体ABCD-A1B1C1D1，说出棱AB所在的直线与长方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由；
3．总结、概括空间直线和平面的三种位置关系的定义．
三、建构数学
1．直线与平面的位置关系．
位置关系 直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行
公共点
符号表示
图形表示
直线a与平面α相交和平行的情况统称为 直线在平面外,记作
2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
符号语言： 图形语言：
简记为：线线平行线面平行
注意：要证明线面平行关键在于在平面内找到一条线与已知直线平行；
3．直线和平面平行的性质定理．
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
符号语言： 图形语言:
简记为：线面平行线线平行
注意：线面平行性质定理的运用关键在于过平面外的直线构造辅助平面与已知平面相交，则有已知直线与交线平行；
四、数学运用
1．例题．
例1 如图，已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD．
解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法？
反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；线线平行线面平行；
反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”；
反思3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理．
例2 如图是一四面体ABCD，用平行于一组对棱AC、BD的平面截此四面体得截面PQMN，求证：四边形PQMN是平行四边形．
2．练习．
（1）如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是 ．
（2）过平面外一点，与这个平面平行的直线有 条．
（3）P是两条异面直线a、b外一点，过点P可作 个平面与a、b都平行．
（4）如图所示，P是ABCD所在平面外一点，E,F分别在PA，BD上，且PE∶EA=BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．线面平行的判定定理：线线平行线面平行；
2．线面平行的性质定理：线面平行线线平行；
3．线面平行判定定理在使用时通常要在平面内找到一条线与已知直线平行；而线面平行的性质定理在使用时则需要构造辅助面找到交线，从而得到线线平行．
B
B1
A
D
C
D1
C1
A1
α
a
α
a
A
a
α
a
b
α
α
m
β
l
A
D
B
C
E
F
C
B
A
D
M
N
Q
P
P
F
E
D
C
B
A1.3.2 空间几何体的体积
教学目标：
1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；
2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；
3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．
教材分析及教材内容的定位：
通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．
教学重点：
柱、锥、台的体积计算公式及其应用．
教学难点：
运用公式解决有关体积计算问题．
教学方法：
通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．
教学过程：
一、问题情境
类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝abc或V长方体＝Sh
（这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．）
二、学生活动
阅读课本P65“祖暅原理”．
思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？
三、建构数学
1．柱体的体积．
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．
V柱体= sh
2．锥体的体积．
类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．
3．台体的体积．
上下底面积分别是S’，S，高是h，则
柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？
4．球的体积．
一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．
，所以．
四、数学运用
例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm3）六角螺帽共重6kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？
分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．
解：，
所以螺帽的个数为
（个）
答：这堆螺帽大约有260个．
例2 圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为，求．
分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．
解：
．
例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm，高度为5 cm，该西瓜体积大约有多大
练习：
1．直三棱柱ABC-A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A－A′BD的体积是多少？
2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍；
3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容
1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；
2．球的表面积和体积公式．1.2.3 直线与平面的位置关系（3）
教学目标：
1. 掌握平面的斜线及其在平面上的射影、直线和平面所成角等有关概念；
2. 掌握求直线和平面所成角的方法；
3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力.
教材分析及教材内容的定位：
直线和平面所成的角是继学习异面直线所成角后的又一个空间角，及后面将学习的二面角都是立体几何的重要概念，它们均需化归为相交直线来求.复习异面直线所成的角有利于学生进行对比和联系，掌握线面所成的角同时也为后继学习作好铺垫.平面外的直线和其在平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线夹角中的最小值、平面外的直线和其在平面内的射影的夹角的大小仅取决于直线和平面的位置说明了直线和平面夹角概念的合理性，教学中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念.
应用概念求解直线和平面夹角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，方法上需强调解题步骤,在思想上要注意平面化思想，以及转化与化归思想的渗透.
教学重点：
线面夹角的概念及求法．
教学难点：
找到直线和平面所成的角.
教学方法：
合作交流，启发式.
教学过程：
一、问题情境
1．问题：观察如图（1）所示的长方体ABCD－A1B1C1D1
（1）直线AA1和平面ABCD是什么关系
（2）直线A1B，A1C，A1D和平面ABCD是否垂直
（3）直线A1B，A1C，A1D与点B，C，D它们又如何命名呢？
二、学生活动
1．举出生活中直线和平面不垂直的例子；
2．回忆：我们是如何求异面直线所成的角的呢？
3．思考：怎样来刻画直线和平面的不同的倾斜程度呢？
三、建构数学
1．斜线：一条直线与平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.
2．斜线在平面内的射影：过平面外一点向平面引斜线和垂线，过斜足和垂足的直线就是斜线在平面内的正投影，简称射影.
3．平面的斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角.
说明:
（1）若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90；
（2）若直线和平面平行或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0；
（3） 斜线和平面所成角的取值范围为（0，90）；
直线和平面所成角θ的取值范围为[0，90]；
（4）直线PQ与平面α所成的角∠PQP1是PQ与平面α内经过点Q的直线所成的所有角中最小的角.
四、数学运用
1．例题.
例1 在正方体ABCD- A1B1C1D1中,求:
（1）直线A1B和平面ABCD所成的角；
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
例2 如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a α，a⊥BC，求证：a⊥AB．
变式：
求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直．
例3 已知∠BAC在平面α内，点P在α外，∠PAB ＝∠PAC．求证:点P在平面α内的射影在∠BAC的角平分线上．
2．练习.
（1）两条平行直线在平面内的射影可能是：①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 ．
（2）设斜线与平面所成角为θ，斜线长为l，则它在平面内的射影长是 ．
（3）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面所成的角是 .
（4）如图所示，已知正△ABC的边长为6cm，点O到△ABC的各顶点的距离都是4cm．
①求点O到这个三角形所在平面的距离；
②求AO与底面ABC所成的角的大小．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
（1）直线和平面所成的角；
（2）直线和平面所成角θ的取值范围为0≤θ≤90；
（3）求斜线和平面所成角的步骤：①作出（或找到）斜线与平面所成的角；②证明且指出所作出的角符合定义；③放在直角三角形中计算．简称为：一作、二证、三计算．
A
B
C
D
1
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
P
Q
P
P1
α
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
a
C
B
A
α
α
A
B
C
P
O
E
F
O
A
C
B2.1.4 两条直线的交点
1．掌握两直线交点的求法；
2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容研究相交情形下两直线交点的求解，以及用方程组的解，判定两条直线的位置关系，充分体现数形结合思想，内容比较基础，但所体现的思想比较重要．
教学重点：
判定两条直线是否相交，求交点坐标．
教学难点：
两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系．
教学过程：
一、问题情境
1．复习回顾：如何判定两条直线的平行或垂直？
2．情境问题：直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？——垂直——垂足的坐标能否求出？如何求？
二、学生活动
1．思考并回答：
（1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？
（2）已知l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？
A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)
（3）由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？
（4）请试着总结求两条直线交点的一般方法.
2．总结归纳：求两条直线的交点就是求解联立的方程组；
3．讨论总结：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系（若有一组，则两条直线相交；若无解，则两条直线平行；若有无数多组，则两条直线重合）．也可以直接通过两条直线的斜率来判断位置关系：若斜率不等，则两条直线相交，若斜率相等，且直线不重合，则两条直线平行讨论如何判断两条直线的关系；
三、建构数学
1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解；
2．指导讨论总结两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系；
3．归纳总结解题过程中的运用的思想方法（数形结合）．
四、数学运用
1．例题．
例1 分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，判断它们的位置关系．如相交，求出它们的交点：
（1）l1：2x－y＝7， l2：3x＋2y－7＝0；
（2）l1：2x－6y＋4＝0， l2：4x－12y＋8＝0；
（3）l1：4x＋2y＋4＝0， l2：y＝－2x＋3
例2 已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围．
例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．
例4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20．
当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量．
（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？
2．练习．
（1）经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________
（2）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．
（3）求证：不论取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
（4）在例4中，若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．两直线交点的求法；
2．二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系；
3．交点系方程的应用；
4．数形结合思想的应用．2.1.2 直线的方程（3）
教学目标：
1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；
2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；
3．掌握点斜式、两点式是一般式的特殊情况．
教材分析及教材内容的定位：
一般式方程是几种形式的化归与统一，要能够理解直线与方程的对应关系．
教学重点：
直线一般式的应用及与其他四种形式的互化．
教学难点：
理解直线方程的一般式的含义．
教学方法：
自主探究．
教学过程：
一、问题情境
1．复习回顾：（1）直线方程的形式与标准方程；（2）各类标准方程的局限性．
2．本节课研究的问题是：如何回避直线标准方程的局限性而表示所有类型的直线方程？
二、学生活动
探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x，y的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程是否都表示直线？
（1）平面直角坐标系中，若α为直线l的倾斜角，那么
当α≠90时，l：y＝kx＋b即kx－y＋b＝0；
当α＝90时，l：x＝x0即x＋0y－x0＝0；
即它们都可变形为Ax＋By＋C＝0的形式，且A，B不同时为0，从而直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．
（2）关于x，y的二元一次方程的一般形式为Ax＋By＋C＝0，（A，B不同时为0）
当B≠0时，方程，表示斜率为，在y轴上的截距为的直线；特别地，当A＝0时，表示垂直于y轴的直线；
当B＝0时，由A≠0，方程，表示与x轴垂直的直线．
从而每一个二元一次方程都表示一条直线．
三、建构数学
一般地，方程叫做直线的一般式方程．
说明：
（1）平面上的直线与二元一次方程是一一对应的；
（2）前面的四种形式都是一般式方程的特殊情况．
四、数学运用
例1 求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图．
例2 设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l在x轴上的截距是－3；
（2）直线l的斜率是1．
练习：
1．若AC＜0，BC＞0，那么直线Ax＋By＋C＝0必不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．设直线的方程为当取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？
3．设直线的方程为 (m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l在x轴上的截距是－3；
（2）直线l的斜率是1．
4．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(1，2)，求过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程．
五、要点归纳与方法小结
满足什么样条件的方程是直线方程，反过来，直线方程一般具有什么形式？
——二元一次方程．2.1.5 平面上两点间的距离
教学目标：
1．理解两点间的距离公式的推导方法；
2．运用两点间的距离公式解决实际问题．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容研究两点间的距离公式的推导和应用，让学生体验推导过程，体会数形结合的优越性，进一步感受数形结合的魅力．在解题中渗透函数和方程思想，是本节内容的关键．
教学重点：
两点间的距离公式．
教学难点：
运用解析法证明平面几何问题．
教学方法：
研究学习法．
教学过程：
一、问题情境
情境问题：已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，四边形ABCD是否为平行四边形？
二、学生活动
1．回顾初中判定四边形为平行四边形的方法，分别尝试用对边平行、对边相等、对角线互相平分进行判断；
2．小组交流讨论(构造直角三角形，利用勾股定理求解)：让学生感受从初中所学数轴上两点间的距离求法到两点间的距离求法之间的联系；
3．讨论归纳：总结出两点间的距离公式（）．
三、建构数学
1．由学生回忆初中知识并小组研讨提出的问题（考察学生的转化能力和对已有知识的使用和实践能力）；
2．指导总结两点间的距离公式，并从形式上分析记忆公式；
3．运用两点间的距离公式解决实际问题，在解题中遇到的方程思想和函数思想及时进行总结，时刻渗透各种数学思想．
四、数学运用
1．例题．
例1 （1）求(－1，3)，(2，5)两点间的距离；
（2）若(0，10)，(a，－5)两点间的距离是，求实数a的值．
例2 已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)， C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程．
例3 已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标系，证明：AM＝BC．
2．练习．
（1）已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________
（2）若x轴上的点M到原点及到点(5，－3)的距离相等，则M的坐标为______
（3）已知点，在轴上求一点，使．
（4）已知平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(1，2)，B(－1，3)，
C(－3，－1)，求第四个顶点D 的坐标．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．两点间的距离公式；
2．两点间的距离公式的应用（方程思想在解题中的应用）；
3．数形结合思想的使用．1.2.4 平面与平面的位置关系（3）
教学目标：
1．进一步理解和掌握两平面垂直的定义与判定；
2．理解掌握两平面垂直的性质，并能运用性质定理与判定定理解题．
教材分析及教材内容的定位：
两平面垂直是生产、生活中常见问题，应要求学生能熟练地证明有关问题．
教学重点：
面面垂直的性质定理．
教学难点：
面面垂直的性质定理与判定定理的综合应用．
教学方法：
类比，猜想，验证．
教学过程：
一、问题情境
1．复习二面角的定义；
2．复面垂直的定义、判定定理．
3．情境问题：如果两平面垂直，那么其中一个平面内的任一点在另一个平面内的射影的位置有什么特殊性吗？
二、学生活动
画图探究，类比思考．
三、建构数学
1． 两平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号语言： 图形语言：
简记为：面面垂直线面垂直
四、数学运用
1．例题．
例1 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
已知：⊥，A，AB⊥．
求证：AB．
例2 四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E是PC的中点，
求证：平面EDB⊥平面PBC．
2．练习．
（1）如图，在三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90，AB⊥面BCD，
求证：平面ABC⊥平面ACD．
变式：如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，请写出图中与平面PAB垂直的所有平面．
（2）S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
求证：AB⊥BC．
（3）如图，P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90，且PA＝PB＝PC．求证：平面PAC⊥平面ABC．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．面面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直
2．已知面面垂直，如何找一个面的垂线？
3．解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系；
4．理解数学的化归思想．
l
a
A
P
E
C
D
A
B
A
B
C
D
P
A
B
C
D
S
C
B
A
P
A
B
C1.1.1 棱柱、棱锥和棱台
教学目标：
1. 了解棱柱、棱锥、棱台的概念；
2. 认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
3. 能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容教材借助实物模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，引导学生认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学中，要从整体到局部、从具体到抽象，充分通过直观感知、操作确认，多角度、多层次地揭示空间图形的本质，突出几何体的本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力．倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会比较、化归、分析等一般科学方法的运用．
教学重点：
棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法．
教学难点：
棱柱、棱锥和棱台几何特征的应用.
教学方法：
探究、发现．
教学过程：
一、问题情境
问题1．我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？
问题2．观察下列几何体，它们有什么共同特点：
问题3．上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得？
二、学生活动
1．通过观察，说出这些几何体的各自特征．
2．说出这些几何体的共同特征，并分别指出它们分别由怎样的平面图形，
按什么方向平移而得．
三、建构数学
(一)棱柱的概念
1．引导学生得出棱柱定义；
2．介绍棱柱的元素（底面、侧面、侧棱、顶点）；
3．棱柱的表示及分类；
4．引导学生归纳棱柱的特点．
（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；
（2）两个底面是全等的多边形；
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
问题4．棱柱的底面收缩为一个点时,可得到怎样的几何体？
问题5．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个怎样的几何体？
(二)棱锥的概念
1．棱锥定义；
2．棱锥的元素；
3．棱锥的表示；
4．棱锥的特点： ① 底面是多边形； ② 侧面是有一个公共顶点的三角形．
(三)棱台的概念
1．棱台定义；
2．棱台的表示；
3．棱台的特点： ① 上下底面平行，对应边成比例；②侧棱延长后交于一点．
思考：如图所示的几何体是不是棱台？为什么？
（四）多面体的概念
棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体．
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体
多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体
思考：多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？
四、数学运用
1．例题.
例1 画一个三棱柱和一个三棱台.
2．练习.
（1）三棱柱、六棱柱分别可以看成是由什么多边形平移形成的几何体？
（2）棱柱的侧面是___________形，棱锥的侧面是__________形，棱台的侧面是________形．
（3）四棱柱的底面和侧面共有_______个，四棱柱有______条侧棱．
（4）下列说法正确的有_____________
①用平行于底面的平面截棱柱所得的多边形与棱柱的两底面全等;
②棱柱的两底面平行其余各面都是平行四边形;
③有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;
④棱锥只有一个面可能是多边形其余各面都是三角形;
⑤有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥.
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1. 棱柱、棱锥、棱台的概念；
2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
3. 棱柱、棱锥、棱台的画法．1.1.3 中心投影和平行投影
教学目标：
1.了解中心投影和平行投影的概念；
2.了解画立体图形三视图的原理，并能画简单几何图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别三视图所表示的立体模型.
教材分析及教材内容的定位：
教材以生活中的实例为背景，引出投影、中心投影和平行投影的概念．对于中心投影，学生只需了解它的定义即可，不必讨论其画法．教材以平行投影为基础，介绍了三视图的定义及画法，有利于学生空间想象能力的培养，加深了学生对义务教育阶段有关三视图内容的理解，有利于培养学生作图、识图和运用图形语言进行交流的能力．
教学重点：
重点：画出简单组合体的三视图．
教学难点：
空间几何体与其三视图的相互转化.
教学方法：
实践、探究．
教学过程：
一、问题情境
（多媒体播放手影表演、皮影戏的动画，组织学生欣赏）
提问：这些形象逼真的图形是怎样形成的呢？它们形成的原理又是什么呢？这些原理还有哪些重要用途呢？
二、学生活动
根据教师的引导观察、思考问题．
三、建构数学
1．投影的概念（配以多媒体动画，让学生观察、思考，概括出相应定义）．
投影：光线投射线通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法．
中心投影：投射线交于一点的投影称为中心投影．
平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．分为斜投影与正投影．
练习：判断下列命题是否正确．
①直线的平行投影一定为直线．
②一个圆在平面上的平行投影可以是圆或椭圆或线段．
③矩形的平行投影一定是矩形．
④两条相交直线的平行投影可以平行．
2.中心投影和平行投影的区别和用途．
中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，主要运用于绘画领域.平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征.因此更多应用于工程制图或技术图样.
3.空间图形的三视图．
（1）三视图概念．
视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.光线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图.光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图.光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图.
（2）三视图画法规则．
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐．
长对正：主视图与俯视图的长应对正．
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等．
四、数学运用
1．例题.
例1 画出所给圆柱体（图1，设所给方向为正前方）的三视图．
变式：画出图2所示几何体的三视图（方向与图1相同）．
练习：画出正三棱锥(图3，设所给方向为正前方)的三视图.
例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图(单位：cm)
正前方
例3 根据下列三视图，说出立体图形的形状.
练习：画出下列几何体的三视图．
根据物体的三视图试判断该物体的形状和大小.
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平行投影和中心投影的有关概念；
2．三视图的概念以及空间物体的三视图的画法规则；
3．如何由物体的三视图判断物体的形状.
图3
图2
图1
3
1.5
1.5
1.5
0.9
0.9
4.2
3
（2）
（1）
（2）
3
4
2
2
32.1.2 直线方程（2）
教学目标：
1．掌握两点式方程；截距式方程．
2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；
教材分析及教材内容的定位：
两点式是点斜式的应用，截距式是两点式的特殊情况，通过本节课的学习要明确两点式及截距式方程使用的限制条件，渗透分类讨论思想．
教学重点：
两点式直线方程的求解．
教学难点：
理解两点式方程的使用条件．
教学方法：
自主学习．
教学过程：
一、问题情境
本节课研究的问题是：——如何写出直线方程？——两个要素（两个点）．
——已知直线上的两个点的坐标，如何描述直线上点的坐标的关系？
二、学生活动、
探究：若直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么样条件？
事实上就是要求点P的轨迹方程，现在我们会的就是在上一节课讲过的，利用直线上的某个点和直线的斜率来写出直线方程．那现在知道两点，即直线的斜率可求，从而方程可求．
此时直线l的斜率为，由直线的点斜式方程，得
，
当y1≠y2时，方程可以写成
这个方程是由直线上两点确定的．
三、建构数学
直线的两点式方程：
一般地，设直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则方程
叫做直线的两点式方程．
说明：
（1）可以验证，直线l上的每个点的坐标都是这个方程的解，反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上；
（2）此时我们给出直线的一对要素：直线上的两个点，从而可以写出直线方程；
（3）当x1＝x2时，直线线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用两点式表示．但因为l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．
当y1＝y2时，直线l与y轴垂直时，斜率k＝0，其方程不能用两点式标准形式表示．但因为l上每一点的纵坐标都等于y1，所以它的方程是y＝y1．
思考：
（1）方程的左、右两边各具有怎样的几何意义？
点(x，y)和(x1，y1)形成的斜率与点(x1，y1)和(x2，y2)形成的斜率相等．
（2）方程和方程表示同一图形吗？
不是，后者表示一直线，而前者是直线上除去点(x1，y1)之外的图形．
四、数学运用
例1 已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线l的方程．
直线的截距式方程
在上面例1中，我们称b为直线l在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线l在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫做直线的截距式方程．
说明：
（1）当直线l过原点且与x轴、y轴都不垂直时，l在x轴和y轴上的截距都是0，不能用此式表示；
（2）直线的截距式方程是直线两点式方程的一种特殊情况，即给出了直线与x轴交点的横坐标、与y轴交点的纵坐标，从而给出了直线上两点的坐标；
（3）当直线与x轴垂直、或与y轴垂直、或过原点的时候，直线不能用截距式的标准形式来表示．
例2 已知三角形的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，试求这个三角形三边所在直线的方程．
例3 已知直线l过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
练习：
1．已知菱形的两条对角线的长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程．
2．一根弹簧挂4kg的物体，长20cm．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧伸长1.5cm．试写出弹簧的长度l (cm)与所挂物体的质量m(kg)之间的关系．
3．（1）已知直线 l 经过点P(5，2)，且直线 l 在x，y轴上的截距互为相反数，求直线 l 的方程．
（2）直线l经过点(5，2)，且与两坐标轴围成等腰三角形，求直线l的方程．
（3）直线l经过点(5，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
4．直线 l过点B(0，2)且与x轴交于A点，若|AB|＝4，求直线l的方程．
变式 求过点M（3，4）且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程
五、要点归纳与方法小结
如何利用直线上的两点写出直线方程？
——两点式（截距式）．2.2.1 圆的方程（2）
教学目标：
1．掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆
心和半径；
2．利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形
式解决圆的方程求解；
3．通过对例题的分析讲解，提高学生分析问题的能力．
教材分析及教材内容的定位：
培养学生主动探究知识，合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质．本节和圆的标准方程一起构成了圆的方程这个知识点，高考要求很高，需要很好的思维能力和计算能力，需要重点分析圆的方程求法，并且通过对比来寻找两种方程的适用性．
教学重点：
根据已知条件求出圆的一般方程．
教学难点：
如何选择两种方程，要学会分析问题．
教学方法：
讨论学习法．
教学过程：
一、问题情境
情境：（1）(x－1)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标和半径分别是多少？
（2）x2＋y2－2x－4y－4＝0所表示的曲线是什么？
问题：x2＋y2－2x－4y－4＝0可以看作是关于x，y的二元二次方程，那
么满足什么条件，一个二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是圆？
二、学生活动
1．思考情境问题：对于标准方程，可以直接看出其圆心坐标和半径，对于
一般方程，需要先配方化为标准方程，再找出圆心坐标和半径
2．研究一般情况下表示的曲线如果是圆，则
应满足的条件，方法仍然是配方．
（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为
半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示
一个点（-，-）；
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
3．在例题中体会两种方程的互相转化，标准方程倾向于研究圆的几何性质，
一般方程倾向于用计算解决圆的方程,最后可以由学生总结归纳．
三、建构数学
1．提出一般性问题：二元二次方程满足什么条件表
示的是圆（让学生配方，共同讨论）；
2．在例题中，引导学生，根据题意，设出圆的一般方程并建立关于
的方程组，归纳求圆的一般方程的方法-----待定系数法，并强调三元一次
方程组的求解方法；
3．运用圆的一般方程解决例题，可以启发学生再思考其他的方法：圆心在
两点连线的中垂线上，利用的是几何法，跟待定系数法对比研究，如何选好
两种方程解决问题，是本节课的重点．
四、数学运用
1．例题．
例1 判断下列方程是否表示圆？如果是，请求出圆的圆心及半径．
（1）x2＋y2＋4x－6y－12＝0；（2）x2＋y2－2x＋y－5＝0．
例2 已知△ABC顶点的坐标分别为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求外接
圆的方程．
例3 某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是
6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01m)．
2．练习．
（1）已知圆M经过抛物线与两坐标轴的所有交点，求圆M的
标准方程．
（2）已知方程表示的图形是圆．
（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求其中面积最大的圆的方程；（Ⅲ）若点
恒在所给圆内，求的取值范围．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．本节课主要学习了圆的一般方程，要求学生掌握待定系数法求轨迹方
程的方法；
2．如何选择两种方程，要学会具体问题具体分析．1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
立体几何 平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
1．平面的认识（无限延展的、没有厚薄）；
2．平面的表示；
（1）图形语言
通常用平行四边形表示平面．
（2）符号语言
通常用希腊字母α，β，γ等来表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点字母来表示，如平面α、平面AC等
3. 点、直线、平面之间的基本关系；
点P在直线AB上，记作PAB；
点C不在直线AB上，记作CAB；
点M在平面AC内，记作M平面AC；
点A1不在平面AC内，记作A1平面AC；
直线AB与直线BC交于点B，记作AB∩BC=B；
直线AB在平面AC内，记作AB平面AC；
直线AA1不在平面AC内，记作AA1平面AC；
4．平面的基本性质．
实验1：把直尺和桌面分别看作一条直线和一个平面.
（1）若直尺的两个端点在桌面内，问直尺所在直线上各点与桌面所在的平面有何关系？
（2）若直尺有一个端点不在桌面内，直尺所在的直线与桌面所在的平面的关系如何？
引导学生得出：
公理1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
图形语言:
符号表示:
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：
（1）把一个三角板的一个角立在桌面上，观察三角板所在的平面与桌面所在的平面有几个公共点.
（2）把教室门及其所在的墙面看成两个平面，当门打开时，它们的公共点分布情况如何？
引导学生归纳出：
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
图形语言:
符号表示: ．
思考：公理2可以帮助我们解决哪些几何问题？
（1）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题.
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫这两个平面的交线.
实验3：
（1）两个合页与一把锁就可以把门固定，为什么？
（2）照相机的支架为什么只需要三条腿？
问题：经过一点有几个平面？经过二点、三点、四点？……
引导学生归纳出：
四、数学运用
1．例题.
例1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.
例2 已知：△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，
求证：P，Q，R三点共线．
例3 如图，点P是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上一点(不同于端点A、B)，试画出由D1，C，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．
2．练习.
（1）下列叙述中，正确的是_______
①因为Pα，Qα，所以PQα；
②因为Pα，Q，所以α∩＝PQ；
③因为ABα，CAB，DAB，所以CDα；
④因为ABα，ABβ，所以∩＝AB.
（2）用符号表示下列语句，并画出图形：
①点A在平面内，点B在平面外；
②直线l 经过平面外一点P和平面内一点Q；
③直线l在平面内，直线m不在平面内；
④平面和相交于直线AB；
⑤直线l是平面和的交线，直线m在平面内，l 和m相交于点P．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面的含义、表示和画法；
2．点、直线、平面之间的基本关系；
3．平面的基本性质（公理1，公理2，公理3）．
投影
α
A
B
l
α
β
l
P
A
B
C
D
1
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
P
P
A
B
C
R
Q
α
A
B
C
D
1
A1
C1
B1
D1
A
B
C
D
P2.2.2 直线与圆的位置关系
教学目标：
1．在学生能够应用平面几何知识判断直线与圆的位置关系的基础上,转化为应用坐标方法判断直线与圆的位置关系．进一步理解坐标思想研究几何问题的方法．认识方程组解的意义．
2．理解直线与圆的位置的种类；能通过方程组的解和点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系．能够解决直线和圆相关的问题．
3．通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容是在学习了直线方程、圆的方程等一系列基础知识之后来研究直线与圆之间的位置关系．涉及到两大数学思想：数形结合、方程思想，这是培养学生数学思想的良好题材．另外为学生后续学习直线与圆锥曲线的位置关系提供了方法和基础．
教学重点：
直线与圆的位置关系的判断方法．直线与圆相关问题．
教学难点：
用坐标法判定直线与圆的位置关系．
教学方法：
导学点拨法、电脑、投影．
教学过程：
一、问题情境
1．复习与基础练习．
（1）直线kx－y＋1＋2k＝0过定点？
（2）圆心为点(2，3)，半径为3的圆的标准方程？一般方程？
（3）点(－2，1)与此圆的位置关系？
学生自主思考，踊跃回答，教师参与分析，点明方法：解方程组、坐标法．
2．问题：
问题1 初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
教师通过幻灯片展示直线与圆的位置关系，学生回答．
问题2 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
通过图形展示，教师引导学生总结出方法：判断交点个数，联系到方程的公共解，从而总结出解方程组的方法判定直线与圆之间的位置关系．
二、学生活动
1．思考画图并讨论，说出自己的看法；
2．在教师的引导下，观察图形，利用类比的方法，归纳出直线与圆的位置关系的种类；
3．在教师的引导下动手做题．
三、建构数学
方法1：直线与圆的位置关系的判定方法：几何法．
直线l：Ax＋By＋C＝0；圆(x－a)2＋(y－b)＝r2．
利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d＞r——相离 d＝r——相切 d＜r——相交
注：师生互动，共同总结判定方法，体会逻辑思维的严密性．
方法2：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：代数法
设方程组的解的个数为n，则有
△＞0 n＝2相交；△＝0 n＝1相切；△＜0 n＝0相离．
四、数学运用
1．例题．
例1 求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．
变式：求直线4x＋3y＝50和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．
例2 自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝2的切线l，求切线l的方程．
变式 自点B(1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝2的切线l，求切线l的方程．
例3 求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
已知过点M（－3，－3）的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
例题补充（让学生讲出解题思路，教师点评）
2．练习．
（1）直线x－y－2＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为 ．
（2）若过点(－2，1)作圆(x－3) 2＋(y－1) 2＝r2的切线有且只有一条，则r＝ ．
（3）若直线(m＋1)x＋y＋1＝0与圆(x－1) 2＋y2＝1相切，则实数的m值为 ．
（4）已知直线x－y＋b=0与圆x2＋y2＝25相离，求b的取值范围．
（5）求以C(1、3）为圆心，并和直线3x－4y－6＝0相切的圆的方程．
（6）已知⊙C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，与直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
①证明：不论m取何实数，直线l与⊙C恒有两个交点；
②求直线被⊙C所截弦长最小时，l的方程．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．直线与圆位置关系；
2．判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）代数法；
（2）几何法．
3．数学思想：数形结合和分类讨论的思想．2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）
教学目标：
1．掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；
2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯．
教材分析及教材内容的定位：
本节课和上节课研究的内容有类似之处，都是通过方程研究几何性质的．
教学重点：
用斜率判断两直线垂直的方法．
教学难点：
理解直线垂直的解析刻画．
教学方法：
探究合作．
教学过程：
一、问题情境
1．复习回顾：（1）利用直线的斜率关系判断两条直线平行；
（2）利用直线的一般式方程判断两条直线的平行．
2．本节课研究的问题是：——两条直线垂直，
两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？
二、学生活动
探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，那么他们的斜率如何？
不妨设直线l1，l2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为α1，α2，对应的斜率分别为k1，k2．
因为两条直线相互垂直，不妨设α1－α2＝90．根据倾斜角与斜率的关系，我们知道当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1＝tanα1，k2＝tanα2，于是根据诱导公式有
，
即k1k2＝－1．此时，若两直线平行，则两直线的斜率乘积为－1．
反之，如果两直线的斜率（斜率存在）互为负倒数，即k1k2＝－1，根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直．
三、建构数学
两直线垂直．
一般地，设直线l1，l2（斜率存在）所对应的斜率分别为k1，k2，则
说明：
（1）如果直线l1，l2的斜率有一个不存在，那么其中有一条直线（不妨设
为l1）与x轴垂直，此时两条直线垂直的等价条件为l2的斜率为0；
（2）在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即
斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论．
（3）设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，那么两条直线垂直的等价条件为：．
四、数学运用
例1 （1）已知四点A（5，3），B（10，6），C（3，－4），D（－6，11），求证：AB⊥CD；
（2）已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A（3a，－2），B（0，a2＋1），且l1⊥l2，求实数a的值．
例2 已知三角形的顶点为A（2，4），B（1，－2），C（－2，3），求BC边上的高AD所在的直线．
例3 在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2．5m，且与灯柱成120 角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0．01m）
练习：
1．求过点A(0，－3)，且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线的方程．
2．已知直线l 与直线l：3x＋4y－12＝0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程．
3．若直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则实数a＝______．
4．已知直线l1：mx+y－(m+1)＝0与l2：x+my－2m＝0垂直，求m的值．
5．已知三条直线的方程分别为：2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0与2mx－3y＋12＝0．若三条直线能围成一个直角三角形，求实数m的值．
五、要点归纳与方法小结
两条直线垂直的等价条件是什么？
课后思考题：
已知三条直线的方程分别为：2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0与2mx－3y＋12＝0．若三条直线能围成一个三角形，求实数m的取值范围．2.1.2 直线的方程（1）
教学目标：
1．掌握点斜式直线方程，能根据条件求出直线方程；
2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；
3．掌握斜截式方程是点斜式的一种特殊情况，并理解其中参数的几何意义．
教材分析及教材内容的定位：
点斜式方程的推导蕴含了求轨迹方程的思想，应该向学生渗透，这对于后继的学习有帮助；从点斜式到斜截式实际上是从一般到特殊；通过本节课的学习应明确：求直线的方程只需要两个独立的条件．
教学重点：
本节课的重点是点斜式直线方程的求解．
教学难点：
理解直线方程与直线的对应关系．
教学方法：
合作交流．
教学过程：
一、问题情境
1．复习回顾：(1)直线的斜率；(2)直线的倾斜角．
2．问题情境：
（1）已知直线l过点A(－1，3)且斜率为－2，试写出直线上另一点B的坐标．
（2）问题：这样的点唯一吗？它们的共同点是什么呢？
本节课研究的问题是：
——如何写出直线方程？——两个要素（点与方向）．
——已知直线上的点的坐标和直线的斜率，如何描述直线上点的坐标的关系？
二、学生活动
探究：若直线l经过点A(－1，3)，斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么样条件
当点P(x，y)在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A(－1，3)所确定的直线的斜率等于－2，故有＝－2，即y－3＝－2[x－(－1)]．
显然，点A(－1，3)的坐标也满足此方程．
因此，当点P在直线l上运动时，其坐标（x，y）满足2x＋y－1＝0．反过来，以方程2x＋y－1＝0的解为坐标的点都在直线l上．
三、建构数学
直线的点斜式方程．
一般地，直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，设l上任意一点P的坐标为(x，y)．
当点P(x，y)（不同于点P1）在直线l上运动时，PP1的斜率恒等于k，有＝k，即y－y1＝k(x－x1)．方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．
说明：
（1）可以验证，直线l上的每个点（包括点P1）的坐标都是这个方程的解，反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上；
（2）此时我们给出直线的一对要素：直线上的一个点和直线的斜率，从而可以写出直线方程；
（3）当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示．但因为l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．
四、数学运用
例1 已知一直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．
例2 已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程．
直线的斜截式方程y＝kx＋b：直线l的方程由直线的斜率和它在y轴上的截距确定．
练习：
1．求下列直线的方程：
（1）在y轴上的截距为－1，斜率为4；（2）过点B(－，2)，倾斜角为30°；
（3）过点C(4，－2)，倾斜角为0°； （4）过点D(－1，0)，斜率不存在．
2．若一直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y＝－2x＋3的斜率相等，则该直线的方程是 ．
3．下列图象，能作为直线y＝k(x＋1)( k＞0)的图象的是（ ）
A B C D
4．已知直线l经过点P(1，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
5．已知直线l的斜率为－，且与两坐标轴所围成的三角形的周长为12，求直线l的方程．
五、要点归纳与方法小结
直线方程的解与直线上的点的关系？
——一一对应．
如何利用直线上的点和斜率写出直线方程？
——点斜式和斜截式．
O
x
y
－1
y
y
y
1
1
－1
1
1
O
O
x
O
x
x
－1
－12.3.1 空间直角坐标系
教学目标：
1．通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性；
2．了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程；
3．感受类比思想在探究新知识过程中的作用．
教材分析及教材内容的定位：
该课是在学生学面直角坐标系，利用平面直角坐标系解决平面几何图形问题有了一定的数形结合思想的基础上的进一步推广，有了以上的基础，学生学习空间直角坐标系就有了一定的知识基础，有了平面解析几何知识，学生的知识迁移就有了保障，学生又学习了空间几何知识，学习了空间直角坐标系后，学生经过知识迁移就能利用空间直角坐标系解决空间立体几何知识，把数形结合思想由平面推广到空间，为立体几何问题的解决提供了新的解题途径．
教学重点：
空间直角坐标系的理解．
教学难点：
是通过建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标．
教学方法：
采用启发式教学、合作探究等方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．
教学过程：
一、问题情境
1．情境：通过前面学习直线与圆的方程，了解了解析几何的基本思想是什么？——建立坐标系，用代数方法解决几何问题！
建立平面直角坐标系，确立了平面内的点与坐标之间的一一对应关系；
2．问题：空间位置如何确定啊，如在日常生活中，如何表示一个房间中电灯的位置？
二、学生活动
1．根据老师提出的问题分小组进行讨论；
2．在老师的引导下认识从感性化提升到理性化；
3．在老师的引导下，以正方体为模型，构建空间直角坐标系，并搞清相关概念．
4．阅读、动手画图、做例题、习题并总结本节课内容．
三、建构数学
1．空间直角坐标系．
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系．点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面、平面和平面．
2．空间右手直角坐标系的画法．
通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．
3．空间点的坐标表示．
对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过A点作三个平面分别垂直于x轴、轴与轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R．点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数对（x，y，z）叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．
4．空间对称的点的特征：点P(x，y，z)是空间内任意一点，则
（1）点P关于原点的对称点的坐标为(－x，－y，－z)；
（2）点P关于x轴的对称点的坐标为(x，－y，－z)；
（3）点P关于y轴的对称点的坐标为(－x，y，－z)；
（4）点P关于z轴的对称点的坐标为(－x，－y，z)；
（5）点P关于xOy平面的对称点的坐标为(x，y，－z)；
（6）点P关于yOz平面的对称点的坐标为(－x，y，z)；
（7）点P关于zOx平面的对称点的坐标为(x，－y，z)．
四、数学运用
1．例题．
例1 在空间直角坐标系中，作出点．
分析：可按下列步骤作出点，
解 所作图如下左图所示：
例2 如上右图，已知长方体ABCD－ABCD的边长为AB＝12，AD＝18，AA＝5．以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
例3 （1）在空间直角坐标系中，画出不共线的3个点，使得这3个点的坐标都满足，并画出图形；
（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．
2．练习．
（1）在空间直角坐标系中，画出下列各点：
答案略．
（2）已知长方体的边长为．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
答案：，，，，，，，．
（3）写出坐标平面内的点的坐标应满足的条件．
答案： yOz平面上的点的x坐标都为．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．右手坐标系的建立；
2．坐标轴、坐标面；
3．根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标的方法．
D’
C’
B’
A’
D
C
B
A
z
y
x
P(5,4,6)
P2
P1
z
y
x
