空间向量与立体几何解答题专项特训2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 空间向量与立体几何解答题专项特训2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-04 20:51:46 | ||
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文档简介
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空间向量与立体几何解答题专项特训2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册
1．如图，在三棱锥 P-ABC中，平面 PAB⊥平面ABC，AB=4，BC=2，AC=PA=PB=2，D，E分别为PC，PA的中点.
（1）证明：平面 BCE⊥平面 PAB.
（2）求平面 PBC与平面BDE 的夹角的余弦值.
2．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，∠ADC=90°，，E为线段AD的中点.底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
（1）求证：BEFG；
（2）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.
3．如图甲是由梯形ABCD和正三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角P﹣CD﹣B为直二面角．
（1）证明：AC⊥PD；
（2）若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值．
4．已知在多面体中，，，，，，且平面平面.
（1）设点为线段的中点，试证明平面；
（2）与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
5．如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
7．已知空间有不重合的四点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若是平面的一个法向量，求和的值．
8．如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，．
（1）求证：平面；
（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的大小．
9．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在的条件下，求点到平面的距离．
10．已知空间三点，，，设，．
（1）求；
（2）与互相垂直，求实数的值．
11．如图，在直棱柱中，，E，F分别是棱，上的动点，且.
（1）证明：.
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，AP⊥平面ABCD，，点M、N分别为线段BC和PD的中点．
（1）求证：AN⊥平面PDM；
（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
（3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.
13．如图， 四边形 为平行四边形， 点在上，， 且.以为折痕把折起， 使点到达点的位置， 且.
（1）求证： 平面；
（2）若直线 与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
14．如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
15．如下图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，又.
（1）求点到平面的距离；
（2）设，，，平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为，求BC的长．
16．在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点为中点.
（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；
（2）当，求平面与平面所成二面角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：证明：因为AB=4，BC=2，AC=2 ，所以
所以AB⊥BC.
因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面PAB
（2）解：取 AB的中点O，连接 PO.以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
其中y轴与BC 平行，则P(0，0，4)，A(-2，0，0)，B(2，0，0)，
E(-1，0，2)，C(2，2，0)，D(1，1，2)
设平面 BDE的法向量为
则
令z=3，得m=(2，-4，3).
设平面 PBC 的法向量为
则
令 ，得n=(2，0，1).
因为
所以平面 PBC 与平面 BDE 的夹角的余弦值为
2．【答案】（1）证明：因为E为AD中点，
所以.
又因为BC=1，所以DE=BC.在梯形ABCD中，DEBC，
所以四边形BCDE为平行四边形.所以BECD.
又因为平面PCD，且CD 平面PCD，
所以BE平面PCD.
因为BE 平面BEF，平面BEF∩平面，
所以BEFG.
（2）解：因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE 平面ABCD，
所以PE⊥AE，且PE⊥BE.
因为四边形BCDE为平行四边形，，
所以AE⊥BE.
以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz.
则.
设，
所以，.
因为PC与AB所成角为，
所以.
所以.
则，.
所以，，.
设平面BEF的法向量为，
则即
令x=6，则，
所以.
所以.
所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为.
3．【答案】（1）证明：取AD中点为F，连接AC，CF，由AD＝2BC得AF∥BC且AF＝BC．
∴四边形ABCF为平行四边形，
∴CF＝AF＝DF，
∴AC⊥CD，
又因为二面角P﹣CD﹣B为直二面角，且平面PCD 平面ABCD＝CD，
∴AC⊥平面PCD，因为PD 平面PCD，
所以AC⊥PD．
（2）解：如图，延长AB和DC交于点G，连接GP，则GP为平面PCD与平面PAB的交线l，
取CD中点为O，连接OF，OP，
∵OP⊥AC，OF∥AC，
∴OP⊥OF，OF⊥CD，OP⊥CD，
以O为坐标原点，OF，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面PAD的法向量为，
则，
令c＝1，得，
设l与平面PAD的所成角为θ，
则，
因为，
即l与平面PAD所成角的正弦值为．
4．【答案】（1）证明：取的中点，连接，.
在中，.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
，分别为，的中点，，且.
又，，，且.
四边形为平行四边形
，平面.
（2）解：平面，，
以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
平面，直线与平面所成的角为.
..
可取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则，取，则，，
，
，
二面角的余弦值为.
5．【答案】（1）证明：∵平面平面，
平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且
∴平面PBC，且平面，∴
（2）解：取BC中点，连接PO，
∵，∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面BCFE
以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，设，
由得，解得，所以，
设，由得，解得，
∴，则，，
平面BEF的一个法向量，设平面PEF的一个法向量，
，令，得，
设二面角的平面角为，易知为锐角，则，
∴二面角的余弦值为．
6．【答案】（1）证明：因为底面，所以，①
又因为为正方形，所以，②
由①②可得平面，
所以，③
又因为，点为的中点，所以．④
由③④可得平面，所以．
同理可得，所以平面．
（2）解：如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则各点坐标分别为
．
由（Ⅰ）可知是平面的一个法向量，记为，
又平面的一个法向量为．
所以平面与平面夹角的余弦值等于．
7．【答案】（1）解：，
因为，故存在实数，使得，
即，
故解得
点的坐标为；
（2）解：因为是平面的一个法向量，故，
又，，
故，
解得．
8．【答案】（1）证明：证明：四边形是菱形，，
，且，平面，
平面，因为平面，，
，是的中点，，
又，平面，所以平面．
（2）解：，
直线与平面的所成角等于直线与平面的所成角，
平面，
直线与平面的所成角为，即，
设菱形的边长为2，则在等边中，，，
在等腰直角中，，
以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，0，，
平面的一个法向量为，
所以，显然二面角为锐二面角，
二面角的大小为．
9．【答案】（1）解：连接，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，令，，
平面的一个法向量，
，则，又平面，所以平面．
（2）解：，设，则，
因为点在棱上，所以，，
即，
所以，所以，
平面的法向量为，
因为直线与底面所成角为，所以，
，解得，所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，所以平面与平面夹角的余弦值
（3）解：，点到平面的距离
10．【答案】（1）解：由题设，，
所以；
（2）解：由，，而，
所以，
可得或．
11．【答案】（1）证明：由题意知在直棱柱中，，可得，
所以，即，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.
不妨设，，则，，，，，，
所以，，
可得，
所以，
即.
（2）解：，
当且仅当，即时，有最大值，
此时E，F分别为，的中点，，，所以，，所以可取平面的一个法向量为.
，，所以可取平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
12．【答案】（1）证明：方法一：∵，且，
∴BM∥AD，且BM=AD，
∴四边形ADMB是平行四边形，
∴，
∵，则AD⊥DM，
∵AP⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴AP⊥DM，又，
∴DM⊥平面PAD，又平面PAD，
∴DM⊥AN，
∵，N是PD的中点，
∴PD⊥AN，又，、平面PDM，
∴AN⊥平面PDM；
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，．
则，，．
设平面PDM的法向量为，
则，即，取，则，，则，
∴，则，
∴AN⊥平面PDM；
（2）解：，，设平面PDC的法向量为，
则，则，取，则，，则，
由(1)知平面PDM的一个法向量为，
设平面PDM与平面PDC的夹角为，
则，
∴，
∴平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为；
（3）解：假设存在点E，设，
，，，
则，
设直线BE与平面PDC所成角为，
由(2)知平面PDC的一个法向量为，
则，
化简得，即，
∵，∴，故，
∵，则，
∴，
∴线段PE的长为．
13．【答案】（1）证明：由题 ， 所以，
又 平面平面.
因为 平面平面， 所以，
因为 ， 所以，
因为 ， 所以在中，
由余弦定理得 ，
所以 ， 所以由勾股定理逆定理得，
因为 平面， 所以平面
（2）解：以 为原点，所在的直线为轴， 在平面过点作的垂线为轴，
所在的直线为轴， 建立空间直线坐标系设，
则 ，
平面 的一个法向量，由直线与平面所成角的正弦值为，
所以 ， 解得（负值舍去），
设平面 的法向量， 则，
取 ， 得，故点到平面的距离.
14．【答案】（1）证明：建立直角坐标系，其中为坐标原点.
依题意得，
因为，所以.
（2）解：设是平面的法向量，
由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为
15．【答案】（1）解：如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，
，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
，所以，又，
所以．同理，又，，
所以及，点P到平面ABCD的距离为.
（2）解：如图所示，以A点为原点，分别以AD，AB， AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
∴，，设，则
，．
设平面的法向量为，则
则，令，得．
同理可得平面的法向量为．
由题意知，解得，
所以BC的长为．
16．【答案】（1）解：在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下：
取的中点，连接，
由点为中点，得，平面，平面，则平面，
又平面，平面，平面平面，则，
四边形是菱形，则，于是四边形是平行四边形，
则，平面，平面，则平面，
而平面，所以平面平面.
（2）解：四边形为菱形，，则为正三角形，，
在中，，由余弦定理知，
取中点，连接，而是正三角形，则，
显然，即，又，即直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
由，得，则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面所成二面角为，，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
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空间向量与立体几何解答题专项特训2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册
1．如图，在三棱锥 P-ABC中，平面 PAB⊥平面ABC，AB=4，BC=2，AC=PA=PB=2，D，E分别为PC，PA的中点.
（1）证明：平面 BCE⊥平面 PAB.
（2）求平面 PBC与平面BDE 的夹角的余弦值.
2．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，∠ADC=90°，，E为线段AD的中点.底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
（1）求证：BEFG；
（2）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.
3．如图甲是由梯形ABCD和正三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角P﹣CD﹣B为直二面角．
（1）证明：AC⊥PD；
（2）若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值．
4．已知在多面体中，，，，，，且平面平面.
（1）设点为线段的中点，试证明平面；
（2）与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
5．如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
7．已知空间有不重合的四点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若是平面的一个法向量，求和的值．
8．如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，．
（1）求证：平面；
（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的大小．
9．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在的条件下，求点到平面的距离．
10．已知空间三点，，，设，．
（1）求；
（2）与互相垂直，求实数的值．
11．如图，在直棱柱中，，E，F分别是棱，上的动点，且.
（1）证明：.
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，AP⊥平面ABCD，，点M、N分别为线段BC和PD的中点．
（1）求证：AN⊥平面PDM；
（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
（3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.
13．如图， 四边形 为平行四边形， 点在上，， 且.以为折痕把折起， 使点到达点的位置， 且.
（1）求证： 平面；
（2）若直线 与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
14．如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
15．如下图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，又.
（1）求点到平面的距离；
（2）设，，，平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为，求BC的长．
16．在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点为中点.
（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；
（2）当，求平面与平面所成二面角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：证明：因为AB=4，BC=2，AC=2 ，所以
所以AB⊥BC.
因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面PAB
（2）解：取 AB的中点O，连接 PO.以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
其中y轴与BC 平行，则P(0，0，4)，A(-2，0，0)，B(2，0，0)，
E(-1，0，2)，C(2，2，0)，D(1，1，2)
设平面 BDE的法向量为
则
令z=3，得m=(2，-4，3).
设平面 PBC 的法向量为
则
令 ，得n=(2，0，1).
因为
所以平面 PBC 与平面 BDE 的夹角的余弦值为
2．【答案】（1）证明：因为E为AD中点，
所以.
又因为BC=1，所以DE=BC.在梯形ABCD中，DEBC，
所以四边形BCDE为平行四边形.所以BECD.
又因为平面PCD，且CD 平面PCD，
所以BE平面PCD.
因为BE 平面BEF，平面BEF∩平面，
所以BEFG.
（2）解：因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE 平面ABCD，
所以PE⊥AE，且PE⊥BE.
因为四边形BCDE为平行四边形，，
所以AE⊥BE.
以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz.
则.
设，
所以，.
因为PC与AB所成角为，
所以.
所以.
则，.
所以，，.
设平面BEF的法向量为，
则即
令x=6，则，
所以.
所以.
所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为.
3．【答案】（1）证明：取AD中点为F，连接AC，CF，由AD＝2BC得AF∥BC且AF＝BC．
∴四边形ABCF为平行四边形，
∴CF＝AF＝DF，
∴AC⊥CD，
又因为二面角P﹣CD﹣B为直二面角，且平面PCD 平面ABCD＝CD，
∴AC⊥平面PCD，因为PD 平面PCD，
所以AC⊥PD．
（2）解：如图，延长AB和DC交于点G，连接GP，则GP为平面PCD与平面PAB的交线l，
取CD中点为O，连接OF，OP，
∵OP⊥AC，OF∥AC，
∴OP⊥OF，OF⊥CD，OP⊥CD，
以O为坐标原点，OF，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面PAD的法向量为，
则，
令c＝1，得，
设l与平面PAD的所成角为θ，
则，
因为，
即l与平面PAD所成角的正弦值为．
4．【答案】（1）证明：取的中点，连接，.
在中，.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
，分别为，的中点，，且.
又，，，且.
四边形为平行四边形
，平面.
（2）解：平面，，
以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
平面，直线与平面所成的角为.
..
可取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则，取，则，，
，
，
二面角的余弦值为.
5．【答案】（1）证明：∵平面平面，
平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且
∴平面PBC，且平面，∴
（2）解：取BC中点，连接PO，
∵，∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面BCFE
以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，设，
由得，解得，所以，
设，由得，解得，
∴，则，，
平面BEF的一个法向量，设平面PEF的一个法向量，
，令，得，
设二面角的平面角为，易知为锐角，则，
∴二面角的余弦值为．
6．【答案】（1）证明：因为底面，所以，①
又因为为正方形，所以，②
由①②可得平面，
所以，③
又因为，点为的中点，所以．④
由③④可得平面，所以．
同理可得，所以平面．
（2）解：如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则各点坐标分别为
．
由（Ⅰ）可知是平面的一个法向量，记为，
又平面的一个法向量为．
所以平面与平面夹角的余弦值等于．
7．【答案】（1）解：，
因为，故存在实数，使得，
即，
故解得
点的坐标为；
（2）解：因为是平面的一个法向量，故，
又，，
故，
解得．
8．【答案】（1）证明：证明：四边形是菱形，，
，且，平面，
平面，因为平面，，
，是的中点，，
又，平面，所以平面．
（2）解：，
直线与平面的所成角等于直线与平面的所成角，
平面，
直线与平面的所成角为，即，
设菱形的边长为2，则在等边中，，，
在等腰直角中，，
以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，0，，
平面的一个法向量为，
所以，显然二面角为锐二面角，
二面角的大小为．
9．【答案】（1）解：连接，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，令，，
平面的一个法向量，
，则，又平面，所以平面．
（2）解：，设，则，
因为点在棱上，所以，，
即，
所以，所以，
平面的法向量为，
因为直线与底面所成角为，所以，
，解得，所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，所以平面与平面夹角的余弦值
（3）解：，点到平面的距离
10．【答案】（1）解：由题设，，
所以；
（2）解：由，，而，
所以，
可得或．
11．【答案】（1）证明：由题意知在直棱柱中，，可得，
所以，即，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.
不妨设，，则，，，，，，
所以，，
可得，
所以，
即.
（2）解：，
当且仅当，即时，有最大值，
此时E，F分别为，的中点，，，所以，，所以可取平面的一个法向量为.
，，所以可取平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
12．【答案】（1）证明：方法一：∵，且，
∴BM∥AD，且BM=AD，
∴四边形ADMB是平行四边形，
∴，
∵，则AD⊥DM，
∵AP⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴AP⊥DM，又，
∴DM⊥平面PAD，又平面PAD，
∴DM⊥AN，
∵，N是PD的中点，
∴PD⊥AN，又，、平面PDM，
∴AN⊥平面PDM；
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，．
则，，．
设平面PDM的法向量为，
则，即，取，则，，则，
∴，则，
∴AN⊥平面PDM；
（2）解：，，设平面PDC的法向量为，
则，则，取，则，，则，
由(1)知平面PDM的一个法向量为，
设平面PDM与平面PDC的夹角为，
则，
∴，
∴平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为；
（3）解：假设存在点E，设，
，，，
则，
设直线BE与平面PDC所成角为，
由(2)知平面PDC的一个法向量为，
则，
化简得，即，
∵，∴，故，
∵，则，
∴，
∴线段PE的长为．
13．【答案】（1）证明：由题 ， 所以，
又 平面平面.
因为 平面平面， 所以，
因为 ， 所以，
因为 ， 所以在中，
由余弦定理得 ，
所以 ， 所以由勾股定理逆定理得，
因为 平面， 所以平面
（2）解：以 为原点，所在的直线为轴， 在平面过点作的垂线为轴，
所在的直线为轴， 建立空间直线坐标系设，
则 ，
平面 的一个法向量，由直线与平面所成角的正弦值为，
所以 ， 解得（负值舍去），
设平面 的法向量， 则，
取 ， 得，故点到平面的距离.
14．【答案】（1）证明：建立直角坐标系，其中为坐标原点.
依题意得，
因为，所以.
（2）解：设是平面的法向量，
由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为
15．【答案】（1）解：如图，在平面ABCD中取一点E，并过点E作直线，
，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
，所以，又，
所以．同理，又，，
所以及，点P到平面ABCD的距离为.
（2）解：如图所示，以A点为原点，分别以AD，AB， AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
∴，，设，则
，．
设平面的法向量为，则
则，令，得．
同理可得平面的法向量为．
由题意知，解得，
所以BC的长为．
16．【答案】（1）解：在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下：
取的中点，连接，
由点为中点，得，平面，平面，则平面，
又平面，平面，平面平面，则，
四边形是菱形，则，于是四边形是平行四边形，
则，平面，平面，则平面，
而平面，所以平面平面.
（2）解：四边形为菱形，，则为正三角形，，
在中，，由余弦定理知，
取中点，连接，而是正三角形，则，
显然，即，又，即直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
由，得，则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面与平面所成二面角为，，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
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