2023-2024学年人教A版必修第一册第4章指数函数与对数函数能力提升卷（含解析）

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2023-2024学年人教A版必修第一册第4章指数函数与对数函数能力提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，若 (其中 ，则 的最小值（ ）
A． B． C．2 D．4
二、多选题
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若是关于的不等式成立的必要条件，则的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
12．已知函数且，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的图象与直线一定没有交点
C．若的图象与直线有2个交点，则的取值范围是
D．若的图象与直线交于两点，则线段长度的取值范围是
三、填空题
13．若，则的值为 ．
14．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
15．若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
16．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要 年（最终结果四舍五入，参考数据： ，）
四、解答题
17．已知函数.
(1)当时，求的零点个数，并求出相应的零点；
(2)讨论关于的方程的解的个数.
18．若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．
(1)试判断函数与是否为“速增函数”；
(2)若函数为“速增函数”，求a的取值范围．
19．已知函数．
(1)证明函数的图象过定点；
(2)设，且，讨论函数在上的最小值．
20．已知函数，且.
(1)解不等式；
(2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
21．已知函数分别是定义在上的偶函数与奇函数，且，其中为自然对数的底数．
(1)求与的解析式；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的最大值．
22．2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知绿色科技产品A在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），每件的销售价格为10元，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示：
x 5 6 12 18 24 28 30
45 46 52 58 56 52 50
(1)给出下列三个函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域.
(2)若绿色科技产品B在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，求这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数.
参考答案：
1．A
【分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.
【详解】因为，，，所以.
故选：A
2．C
【分析】根据零点存在定理判断．
【详解】是单调递增函数，
又，
，
求所零点在区间．
故选：C．
3．C
【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
4．D
【分析】使用排除法，由奇偶性可排除B、D，由时，可排除C.
【详解】，又定义域为，故函数为偶函数，
可排除B、D，当时，，故可排除C.
故选：D.
5．D
【分析】利用函数的单调性和奇偶性逐个判断即可.
【详解】易知为非奇非偶函数，为偶函数，且在上单调递减，为非奇非偶函数，是偶函数，且在上单调递增.
故选：D.
6．B
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，则，单调递减，
，单调递增，且在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.
故选：B
7．D
【分析】根据函数有意义可得到一元一次不等式组，解之即得.
【详解】要使函数有意义，须使解得：,
即函数的定义域为.
故选:D.
8．C
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.
【详解】因为，
所以由可得，
化简可得，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
9．BD
【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：因为，所以在定义域上单调递减，又，
所以，故A错误；
对于B：因为，所以在上单调递增，又，
所以，故B正确；
对于C：因为，所以在上单调递减，又，
所以，故C错误；
对于D：因为，所以，则，
所以，故D正确；
故选：BD
10．ABD
【分析】由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.
【详解】当时，，当时，，当时，，
由图像可知，，此时，解得，故A对；
因为关于对称，所以，又，
，故B对；
由，得 ，由，得 ，
由，得 ，故C错；
，故D对.
故选：ABD

11．BCD
【分析】根据题意可转化为二次不等式的解集为的子集，据此列出不等式求解.
【详解】由可得，
由可得，
因为是关于的不等式成立的必要条件，
所以二次不等式的解为集合的子集，
所以即可，解得，
故选：BCD
12．ABC
【分析】对于A，利用偶函数的定义判断即可；对于B，讨论和时的单调性及最值即可判断；对于C，的图象与直线有2个交点，等价于方程有两个实数根，根据的图象即可得到结果；对于D，由C项分析知，线段的长度为即可判断选项.
【详解】，所以是偶函数，正确.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时的图象与直线没有交点.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，此时的图象与直线没有交点，
故的图象与直线一定没有交点，B正确.
令，则，即.若的图象与直线有2个交点，
则1，解得.又因为且，所以的取值范围是，C正确.
由，解得，所以，错误.
故选：ABC.
13．/
【分析】利用对数的运算法则与指对数互化求得，从而得到，进而得解.
【详解】因为，则，所以，
则，所以.
故答案为：.
14．
【分析】由对数型复合函数单调性可知，在上恒成立，且在定义域内单调递增，且在上单调递增，进而可求得结果.
【详解】令，则，
由复合函数单调性可知，在上恒成立，且在定义域内单调递增，且在上单调递增，
又的对称轴为，
所以，解得.
故答案为：.
15．
【分析】结合使得分式型函数、对数函数、抽象函数有意义列式求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，
所以对于有，
解得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
16．
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得：，解得，所以，
当时，得，即，
两边取对数得（其中应用换底公式：）.
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年.
故答案是：.
17．(1)1个零点，分别为
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）将方程解的个数转化为两个函数的交点个数，研究函数性质，画出函数图象，根据图象分情况讨论求交点个数即可.
【详解】（1）当时，，
当时，令，无解，
当时，令，解得或（舍去），
所以有1个零点，为；
（2）令，且
则，即，
则方程的解的个数即为两个函数的交点个数，
设，
对于函数，其在上单调递减，在上单调递增，最小值，
对于函数，其在上单调递增，且为其零点，
根据以上函数性质画出函数的图象如下：
当时，如图：
函数与函数，
①无交点，②一个交点，③两个交点，④3个交点，
解得①，②，③，④
当时，如图：
函数与函数，
①无交点，②一个交点，③两个交点，④3个交点，
解得①②③无解，④，
当，即时，，有3个交点，
综上所述：当时，方程无解；当时，方程一个解；当时，方程两个解；当时，方程3个解.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程根的个数转化为两个函数图象的交点个数，分析函数图象，注意分段函数定义域对函数图象的影响.
18．(1)是“速增函数”，不是“速增函数”
(2)
【分析】（1）根据“速增函数”的定义，利用作差法可判断函数；根据“速增函数”的定义，通过举反例可判断函数.
（2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）对于函数，
当时，有；
因为，
所以，
故根据“速增函数”的定义可得：是“速增函数”.
对于函数，
当时，有，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”.
（2）因为是“速增函数”，
根据“速增函数”的定义可得：
当时，恒成立；
当时， 恒成立.
由当时，恒成立可
得：对一切正数n恒成立.
又因为当时，，
所以对一切正数n恒成立，
所以，即.
由当时， 恒成立，可得：，
即对一切正数恒成立.
因为
，
所以，
又因为当时，，
所以，
由对一切正数恒成立，可得，即．
综上可知，a的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体考查恒成立问题、指数运算法则和指数函数的单调性.第（1）问解题关键在于理解函数新定义；第（2）问利用转化的思想将所求问题转化为不等式恒成立问题，再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解.
19．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）计算出的值，即可证得结论成立；
（2）对参数、的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值.
【详解】（1）证明：因为，故函数的图象过定点.
（2）当时，
由，可得，即，
由，可得，即，
即，
因为，所以，
所以，函数在上单调递增，则；
当时，
由可得，即，
由可得，即，
所以，
若，则，
此时，函数在上单调递增，则；
若，则，
当时，函数在上单调递减，此时，；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则.
综上所述，在上的最小值为.
【点睛】思路点睛：本题考查含参函数在闭区间上的最值问题，对于这类问题，要注意对参数的取值进行分类讨论，并分析函数在区间上的单调性，再结合单调性求解.
20．(1)
(2)
【分析】（1）先求解出的定义域，然后根据求解出的值，结合对数函数的单调性求解出不等式的解集；
（2）通过换元法令将变形为函数，然后将问题转化为“为时的值域的子集”，最后通过分类讨论求解出的取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，
解得，故函数的定义域为，
由，可知，得到，即，
解不等式，即，解得，
所以不等式的解集为；
（2）由（1）可知，
设，则当时，，
因为对勾函数时为增函数，
故，
则，
设，由题意知为时的值域的子集，
当，即时，在上单调递增，
故，解得；
当，即时，在上的最大值为中的较大者，
令，与矛盾，
令，与矛盾，
故此时；
当，即时，在上单调递减，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛： 一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）借助函数奇偶性运算即可得；
（2）令，则可将原不等式转化为，结合基本不等式即可得.
【详解】（1）由函数分别是定义在上的偶函数与奇函数，，
则，
有，即，
则，即；
（2）对，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
令，由随增大而增大，故随增大而增大，
故时，，
，
即可化为，
即，对恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为.
22．(1)，定义域为
(2)16天
【分析】（1）选出正确的函数模型后求参数即可.
（2）利用分段函数分别求解后再比较即可.
【详解】（1）由表格中的数据知，当时间增加时，先增后减，
而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，所以选择模型②：.
由，可得，解得，所以.
由解得
所以，定义域为.
（2）由（1）得，
设绿色产品的日销售收入为（单位：元），
则，
当，时，，
解得，所以，；
当，时，，
解得，所以，.
所以这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数为16天.
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