2023-2024学年人教A版必修第一册第5章三角函数能力提升卷（含解析）

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2023-2024学年人教A版必修第一册第5章三角函数能力提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．函数在区间上的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是三角形的一个内角，满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．
B．
C．至少有一个，使x能同时被3和5整除
D．每个平行四边形都是中心对称图形
10．已知函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图象过点，，其部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．将的图象向右平移个单位后所得图象关于原点对称
12．亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．在区间上单调递减
D．若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为
三、填空题
13．已知，则 .
14．已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ．
15．设，，均为实数，若，则的值为 .
16．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点，且点的横坐标为，则 ．
四、解答题
17．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴.
(1)求；
(2)若在区间上的值域为，求的解析式.
19．已知函数的图象的一个对称中心为．
(1)求的单调减区间；
(2)求的最小值，并求出此时的取值集合．
20．已知函数.
(1)求函数在内的单调递减区间；
(2)若，判断函数在区间内的零点的个数.
21．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间和最小正周期；
(2)若当时，不等式有解，求实数的取值范围.
22．对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)已知函数为上的奇函数，函数，为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用图象的平移解决问题.
【详解】，
，
故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.
故选：C
2．A
【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为，
又，则，所以，
故，则函数的最小值为0.
故选：A．
3．A
【分析】由题意得函数为奇函数，排除C，由零点存在定理可知函数的图象与轴有交点，结合排除法、检验法即可得解.
【详解】因为的定义域为，又，可知函数为奇函数，故排除C选项；
当时，有，，此时，
当时，有，，此时，
所以函数的图象与轴有交点，故排除B，D选项.
而A选项满足上述条件.
故选：A.
4．B
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式,可求的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简，即可计算得解．
【详解】因为，两边平方得，
即，可得，
因为是三角形的一个内角，且，所以，
所以，得，
又因为，，
联立解得：，，故有：，
从而有．
故选：B．
5．B
【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求解.
【详解】由扇形的半径为，圆心角为，
可得该扇形的面积为.
故选：B.
6．B
【分析】利用辅助角公式化简，结合特殊角的三角函数值求出即可得解.
【详解】由，得，即，
由，得，则，即，
所以.
故选：B
7．D
【分析】由正弦展开式和三角函数化简求值得出.
【详解】，
所以，
所以，
解得．
故选：D
8．D
【分析】分析图象，由周期性可得，由最大值点可得，由与轴交点可得.
【详解】，故，则，又，故，
，故，，
解得，，又，故，
则，故，
即.
故选：D.
9．BC
【分析】根据存在量词命题的定义及真命题的判定即可依次判断各选项.
【详解】对于A，因为所有实数的绝对值非负，即，所以A是假命题；
对于B，当时，满足，所以B是真命题；
对于C，15能同时被3和5整除，所以C是真命题；
对于D，是全称量词命题，所以不符合题意．
故选：BC．
10．AB
【分析】先整体思想求函数的单调增区间，再利用包含关系列不等式求解.
【详解】由，
得，
所以所以.
令得.又，所以.
故选:AB.
11．BC
【分析】根据函数图象求出，结合三角函数的性质对选项依次判断即可得出答案.
【详解】由图象得，，则，
由，因为，所以或，
又函数图象过点，由五点画图法知：，
若，所以，解得：；
若，所以，解得：；
由图可知，，则，解得：，所以，，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，，
而正弦函数在上为增函数，
可得在区间上单调递增,故C正确.
对于D，将的图象向右平移个单位可得：
，不为奇函数，故D错误.
故选：BC.
12．BCD
【分析】根据正弦型函数周期公式判断A，根据正弦型函数的对称轴判断B，再由正弦型函数的单调性判断C，根据平移后图象关于y轴对称，利用诱导公式求解判断D.
【详解】图象关于直线对称，
，得，故A错误；
所以，当时，，即，故B正确；
当时，，由正弦函数单调性知函数单调递减，故C正确；
由题可知平移后函数为，
则的最小值为，故D正确．
故选：BCD．
13．0
【分析】利用同角的三角函数关系直接求解，注意分类讨论．
【详解】因为且，可知为第二象限角或第三象限角，
由得
（1）当为第二象限角时，，，；
（2）当为第三象限角时，，，；
综上可知：.
故答案为：0.
14．，（答案不唯一，横坐标只需符合）
【分析】根据的性质，求函数的对称中心只需满足求解即可.
【详解】根据，得，则，
令，即，
所以．
故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合）
15．
【分析】根据诱导公式求得正确答案.
【详解】
，
所以
.
故答案为：
16．
【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用三角函数定义求解即得.
【详解】依题意，设点，由，得，
所以.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）由齐次的弦求出正切值，代入两角和的正切公式计算即得；
（2）利用二倍角公式和诱导公式化简,构造分母1使分子分母齐次，再化弦为切计算即得.
【详解】（1）由可知，则，
故，即的值为.
（2） .
即的值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意由可得，再结合为曲线的对称轴即可确定的值；
（2）由题意确定区间的长度小于一个周期，即可确定，分类讨论，讨论函数在何时取最值，结合正弦函数的性质，求出，经验证即可确定其值，从而求得答案.
【详解】（1）由题意知为函数的最小正周期，故；
由得，而，故或；
又直线为曲线的对称轴，即，
则，结合，可知；
（2）由（1）可知，在区间上的值域为，
可知区间的长度小于一个周期，即，
由，得，
①若，则，即，
则，此时，函数最大值为1，不符合题意；
②若，则，即，
则或，
当时，，函数取不到最大值，不符合题意，
当时，，函数最大值为，不符合题意；
③若，则或，
则或，则，
此时，函数取不到最小值，不符合题意；
④若，则或，
则或，则或或，
当时，，能满足题意，此时；
当时，，函数最大值为1，不符合题意，
当时，由上面分析可知不符合题意，
综合以上可知.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于的确定，解答时要根据在区间上的值域为，分类讨论，结合三角函数的最值求出参数的值，经验证可确定参数的取值.
19．(1)
(2)最小值是，此时的取值集合是
【分析】（1）由对称中心求出函数的解析式，然后将解析式化为，求解单调递减区间即可；
（2）当时，有最小值，并求出此时的取值集合即可.
【详解】（1）因为的图象的一个对称中心为，
所以，
解得，又，所以，
所以，
令，
解得，
所以的单调减区间是．
（2）当时，，
令，解得，
所以的最小值是，此时的取值集合是．
20．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用三角函数性质求单调区间即可.
（2）利用数形结合法判断零点个数即可.
【详解】（1））令，，得，，
所以在上的单调递减区间为.
又，所以的单调递减区间为，.
（2）由（1）知在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，，，，.
函数的零点个数，即方程的根的个数，
也就是函数与的图象的交点总个数，
所以当时函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点；当时，函数无零点.
21．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知的取值范围.
【详解】（1）
.
所以函数的最小正周期.
由，解得.
所以函数的单调递减区间为.
（2）由题意可知，即.
因为，所以.
故当，即时，取得最大值，且最大值为.
所以，实数的取值范围为.
22．(1)是“函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）直接由新定义判断方程是否有解即可.
（2）由题意得首先得，然后对分类讨论，将问题转换为方程有解求参数范围即可.
【详解】（1）由题意，若函数在定义域内存在实数，满足，
可得，即.
当时，上式成立，所以存在，满足，
所以函数是“函数”.
（2）因为函数为上的奇函数，
所以，所以，经检验满足条件，
所以，所以，
所以，定义域为.
①当在区间上存在，满足时，
则，即.
令，则，当且仅当时取等号.
又，所以，即，
所以，
所以，
②当在区间上存在，满足时，
则，即有解.
因为在区间上单调递减，所以.
③当在区间上存在，满足时，
则，即有解.
因为在区间上单调递增，所以.
综上所述，实数m的取值范围为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先求得表达式，结合分类讨论以及方程有解即可顺利得解.
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