2023-2024学年人教A版必修第二册平面向量及其应用解答题专项特训（含解析）

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2023-2024学年人教A版必修第二册平面向量及其应用解答题专项特训
1．已知中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，且，求.
2．在中，角的对边分别是．
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长．
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求a；
(2)若，，求的面积S．
4．记钝角的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的面积；
(2)若线段上存在点，使得，求的取值范围．
5．如图，直线，，，为线段上一点，且，点、分别为直线、上的点，且，设.
(1)当，求的面积；
(2)用表示的面积，并求的最小值.
6．在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D是线段EF上靠近点F的三等分点，且．
(1)求函数的最小值；
(2)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，的面积为，求a的值．
7．锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)证明：.
(2)求的取值范围.
8．在圆内接四边形中，已知，，平分．

(1)若，求的长度；
(2)求的值．
9．如图，在中，已知点在边上，且，，，．

(1)求的长；
(2)求．
10．，的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求.
11．在中，点为边上一点，满足，，．

(1)求；
(2)求．
12．已知平面四边形中，对角线平分角与相交于点，且，

(1)求的长；
(2)若，求的面积.
13．记的内角的对边分别为，的面积为，，是上的一点．

(1)若，求的大小；
(2)若，，求的最大值．
14．已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
15．如图，在凸四边形中，.
(1)若，求的长；
(2)若该四边形有外接圆，求的最大值.
16．如图，在四边形中，.
(1)证明：.
(2)证明：.
17．记的内角的对边分别为，已知（）.
(1)求；
(2)若是角的内角平分线，且，求周长的最小值.
18．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值以及点到直线的距离．
19．在中，内角的对边分别为.若.
(1)若，求边上的中线的长；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
20．在中，已知，，．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积.
21．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若边上的中线长为，，求的周长.
22．平面直角坐标系中，，为坐标原点.
(1)令，若向量，求实数的值；
(2)若点，求的最小值．
23．的内角的对边分别为，且满足．
(1)求的值；
(2)若，的面积为3，求的值．
24．已知的三内角所对的边分别是，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求三角形周长的最大值．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化再结合余弦定理化简即可得出答案.
（2）在由余弦定理求出，即可得出，在中由余弦定理求解即可得出答案.
【详解】（1）由，得，
即，.
所以，故.
（2）在中，，，，
由余弦定理可得：，
化简可得：，解得：或（舍去）.
又因为，故.
在中，，
故.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换化简求得，从而得解；
（2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理求得，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以，则．
由正弦定理得，
因为，所以，可得，
因为，所以．
（2）因为的面积为，
所以，即，解得，
又，所以由余弦定理得，
则，得，得，
所以的周长为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，结合两角和的正弦公式求解出的值；
（2）根据正弦定理以及同角的三角函数关系式求解出，再根据的结果求解出，则三角形面积可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以；
（2）因为，所以，
又因为且，所以，
所以，所以，
所以，且，
解得，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的倍角公式求得，进而利用三角形的面积公式即可得解；
（2）设，，利用勾股定理得到，再利用两边和大于第三边，结合余弦定理与基本不等式即可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，即，
因为，所以或，即或（舍去）,
所以，则，，
故.
（2）作，如图，

因为，所以，则是的中点，
设，则，
当在上，则；
当在上，则；
综上，，
在中，，
在中，，
即，整理得，
因为，则，，
又，则，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，.
5．(1)
(2)，；
【分析】（1）根据题意可得，结合面积公式运算求解；
（2）根据题意可得，，再利用面积公式结合三角恒等变换整理得，再根据正弦函数的有界性求最值.
【详解】（1）由题意可知：，，
当，则，
在中，可得，
在中，可得，
所以的面积.
（2）因为，则，
在中，可得，
在中，可得，
所以的面积
，
即，，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值1，
即取到最小值，
所以取到最小值.
6．(1)3
(2)
【分析】（1）由和得，由求出函数解析式，由正弦性质，在时，求的最小值；
（2）由求出角A，由的面积求出c边，余弦定理求a的值.
【详解】（1）∵，，，
点D是线段EF上靠近点F的三等分点，,则，
∴，
∴，
∴．
由，得，
∴当，即时，取得最小值，为．
（2）由（1）及，得，则，
由，得
∴，则．
由，可得，
在中，由余弦定理得，∴．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到的关系，再通过正弦定理完成证明；
证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到的关系，再通过正弦定理完成证明；
（2）根据三角形是锐角三角形分析出的范围，结合（1）的结论求解出的范围.
【详解】（1）证法一：因为，
所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，
所以，
由正弦定理得，即；
证法二：因为，
所以，所以，
又因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
由正弦定理可得，即.
（2）由上可知，则，解得，
又因为，所以，
所以的取值范围是.
8．(1)
(2)
【分析】（1）由同弧的圆周角相等，结合已知条件有，在和中，由余弦定理列方程组求的长度；
（2）设，在和中，由余弦定理得，，在和中，由余弦定理得，，代入求值即可.
【详解】（1）平分，有，
又，，所以，有，
由，，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，，
则有.
（2）由（1）知，有，设，
在和中，由余弦定理得，
，
有，解得，
又，，，
，在和中，由余弦定理得，
，即，
得，即，
.
9．(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积可知，结合诱导公式可得，在中利用余弦定理可构造方程求得，结合三角形大边对大角的性质可得最终结果；
（2）由同角三角函数关系可得，在中利用正弦定理可求得，结合诱导公式可求得结果.
【详解】（1），，，
在中，由余弦定理得：，
即，，
解得：或；
，，，.
（2）由（1）知：，，
在中，由正弦定理得：，
，.
10．(1)7
(2).
【分析】（1）利用，展开后代入数量积公式求得答案；
（2）由与互相垂直，得，展开后化为关于的方程求解.
【详解】（1），的夹角为，，，
.
故.
（2）若与互相垂直，则，
即.
所以，整理得，
即，解得.
11．(1)
(2)
【分析】（1）先，根据已知条件求，利用正弦定理解三角形求；
（2）先求，再根据范围求角.
【详解】（1），，且，,
则，，
，；
，，
，，
，
,，解得：.
（2）
，
而.
12．(1)
(2)
【分析】（1）设，由余弦定理和数量积的定义可求出，即可求出，再由三角形的面积公式求解即可得出答案；
（2）由正弦定理求得，再由题意结合两角差的正弦公式可求出，再由三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）设，在中，由余弦定理，
又，解得.
.
又对角线平分角，
解得，
.
解得：.

（2）在中，由正弦定理可得，
则.
由于在为锐角，所以.
因为，所以.
所以.
在等腰中，，
解得.
因为，所以
，
所以.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式、商数关系以及余弦定理运算即可求解.
（2）由数量积的定义、向量自身的平方以及向量的分解结合已知条件和基本不等式即可求解.
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴且，
∴．
（2）∵，
∴，又∵，
∴，
∴，
整理得，又∵，
∴，当且仅当，即，时，取等号，
∴的最大值为．
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出；
（2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值.
【详解】（1）已知，，
，
，
；
（2）设向量与的夹角的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦值为.
15．(1)
(2).
【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式，结合余弦定理求解即得.
（2）根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可求出最值.
【详解】（1）在中，由，得，
则，
在中，由余弦定理得，
所以.
（2）由四边形有外接圆，得，令此圆直径为，
由正弦定理得，又，则，
而，因此，
设，则，
在中，由正弦定理，得，则，
在中，同理得，
因此，
由，得，则当，即时，取得最大值1，
所以的最大值是.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）中，根据正弦定理，即可求解；
（2）首先根据（1）的结果求，再在中，根据余弦定理求，根据和，求，即可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，解得，
所以，则.
（2）由（1）知，
在中，由余弦定理得，
则.
在中，.
所以，
因为，所以，
所以，
故.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解;
（2）由是角的内角平分线，可得到，化简得到，表示出周长，利用基本不等式计算即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：,
所以
因为在内，有,所以，
所以,
所以,或，
即， 或，由，故.
（2）因为是角的内角平分线，且，
所以,即，
整理得：，所以，所以，
当且仅当时，上式取到最小值，
在中由余弦定理可得：，
所以周长：
，
当且仅当时，等号成立，所以周长的最小值为.
18．(1)
(2)，距离为
【分析】（1）首先根据余弦定理得到，再利用三角恒等变换和正弦定理即可得到值；
（2）根据向量中线式得到，代入数据得到值，再利用余弦定理和勾股定理逆定理以及面积法即可求出答案.
【详解】（1）因为，则，
则，因为，故，
，即，
化简得，即，则.
（2）因为，则为中点，因为，
两边同平方得，
即，
即，解得（舍去）或4，
则，解得，
则，则，则，则，
则点到直线的距离.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由条件结合正弦定理得，结合题意得的三边长，求得，在中利用余弦定理求出；
（2）由题意知：且．要使是锐角三角形，只要．由解得，由余弦定理得的表达式，进而可得的取值范围.
【详解】（1）在中，由于，
所以，结合题意得，即
故的三边长分别为，
所以，
在中，，
故．
（2）由题意知：且．
要使是锐角三角形，只要．
故，解得：，
又，
由，得，所以，
故的取值范围是
20．(1)或
(2)
【分析】（1）利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出，再利用正弦定理求出角；
（2）根据得到点为三角形重心，由直接求解即可.
【详解】（1），
在三角形中，，
，，，
在中，，
，
又，
，，
由正弦定理，得，
，或；
（2）因为为锐角三角形，所以，
，
点为三角形重心，
所以，
又，
所以，
所以的面积为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式，化简即可得解；
（2）利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
则
，
因为，所以，则，
又，所以.
（2）记的中点为，则，又，，
所以，即，
整理得，解得（负值舍去），
所以，
所以，
则，所以的周长为.
22．(1)或
(2)5
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标运算，求实数的值；
（2）利用向量模的坐标运算和函数的单调性，求的最小值．
【详解】（1），
所以，
由得，
解得：或.
（2）因为，
所以，
因为，均为单调递增函数，
所以当时，，
即的最小值为5．
23．(1)
(2)
【分析】（1）由内角和定理与两角和的正切公式展开化简可得；
（2）化切为弦，由两角和的余弦公式得，由同角三角函数关系得，再由正弦定理及三角形面积公式建方程解边即得.
【详解】（1）由，
得，
则，两边同除以得，
，
解得；
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
由正弦定理可得，
∴，，
∴，
，
∴．
24．(1)
(2)
【分析】（1）由得再结合正弦定理及正弦函数两角和公式即可求解；
（2）利用余弦定理及结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由已知，且，
所以，
由正弦定理得，
即，
即，
因为，所以，所以，
因为，所以.
故角的大小为.
（2）由（1）及题意知，，
所以由余弦定理得
，
当且仅当时取等号，
所以，则，
所以周长的最大值.
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