第二十七章 相似综合自检卷（含解析）

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2023-2024学年人教版数学九年级下册第二十七章相似综合自检卷
一、单选题
1．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若a，b，b，c是成比例线段，其中，则线段b的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．15
4．如图，点E是线段BC的中点，，下列结论中，说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正方形和中，连接交于点，，，是的中点，那么的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
6．如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图像，点A和点在上，线段OA交于点，线段OD交于点．下列结论中正确的为（ ）．
A． B．
C．为中点 D．
7．如图，在等边的边上分别取点A，B，C，使，连接，．甲、乙、丙三人说法如下：
甲：一定是等边三角形．
乙：若点O是的外心，则它一定也是的外心．
丙：若，则的长是内切圆半径的长的2倍．
则下列判断正确的是（ ）
A．只有甲的说法正确 B．只有丙的说法不正确
C．只有乙的说法不正确 D．甲、乙、丙的说法都正确
8．如图，正方形 和正方形 的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．是的中点，且的平分线过点交于点连接交于点，连接交于点．给出以下结论∶①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．若，则的值为 ．
10．若四边形四边形，且，则四边形与四边形的面积之比为 ．
11．如图，在中，，是的三等分点，.
（1）若，则 ；
（2） .
12．如图，在中，，，，，分别为，的中点，为边上动点，为直角三角形，点在的上方，且，．
（1）若点与点重合，则的长是 ；
（2）点运动过程中的最小值为 ．
13．如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ．

14．如图，，，，则 ．
15．如图，在矩形中，分别为边的中点，与分别交于点．
（1） ．
（2）若，则 ．
16．如图，在等腰中，，，D在边上，E在上，若，，，则的值是 ．

三、解答题
17．如图，在矩形中，点E为的中点，连接，过点A作，垂足为F．

(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)连接，求证：．
18．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
19．如图：在中，点是上的一点，与相交于点

(1)如图（1），与相似吗？请说明理由．
(2)如图（2），若点E为中点，那么与有怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图（3），在（2）的条件下，延长交的延长线于点G，图中共有几对相似三角形？请写出来．
(4)在（2）（3）的条件下，请直接写出的值．
20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将抛物线向左平移个单位，再向下平移若干个单位，得到抛物线，与轴交于．
(1)求的函数表达式；
(2)点在轴上，，过作轴的垂线分别与，相交于，，若，求点的横坐标；
(3)若抛物线与轴交于，两点（在的右侧），点在抛物线上，且位于第三象限，连接交于，记的面积为，的面积为，求的最大值．
21．如图，已知：中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点．求证：．
22．如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当位于轴右边的抛物线上运动时，过点作直线，为垂足．当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形与相似？并求出此时点的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的高线之比等于相似比以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵这两个相似三角形对应高的比为，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形的面积比为．
故选C．
2．C
【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例得到是解决本题的关键．
【详解】解：，
，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．直接根据成比例线段的定义建立方程，解方程即可得．
【详解】解：∵是成比例线段，其中，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
经检验，是所列方程的解，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据三角形外角的性质可判断选项A，根据两角对应相等的三角形相似，即可判断选项B，根据相似三角形的性质和线段中点定义，即可判断选项C，对于选项D，利用反证法即可判断．
【详解】解：∵，，
∴，
故选项A正确，但不符合题意；
又，
∴，
故选项B正确，但不符合题意；
∴，
又，
∴，
故选项C正确，但不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
若，
则，
∴，
根据现有条件无法判断，故，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用，梯形中位线等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．过作与，证明，得，而，，可得，，又，可知，，，从而．
【详解】解：过作与，如图：
四边形和四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
为中点，
为中点，
，，
，
．
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点，理解反比例函数中k的几何意义是解题的关键．
分别过B、A作轴，轴，即；根据反比例函数中k的几何意义可得；再证可得，进而得到，即可，可判定D选项符合题意．
【详解】解：如图：分别过B、A作轴，轴，则
∴
∵，
∴，
∴，
同理：，即：
∴，即,故D选项正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即A选项错误；
∵，
∴，即C选项错误；
∵，
∴点为不一定为中点，故B选项错误．
故选D．
7．D
【分析】证明，则，同理，，则，一定是等边三角形，进而可判断甲的正误；如图，连接，由点O是等边的外心，可得，，证明，则，同理，，则，点一定也是的外心，进而可判断乙的正误；由，可得，，设内切圆半径的长为，，则，由勾股定理得，，如图，作于，则，由题意知，，证明，则，可得，由，可得，计算求解，进而可求，可判断丙的正误．
【详解】解：∵等边，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理，，
∴，一定是等边三角形，甲正确，故符合要求；
如图，连接，
∵点O是等边的外心，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴点一定也是的外心，乙正确，故符合要求；
∵，
∴，，
设内切圆半径的长为，，则，
由勾股定理得，，
如图，作于，则，
由题意知，，
∵等边，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得，，
∴，丙正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外心，三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外心，三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键．
8．A
【分析】①先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，即可判断①的正误；
②首先证明 ，则有，进而可得，由此可判断②的正误；
③通过直角三角形斜边中线的性质得出点H在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出，即可判断③的正误；
④先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为 ，则可判断④的正误．
【详解】∵四边形和四边形是正方形，
∴ ．
在和中， ，
，
，
，
，
，
，故①正确；
∵平分，
，
，
，
在和中， ，
，
，
，
，故②正确；
是直角三角形，是的中点，
，
点H在正方形的外接圆上，
，
，
，故③正确；
∵四边形是正方形，．是的中点，
∴，
，
，
，
是的中位线，
，
，
∴，
，
，
，
与高相同，
，
，
，
，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键．
9．/
【分析】本题考查比例的性质，根据得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：四边形四边形，，
四边形与四边形的面积比，
故答案为：．
11． 6
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键．
（1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果．
（2）由相似三角形的性质可得结果．
【详解】解：（1），
，
，
，是的三等分点，
，
，
，
故答案为：6；
（2），
，是的三等分点，
，
，
；
故答案为：．
12．
【分析】（1）当点与点重合，与重合，根据勾股定理及为的中点，可求的长度，由为直角三角形，，可求的长度，
（2）当点与点重合时，设点的位置为，由，可得，求得，从而确定点的运动轨迹，根据点到直线距离垂线段最短，求出的最小值．
【详解】解：（1）根据题意作图，当点与点重合时，
，，，
，
点为的中点，
，
又，，
，
，
故答案为：；
（2）当点与点重合时，设此时点的位置为，点的位置为，连接点、，
，
，，
，即，
，
，
又，
点的运动轨迹在直线上，
分别过、作直线、的垂线，垂足分别为、，的长度即为的最小值，
，
，
，
，解得：，
，
故点运动过程中的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形内的三角函数，相似三角形的判定与性质，点到直线距离垂线段最短，解题的关键是：
（1）熟练应用勾股定理及三角函数进行求值，
（2）通过相似三角形的判定与性质，确定点的运动轨迹．
13．或
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，分两种情况：与对应；与对应，根据相似三角形的性质分别作答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
【详解】设运动时间为时，以点，，为顶点的三角形与相似时，
则，，，
与对应，，
∴，
即，
∴；
与对应时，，
∴，
即，
∴，
∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，
故答案为：或．
14．27
【分析】根据三角形面积比，求出的比值，再由相似三角形面积比等于相似比的平方，求出的值，本题考查了等高三角形面积比等于底边比，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：找到图中的相似三角形，并根据相似比求出面积．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
∴，
故答案为：27．
15．
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：
（1）延长交的延长线于点M，证明，得，，由点P是的中点，得，再证明，根据相似三角形的性质列式求解即可；
（2）由（1）知，得，即，设，则，得，同理可求，再求出，可得，从而可得．
【详解】解：延长交的延长线于点M，如图，
∵为的中点，四边形是矩形，
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】结合，，将绕点逆时针旋转到的位置，连接，作交于，利用含的直角三角形易求得，可得，过点作交于，设，则，由勾股定理可得：，即：，可求得，进而可得，则，可得，过点作交延长线于，则，设，则，可得：，即：，求得 ，则，易证，即可得．
【详解】解：∵，，
∴将绕点逆时针旋转到的位置，连接，
则，，，，
∴，
作交于，则，，
∴，
∴，
过点作交于，设，则，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，则，

延长，使得，则，
又∵，，
∴，
∴，则，亦即是等边三角形，
∴，则，
∴，
∴，

过点作交延长线于，则，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，解得：，
∴，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合，考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，含直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求出相应边的长度是解决问题的关键．
17．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质勾股定理等知识：
（1）证明和，从而可证明；
（2）由得，由可求得，设，则，求出，由勾股定理，得，代 入得方程，求解方程可得出，从而可得；
（3）延长相交于点G．证明，求得，进一步可证明．
【详解】（1）解：四边形是矩形，

，．
．
，
．
．
（2）解： ，点E为的中点，，
．
，
．
．
设，则．
．
由勾股定理，得，
即．
解这个方程，得，（舍去）．
．
（3）解：如图，延长相交于点G．

，
，．
，
．
．
，
．
，
．
18．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，，由等腰三角形的“三线合一”性质可得，从而有是的中位线，根据中位线的性质即可求证；
（）由，得，证明，由性质可知即可求解；
此题考查了三角形的中位线，平行线的性质，等腰三角形的“三线合一”性质和相似三角形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴=．
19．(1)相似，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)图中共有6对相似三角形，，，，
(4)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质和平行四边形的性质．
（1）结论：．利用平行四边形的性质得，再根据相似三角形的判定即可证明．
（2）结论：．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
（3）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定即可得出结论．
（4）由（2）知，则，再证明，得，即可求解．
【详解】（1）解：
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
．
（2）解：，
理由：是BC中点，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
由（1），
，
．
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，即，，
∴；，，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，即，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴．
∴图中共有6对相似三角形，， ，，．
（4）解：由（2）知：，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∴，，
是BC中点，
，
∴，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设：，将点代入，即可求解．
（2）依题意，根据建立方程，解方程，即可求解；
（3）过点分别作轴的垂线，交于点，得出，，直线的解析式为，证明得出，设，则，得出，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵将抛物线向左平移个单位，再向下平移若干个单位，得到抛物线，
设：，
∵与轴交于．
∴点在上，
∴
解得：
∴
（2）解：如图所示，
∵在轴上，，则
∴，
∴，
∵
∴，
解得：；
（3）解：如图所示，
过点分别作轴的垂线，交于点，
∵，当时，
解得：
∴，
由，设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
∵
∴
∴
∵的面积为，的面积为，
∴，
∵，则，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，线段的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，进而可得，再利余角的性质得，可证，得，即可证明结论，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键．
【详解】证明：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∴．
∵于点，
∴，
∴中，，
又∵中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)或
【分析】本题二次函数的综合应用，本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
（1）将点，的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）由函数解析式求得点的坐标，从而得到为等腰直角三角形，故此当F时，以，，为顶点的三角形与相似．设，则，构建方程从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
根据题意列出关于的方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线与轴相交于点，
当时，得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵以，，为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形，又直线，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
当时，
解得：（舍去），；
当时，
解得：（舍去），，
综上所述，或，
∴点的坐标为或．
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