第二十八章 锐角三角函数综合自检卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数综合自检卷
一、单选题
1．在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，若要测量小河两岸正对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，．当点位于最高点时，．此时，点到地面的距离为（ ）

图1 图2
A．米 B．5米 C．米 D．米
5．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，若支撑臂与旋转臂的夹角，则之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在菱形中，于点，，，则的值为（ ）

A． B． C．2 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点O在坐标原点，且，反比例函数的图象经过点B和点C，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示）
10．如图，正方形的边，点E、F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 ．
11．如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是 ．
12．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值是 ．
13．如图，在菱形中，于点E，，，则的长为 ．
14．如图，在矩形中，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若，那么＝ ．
15．如图，O为菱形对角线的交点，点E和点F分别在边和边上，，连接，若菱形的边长为20，，则面积的最大值为 ．
16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，，则的值为 ．
三、解答题
17．如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形组成，所在直线表示地平面，E点表示隧道内的壁灯，已知，从A点观测E点的仰角为，观测C点的俯角为（参考数据的值取4）．

(1)求长；
(2)求壁灯的高度．
18．如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
19．如图，等边的边长为8，的半径为，点O从A点开始，在的边上沿方向运动．
(1)从A点出发至回到A点，与的边相切______次；
(2)当与边相切时，求的长度．
20．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为．求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到，参考数据：）
21．如图，在中，，，，点在上，且．
(1)求的长；
(2)求的值．
22．如图，四边形的对角线与交于点，已知．

(1)若，求的值；
(2)若，，，．
①设的面积为，的面积为，求的值；
②求的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了正弦的知识，理解并掌握正弦的定义是解题关键．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，据此即可获得答案．
【详解】解：如下图，
由题意可知，，，，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值．根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选：C
3．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据正切的定义可得米．
【详解】解；在中，米，
∴米，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意，构造直角三角形是解答本题的关键．
过点作，过点作于点，求出，进而求出，由此得到答案．
【详解】解：如图，过点作，过点作于点，
米，，
米，
，，
，
在中，
（米），
此时，点到地面的距离为米，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先作于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出，解题的关键是明确题意，正确作出辅助线．
【详解】解：作于点，如图，
∵，
∴平分，点平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6．A
【分析】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），根据直角三角形中三角函数的求法得出答案．
【详解】解：如图：

、，则，故此选项结论错误，符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意．
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，先解得到，再由勾股定理求出，由菱形的性质得到，则，据此根据正切的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴在中，，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标为根据等角的余角相等，可得，依据点坐标，可得，再利用平移性质，可得点坐标，点、同在反比例函数图象上，建立关于的方程，联立方程组得、值，值即可算出．正确表示点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
设点，
，
，
四边形是矩形，
点可看作是由点平移得到的，
点可看作是点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，
，
点、都在反比例函数图象上，
，即，
，
，
，，
．
故选：．
9．
【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值．
【详解】解：在中，，
，海里，
（海里），
故答案为：．
10．/
【分析】本题主要考查弧长的计算，解直角三角形，正方形的性质，先求出，再运用弧长公式进行计算即可得到结论．
【详解】解：∵点E、F为正方形边的中点，
∴
在中，，
∴，
∴，
同理可求出，
∴，
∴长为，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，根据四边形是正方形，得，，由点在边上，得，，然后利用勾股定理求出，进而可得的余弦值．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
点在边上，
，，
，
的余弦值是，
故答案为：．
12．/0.6
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 熟记余弦的定义是解本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：∵是边上的中线，，
∴，
∴．
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了菱形的性质，三角函数及勾股定理等知识；设菱形边长为x，由得的长，由建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得结果．
【详解】
解：设菱形边长为x，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用求解，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到，的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
15．40
【分析】过点E作，交延长线于G，先根据菱形的性质求得，则有在中，，再设，则，，则，从而求得，根据三角形面积公式得，即可根据二次函数性质求解．
【详解】解：过点E作，交延长线于G，如图，
∵菱形，
∴，，
∴
在中，，
设，则，，
∴
∵
∴，
∴，
∵
∴当时，有最大值，最大值为40．
故答案为：40．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的面积，解直角三角形，二次函数的性质．将三角形面积转化成二次函数，利用二次函数最值求解是解题的关键．
16．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，现根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到，即可得到，然后在中根据计算是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
∴，
在中，
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质．解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
（1）连接，圆周角定理得到，在中求出的长，求解，再利用弧长公式计算即可；
（2）过点作，求出的长，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接，，

由题意，得：为的直径，，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
在中，，，
∴；
∴的长为．
（2）如图，过点作，则：，
∵，
∴，

∴，
∴壁灯的高度为：．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作于，由角平分线的性质可得，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）解直角三角形得到，由勾股定理可得，证明得出，从而得到，设的半径为，则，，由勾股定理可得，即，求出的值即可得解．
【详解】（1）证明：如图，作于，
，
平分，，，
，
与相切；
（2）解：，，，
，
∴，
∴，
如图，作于，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
由勾股定理可得，
，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形、三角形全等的判定与性质、切线的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
19．(1)6；
(2)2或．
【分析】（1）由移动过程可知，圆与各边各相切2次；
（2）与边相切时，O分别在边与边上两种情况：当O在边上，与边相切时；当O在边上，即与边相切时．
【详解】（1）从A点出发至回到A点，依次与相切、相切、相切、相切、相切、相切，
∴从A点出发至回到A点，与的边相切了6次．
故答案为：6；
（2）与边相切时，O分别在边与边上两种情况．如图所示，
当O在边上，与边相切时，切点为D，连接，
则．
∵，
∴．
∴，
∴；
当O在边上，即与边相切时，切点为E，连接，
则，
∵，∴，
∴，
∴
∴，
综上所述，当与边相切时，的长度为2或．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质和切线的判定与性质是解题的关键．
20．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解得到，再解，得到，则，再根据速度路程时间即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
，
在中，，，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先由得出，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）设，则，，由勾股定理可得，求出的值，最后再由余弦的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
由勾股定理可得；
（2）解：设，
，，
由（1）知，
在中，由勾股定理，
，
解得，
，，
．
22．(1)
(2)①；②
【分析】（1）证明，即可得到答案；
（2）①证明，进一步得到，则，设，则，由勾股定理可得，即，解得，即. 在中，由勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到答案；
②过点作于点，求出，由相似三角形的性质得到，则， 由解直角三角形得到，，则，根据正切的定义即可得到答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）如图.

∵，，
∴，
∴；
（2）①如图，
由(1)得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
即：，
解得，即，
在中，，
∵，
∴；
②如图，过点作于点，

由①知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)