第十七章 勾股定理综合自检卷（含解析）
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2023-2024学年人教版数学八年级下册第十七章勾股定理综合自检卷
一、单选题
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6
2．如图，等腰直角三角形的斜边中点O与等腰直角三角形的斜边中点重合，D，E两点分别在、上，若，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点为的中点；过点作交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，点P、Q在上，且，于E，交于D，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
7．公园有一块长方形草坪，芳芳同学发现有极少数人为了走捷径，践踏草坪走出了一条路，为了倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在处立一个标牌：“小草青青，脚下留情” ．经过测量得知：两处的距离为两处的距离为则践踏草坪少走的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，点是上一动点（D与点不重合），连接，作关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点，连接，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
10．在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为 ．
11．如图，在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若为，则的长是 ．
12．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
13．某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度至少为 m．
14．如图，在中，，点D在边上，，连接，则的面积为 ；如果将沿直线翻折后，点C的对应点为点E，那么的面积为 ．
15．如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
16．如图，在中，，平分，若，，则的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在中，．点D从点A出发，沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．
(1)求边的长．
(2)当线段的长取最小值时，求t的值．
(3)当是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值．
18．某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境．已知一种草皮售价为元/，，则购买这种草皮需要多少钱？
19．在中，，点为边的中点，点在边上．
(1)若，，（如图①），求的长；
(2)过点作与边交于点（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，在下列带有坐标系的网格图中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点（我们也把这样的顶点叫做格点）上．
(1)直接写出的面积______．
(2)画出关于y轴对称的（点D与点A对应），直接写出点D的坐标______．
(3)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图．在如图中画出的高线，不写画法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
21．定义：如图，点M，N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
(1)已知M，N把线段分割成、、，若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗 请说明理由．
(2)已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，为斜边，若，，求的长．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为顶点画一个面积为13的正方形．
(2)在图2中，以格点为顶点画一个三边为、、的三角形，并求出此三角形的面积是________．
(3)在图3中，以格点为顶点画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键．
【详解】解：A.，不是勾股数，不符合题意；
B.，不是整数，不符合题意；
C.，是勾股数，符合题意；
D.，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，连接，由和，可证，则有，，得到，进一步证得，有，在中可求得，即可求得面积．
【详解】解：连接，如图，
∵点O为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，根据展开图是矩形，找到点点，连接，根据勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，圆柱侧面展开图如图所示，连接，
，，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．
【详解】解：，
，
点为的中点，
，
又，
，
，
中，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键．
5．B
【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键．
由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，
，，
，
由折叠得，，
，
，
，
解得，
，
故选：B．
6．D
【分析】根据的长度不固定可判断①错误；作于H，根据证明得，从而，再证明即可判断②正确；由勾股定理得，，两式相减可判断③正确；设，则，根据可判断④正确．
【详解】解：①∵的长度不固定，
∴的大小不固定，故①错误；
②作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，，
∴，
，，
，故③正确；
④设，
则，
∴，
即，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∵，
∴则践踏草坪少走的距离为，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、勾股定理，根据轴对称性质和勾股定理得，，当时，点A到的距离最小，则E到的距离最大，此时面积的最大，如图，过A作于H，先根据三角形的等面积求得，进而求得即可求解．
【详解】解：连接，
∵关于直线的对称点，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵点在的下方，
∴当时，点A到的距离最小，则E到的距离最大，此时面积的最大，如图，过A作于H，
∵，
∴，
∴，
∴面积的最大值为，
故选：B．
9．4
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，两点间的距离公式，分类讨论是解决问题的关键．先求出，设点P的坐标为，表示出的长，根据是等腰三角形分三种情况进行讨论：①，②，③，根据每一种情况求出点P的坐标即可得出符合条件的点P的个数．
【详解】解：点，
，
点P在y轴上，
设点P的坐标为，
，
又是等腰三角形，
有三种情况：
①当时，
则，
整理得：，
，
由，解得，
此时点P与原点O重合，故不合题意，舍去，
由，解得：，
此时点P的坐标为；
②当时，
则，
解得：，或，
此时点P的坐标为或；
③当时，
则，
整理得：，
解得：，
此时点P的坐标为．
综上所述：符合条件的点P有4个，其坐标分别是或或或．
故答案为：4．
10．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质；过点D作，垂足分别为E，F；由等腰三角形的性质及勾股定理求得的长，再证明，可得的长，再由勾股定理即可求得长．
【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为E，F，
则；
∵是等腰三角形，
∴；
由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得．
故答案为：．
11．2或4/4或2
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．先求得，分两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点在直线的下方时，如图，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
当点在直线的上方时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
综上，的长是2或4．
故答案为：2或4．
12．2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键．
如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图：过点D作于点E，则米，
∵米，
∴（米），
在中，由勾股定理得到：（米），
故答案为：2．
13．
【分析】本题主要考查学生对勾股定理的应用能力，将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度，
三棱柱的高为，底面边长为，
∴灯带的长度至少为：．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．过点A作于点P，过E点作于H，证明是等边三角形，可得，再由勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式可求出的面积；根据等边三角形的性质以及折叠的性质，可得，，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式可求出的面积．
【详解】解：如图，过点A作于点P，过E点作于H，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的面积为；
∵是等边三角形，将沿直线翻折后，点C的对应点为点E，
∴，，
∴，
∵，即．
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．
【详解】延长到，使得，连接，，如图所示，
，，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．求出的长度即可得到答案．
【详解】解：过点作交于点，
在中，，
，
平分，，
，
设，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
故答案为：．
17．(1)25
(2)
(3)或9或
【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称图形的定义，等腰三角形的定义：
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据垂线段最短可得，当时，最短，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案；
（3）当是轴对称图形时，则是等腰三角形．再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：由垂线段最短可知，当时，最短，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当是轴对称图形时，则是等腰三角形．
当时，则；
当时，
过点C作于点E，
由（2）可知，
∴，
∴；
当，
过点D作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
综上所述，当是轴对称图形时t的值为或9或．
18．购买这种草坪需要元
【分析】利用勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且为直角. 再求出，得到草皮面积，再乘以单价即可得到答案.此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键.
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且为直角.
，
购买这草皮需要的钱为：元.
答：购买这种草坪需要元.
19．(1)；
(2)．理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）证明是线段的垂直平分线，利用勾股定理求得，，再利用面积法求解即可；
（2）作交的延长线于点，证明，推出，，由线段垂直平分线的判定和性质，得到，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：连接，
∵点为边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，即，
在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由如下，
作交的延长线于点，连接，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，即．
20．(1)
(2)图见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了在网格中作三角形的高，三角形的面积以及作轴对称图形．
（1）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点D，E即可；
（3）连接，交于一点F，则即为所求作的高，线段即为所求；
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求，，
故答案为：．
（3）解：如图所示：线段即为所求，
理由：由勾股定理得，，
连接则，
由（1）知：，
假设是的高，是的高，则有：
,
∴
由勾股定理得，
而
∴三点在同一条直线上，
∴是的边上的高
21．(1)是，理由见详解
(2)或10
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论．
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点．
（2）分三种情况①当为最大线段时，依题意，②当为最大线段时，依题意，③当为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）是，理由如下：
∵，，
∴，
∴、、为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
（2）设，则，
①当为最大线段时，依题意，
即，
解得，
②当为最大线段时，依题意，
即，
解得，
综上所述，或10．
22．(1)图见解析
(2)图见解析，
(3)图见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，网格图中判断直角三角形．
（1）根据题意，画出一边长为的正方形即可；
（2）根据题意，画出三角形，割补法求三角形的面积即可；
（3）根据题意画出直角三角形即可．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，正方形即为所求；
由勾股定理得：正方形的边长为；
（2）如图，即为所求；
由勾股定理得：；
由图可知：的面积为：．
（3）如图，即为所求；
由勾股定理，得：，
∴；
∴为直角三角形．
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2023-2024学年人教版数学八年级下册第十七章勾股定理综合自检卷
一、单选题
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6
2．如图，等腰直角三角形的斜边中点O与等腰直角三角形的斜边中点重合，D，E两点分别在、上，若，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点为的中点；过点作交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，点P、Q在上，且，于E，交于D，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
7．公园有一块长方形草坪，芳芳同学发现有极少数人为了走捷径，践踏草坪走出了一条路，为了倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在处立一个标牌：“小草青青，脚下留情” ．经过测量得知：两处的距离为两处的距离为则践踏草坪少走的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，点是上一动点（D与点不重合），连接，作关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点，连接，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
10．在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为 ．
11．如图，在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若为，则的长是 ．
12．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
13．某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度至少为 m．
14．如图，在中，，点D在边上，，连接，则的面积为 ；如果将沿直线翻折后，点C的对应点为点E，那么的面积为 ．
15．如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
16．如图，在中，，平分，若，，则的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在中，．点D从点A出发，沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．
(1)求边的长．
(2)当线段的长取最小值时，求t的值．
(3)当是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值．
18．某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境．已知一种草皮售价为元/，，则购买这种草皮需要多少钱？
19．在中，，点为边的中点，点在边上．
(1)若，，（如图①），求的长；
(2)过点作与边交于点（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，在下列带有坐标系的网格图中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点（我们也把这样的顶点叫做格点）上．
(1)直接写出的面积______．
(2)画出关于y轴对称的（点D与点A对应），直接写出点D的坐标______．
(3)仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图．在如图中画出的高线，不写画法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
21．定义：如图，点M，N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
(1)已知M，N把线段分割成、、，若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗 请说明理由．
(2)已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，为斜边，若，，求的长．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．
(1)在图1中，以格点为顶点画一个面积为13的正方形．
(2)在图2中，以格点为顶点画一个三边为、、的三角形，并求出此三角形的面积是________．
(3)在图3中，以格点为顶点画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键．
【详解】解：A.，不是勾股数，不符合题意；
B.，不是整数，不符合题意；
C.，是勾股数，符合题意；
D.，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，连接，由和，可证，则有，，得到，进一步证得，有，在中可求得，即可求得面积．
【详解】解：连接，如图，
∵点O为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，根据展开图是矩形，找到点点，连接，根据勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，圆柱侧面展开图如图所示，连接，
，，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．
【详解】解：，
，
点为的中点，
，
又，
，
，
中，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键．
5．B
【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键．
由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，
，，
，
由折叠得，，
，
，
，
解得，
，
故选：B．
6．D
【分析】根据的长度不固定可判断①错误；作于H，根据证明得，从而，再证明即可判断②正确；由勾股定理得，，两式相减可判断③正确；设，则，根据可判断④正确．
【详解】解：①∵的长度不固定，
∴的大小不固定，故①错误；
②作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，，
∴，
，，
，故③正确；
④设，
则，
∴，
即，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∵，
∴则践踏草坪少走的距离为，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、勾股定理，根据轴对称性质和勾股定理得，，当时，点A到的距离最小，则E到的距离最大，此时面积的最大，如图，过A作于H，先根据三角形的等面积求得，进而求得即可求解．
【详解】解：连接，
∵关于直线的对称点，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵点在的下方，
∴当时，点A到的距离最小，则E到的距离最大，此时面积的最大，如图，过A作于H，
∵，
∴，
∴，
∴面积的最大值为，
故选：B．
9．4
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，两点间的距离公式，分类讨论是解决问题的关键．先求出，设点P的坐标为，表示出的长，根据是等腰三角形分三种情况进行讨论：①，②，③，根据每一种情况求出点P的坐标即可得出符合条件的点P的个数．
【详解】解：点，
，
点P在y轴上，
设点P的坐标为，
，
又是等腰三角形，
有三种情况：
①当时，
则，
整理得：，
，
由，解得，
此时点P与原点O重合，故不合题意，舍去，
由，解得：，
此时点P的坐标为；
②当时，
则，
解得：，或，
此时点P的坐标为或；
③当时，
则，
整理得：，
解得：，
此时点P的坐标为．
综上所述：符合条件的点P有4个，其坐标分别是或或或．
故答案为：4．
10．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质；过点D作，垂足分别为E，F；由等腰三角形的性质及勾股定理求得的长，再证明，可得的长，再由勾股定理即可求得长．
【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为E，F，
则；
∵是等腰三角形，
∴；
由勾股定理得；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得．
故答案为：．
11．2或4/4或2
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．先求得，分两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点在直线的下方时，如图，
由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
当点在直线的上方时，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
综上，的长是2或4．
故答案为：2或4．
12．2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键．
如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图：过点D作于点E，则米，
∵米，
∴（米），
在中，由勾股定理得到：（米），
故答案为：2．
13．
【分析】本题主要考查学生对勾股定理的应用能力，将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度，
三棱柱的高为，底面边长为，
∴灯带的长度至少为：．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．过点A作于点P，过E点作于H，证明是等边三角形，可得，再由勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式可求出的面积；根据等边三角形的性质以及折叠的性质，可得，，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式可求出的面积．
【详解】解：如图，过点A作于点P，过E点作于H，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的面积为；
∵是等边三角形，将沿直线翻折后，点C的对应点为点E，
∴，，
∴，
∵，即．
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．
【详解】延长到，使得，连接，，如图所示，
，，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．求出的长度即可得到答案．
【详解】解：过点作交于点，
在中，，
，
平分，，
，
设，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
故答案为：．
17．(1)25
(2)
(3)或9或
【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称图形的定义，等腰三角形的定义：
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据垂线段最短可得，当时，最短，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案；
（3）当是轴对称图形时，则是等腰三角形．再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：由垂线段最短可知，当时，最短，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当是轴对称图形时，则是等腰三角形．
当时，则；
当时，
过点C作于点E，
由（2）可知，
∴，
∴；
当，
过点D作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
综上所述，当是轴对称图形时t的值为或9或．
18．购买这种草坪需要元
【分析】利用勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且为直角. 再求出，得到草皮面积，再乘以单价即可得到答案.此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键.
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且为直角.
，
购买这草皮需要的钱为：元.
答：购买这种草坪需要元.
19．(1)；
(2)．理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）证明是线段的垂直平分线，利用勾股定理求得，，再利用面积法求解即可；
（2）作交的延长线于点，证明，推出，，由线段垂直平分线的判定和性质，得到，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：连接，
∵点为边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，即，
在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由如下，
作交的延长线于点，连接，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，即．
20．(1)
(2)图见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了在网格中作三角形的高，三角形的面积以及作轴对称图形．
（1）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点D，E即可；
（3）连接，交于一点F，则即为所求作的高，线段即为所求；
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求，，
故答案为：．
（3）解：如图所示：线段即为所求，
理由：由勾股定理得，，
连接则，
由（1）知：，
假设是的高，是的高，则有：
,
∴
由勾股定理得，
而
∴三点在同一条直线上，
∴是的边上的高
21．(1)是，理由见详解
(2)或10
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论．
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点．
（2）分三种情况①当为最大线段时，依题意，②当为最大线段时，依题意，③当为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）是，理由如下：
∵，，
∴，
∴、、为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
（2）设，则，
①当为最大线段时，依题意，
即，
解得，
②当为最大线段时，依题意，
即，
解得，
综上所述，或10．
22．(1)图见解析
(2)图见解析，
(3)图见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，网格图中判断直角三角形．
（1）根据题意，画出一边长为的正方形即可；
（2）根据题意，画出三角形，割补法求三角形的面积即可；
（3）根据题意画出直角三角形即可．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，正方形即为所求；
由勾股定理得：正方形的边长为；
（2）如图，即为所求；
由勾股定理得：；
由图可知：的面积为：．
（3）如图，即为所求；
由勾股定理，得：，
∴；
∴为直角三角形．
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