安徽省淮北市重点中学2023-2024学年高二上学期2月期末考试数学试题（PDF版含答案）

4
淮北实高 2022 级高二年级第一学期期末考试 A. 32πcm3 B. πcm33
数 学 试 题 169 32C. πcm3 D. πcm36 3
考试时间：120 分钟 满分： 150 分 命题人：马艳 审核人：孙启圣 二、多选题：本题共 4小题，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
2 2 2 2
一、单选题：本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分,在每小题给出的选项中,只有一项符 9.已知圆C1 : x 1 y 1 10与圆C2 : x 1 y 5 50，则 ( )
合题目要求. A. 两圆的圆心距为 2 5
1.若直线 l 的一个方向向量为a = (1, 3)，则直线 l 的斜率为 ( ) B. 两圆的公切线有 3 条
1 3 3 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 x 2y + 4 = 0A. B. C. D.
2 32 3 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 4 5
2.空间一点 P 在 xOy 平面上的射影为 M(1,2,0)，在 xOz 平面上的射影为 N(1,0,3)，则 P 在 yOz 平
10.若(2x a )8展开式中各项系数的和为 1,则下列结论正确的有( )
面上的射影 Q 的坐标为 ( ) x
A. (1,2,3) B. (0,0,3) C. (0,2,3) D. (0,1,3) A. a 可能为 1 B. 展开式的二项式系数之和为 256
x 2
3.已知椭圆 C : y 2 1 1(a 1)的离心率为 ，则a ( ) C. 展开式中第 4 项的二项式系数最大 D. 展开式系数的绝对值之和可能为3
8
a 2 2
2 3 11.已知抛物线 C：y
2 = 8x 的焦点为 F，在 C 上存在四点 P，M，Q，N，若弦 PQ 与弦 MN 的交点
A. B. 2 C. 3 D. 2
3 恰好为焦点 F，且 PQ ⊥ MN，则下列结论中一定成立的是（ ）
4.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，且有OP = xOA + yOB+ zOC(x, y, z ∈ R)，则 x = 2， 1 1 1 1
A. 抛物线 C 的准线方程是 x = 4 B. + = +
y = 3，z = 2 是 P，A，B，C 四点共面的( ) |PF| |QF| |MF| |NF|
1 1 1
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. + = D. 四边形 PMQN 的面积的最小值是 128
|PQ| |MN| 8
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体
5.有 4 名女生 2 名男生参加学校组织的演讲比赛，现场抽签决定比赛顺序，已知男生甲比男生乙先
图案(如图 1).把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2 的组合，这个组合再转换成图 3 所示的几何体.若
出场，则两位男生相邻的概率是( )
图 3 中每个正方体的棱长为 1，则 ( )
1 1 4 3
A. B. C. D.
3 2 7 5 A. QC = AD + 2AB+ 2AA1
27 B. 若 M 为线段 CQ 上的一个动点，则ME MC的最大值为 2
6.从原点向圆x2 + y2 6x + = 0 引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为( )
4
17
C. 点 P 到直线 CQ 的距离是
2π 3π 4π 3
A. B. π C. D.
3 2 3 D. 异面直线 CQ 与 AD1所成角的正切值为 17
7.已知抛物线 C: y2 = 4x 的焦点 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的交点，若
FP = 4 FQ ，则 FQ =( ) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分.
4 5 3 5 3A. B. C. 或 D. 或 4 1
2 2 2 2 13.如图，开关电路中，某段时间内，开关S1，S2，S3开或关的概率均为 ，且2
8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为 6cm，将一个球放在容器口， 相互独立，则这段时间内灯亮的概率为 ．
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为 5cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
14.淮北师范大学为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界
( )
淮北实高 2022 级 高二第一学期期末考试 第 1 页 （共 2 页）
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数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内 20.(本小题 12 分)
x2
将这四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则 已知椭圆 C : + y21 = 1， 椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C4 1有一样的离心率.
每位学生共有 种不同的选修方式可选. (用数字填写答案) (1)求椭圆 C2的方程；
2 2
C: x + y = 1 F F M C N E: (x 5)2 + (y (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C 和 C 上，

15.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为 上任意一点， 为圆 1 2 OB = 2OA，求直线 AB 的方程．
4 3 1 2
4)2 = 1 上任意一点，则|MN| |MF1|的最小值为 ．
x2 y 2
16.已知双曲线 C 的方程为 1 ，其左右焦点分别为F1,F2 ,已知点P坐标为 4,3 ，双曲线C
16 9
Q (x , y )( x 0, y QF1 PF1 F F上的点 2 1 PF10 0 0 0 0)满足 ，设 QF1F2内切圆半径为 r ,则r
QF ,1 F2F1
S F PQ S1 F2PQ ．
21.(本小题 12 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
如图，AD//BC 且 AD = 2BC = 2，AD ⊥ CD，平面 ADGE ⊥平面 ABCD，四边形 ADGE 为矩形，CD//FG
17.(本小题 10 分)
且 CD = 2FG = 2．
已知正方形的中心为直线 x y + 1 = 0 和直线 2x + y + 2 = 0 的交点，其一边所在直线方程为 x +
(1)若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN//平面 CDE；
3y 2 = 0．
(2)若 CF 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2，求直线 AD 到平面 EBC 的距离．
(1)写出正方形的中心坐标 ；
(2)求其它三边所在直线的方程(写出一般式)．
18.(本小题 12 分)
已知点 A(0, 2)和直线 l : y = x ,点 B 是点 A 关于直线 l 的对称点．
(1)求点 B 的坐标 ；
22.(本小题 12 分)
(2)O 为坐标原点，且点 P 满足|PO| = 3|PB|.若点 P 的轨迹与直线 x my 1 = 0 有公共点，求 m x2 y 2
设双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)右焦点为F ,且a
2 b2 1,O为坐标原点，过F的直线l与C的
的取值范围． a b
右支交于A,B,两点.
3
19.(本小题 12 分) (1)若 b < ,求 C 的离心率 e 的取值范围；3
甲箱的产品有 5 个正品和 3个次品，乙箱的产品中有 4个正品和 3 个次品. (2)若∠AOB 恒为锐角,求 C 的实轴长的取值范围.
(1)从甲箱中任取 2 个产品，求这 2 个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的
概率.
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数学试题
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13.
14.
15.
16. 3， 2
17. 解：由，得：，即中心坐标为．
正方形一边所在直线方程为，
可设正方形与其平行的一边所在直线方程为，
正方形中心到各边距离相等，
，
或舍，
这边所在直线方程为 ．
设与垂直的两边所在直线方程为，
正方形中心到各边距离相等，
，
或，
这两边所在直线方程为 ，
其它三边所在直线的方程为 ．
18. 解： 点的坐标为．
设点，由题，则，
故，化简得，
又直线与圆有公共点，
故，解得
19.
20.


21.
方法1.几何法 略
方法2.向量坐标法
证明：依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．
可得，，，，
，，，，．
设为平面的法向量，
则，不妨令，可得；
又，可得．
又直线平面，
平面；
，平面，平面，
平面，
到平面的距离即到平面的距离，
由知平面，即是平面的法向量，
因与平面所成角的正切值为，
则与平面所成角的正弦为，又，，
解得，则点，，
设为平面的法向量，则，不妨令，可得，
而，则点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为．
（1）
（2）
12. 【分析】
本题考查空间向量的线性运算、直线与直线所成角的向量求法、空间向量运算的坐标表示、点线距离的向量求法，
根据空间向量线性运算法则判断，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算、、．
【解答】
解：因为，
所以，故 A错误；
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，，，
对于： B不正确；
对于：，所以，
所以点到直线的距离，故 C正确；
对于：因为，
所以，
所以，即异面直线与所成角的正切值为，故 D正确；
故选：