4.2 等差数列 练习题（含答案）

4.2等差数列练习题2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9（单位：L）依次成等差数列，若a1+a2+a3＝3，a8＝0.4，则a1+a2+…+a9＝（　　）
A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5
2．在等差数列{an}中，已知a3+a4＝12，则数列{an}的前6项之和为（　　）
A．12 B．32 C．36 D．37
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝9，S4＝40，则数列{an}的公差d＝（　　）
A．3 B．2 C． D．4
4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊垫、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气，立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至若种）日影长之和为（　　）
A．8.5尺 B．30尺 C．66尺 D．96尺
5．已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，a5+a7＝12，则S11＝（　　）
A．.24 B．36 C．.48 D．.66
6．哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（　　）
A．2041年～2042年 B．2061年～2062年
C．2081年～2082年 D．2101年～2102年
7．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，，则＝（　　）
A．15 B．1 C．﹣1 D．﹣9
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S1＝3，，则S5＝（　　）
A．21 B．48 C．75 D．83
二．多选题（共4小题）
9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，下列说法正确的有（　　）
A．d＞0 B．a7＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＜0，S7＝S13，则下列结论正确的有（　　）
A．{an}是递减数列
B．a12＞0
C．使Sn＞0时n的最小值是21
D．Sn最小时，n＝10
）11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2022＞0，S2023＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．S1011最大 B．|a1011|＞|a1012|
C．a1012＞0 D．S2022+S2023＜0
12．已知等差数列{an}的前项和为Sn，a1＝11，a5＝3，则（　　）
A．S5＝35 B．an＝13﹣2n
C．|an|的最小值为0 D．Sn的最大值为36
三．填空题（共4小题）
13．已知等差数列{an}中，a2+a7＝18，则数列{an}的前8项和S8等于 　 　．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a8＞0，a6+a11＜0，则Sn取得最大值时n的值为 　 　．
15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为 　 　．
16．已知在等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，则a11＝　 　．
四．解答题（共6小题）
17．已知等差数列{an}满足an+1+n＝2an+8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
18．已知{an}是等差数列，a2＝12，a6＝4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最大值．
19．（1）已知等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12．求a4．
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝n2+n，求an和a8．
20．已知在等差数列{an}中，a5＝1，a9＝﹣7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的前n项和Sn，则当n为何值时Sn取得最大，并求出此最大值．
21．已知数列{an}，，求
（1）a1，a2，a3的值
（2）通项公式an．
22．数列{an}的前n项和为Sn，数列为等差数列，且S5＝35，S10＝120．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：S2m﹣Sm是Sm和的等差中项
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8BCBBD BDC
二．多选题（共4小题）
9．CD
10．BCD
11．B
12．ABD
三．填空题（共4小题）
13．72
14．8
15．134
16．20
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）由已知{an}为等差数列，记其公差为d，
①当n≥2时，an+1+n＝2an+8，∴an+n﹣1＝2an﹣1+8，
所以两式相减可得d+1＝2d，d＝1，
②当n＝1时，a2+1＝2a1+8，所以a1＝﹣6，
所以an＝n﹣7；
（2），
所以，当n取与 最接近的整数6或7时，
S6＝S7最小，最小值为﹣21．
18．解：（1）由题意得4d＝﹣8，
所以d＝﹣2，
所以an＝a2+（n﹣2）d＝12﹣2（n﹣2）＝16﹣2n；
（2）因为Sn＝14n+×（﹣2）＝15n﹣n2，
故当n＝7或8时，Sn取得最大值56．
19．解：（1）等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，
所以，解得a1＝0，d＝2，
故a4＝a1+3d＝6；
（2）因为数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，
当n＝1时，a1＝S1＝2，适合上式，
故an＝2n，a8＝16．
20．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则a9＝a5+4d＝1+4d＝﹣7，解得：d＝﹣2，
则{an}的通项公式为an＝a5+（n﹣5）d＝1﹣2（n﹣5）＝11﹣2n；
（2）因为n∈N*，
令an＝11﹣2n＞0得：1≤n≤5，令an＝11﹣2n＜0得：n＞6，
故当n＝5时，Sn取得最大值，
其中a1＝9，a5＝1，故最大值为．
21．解：（1）数列{an}中，
∵，
∴a1＝S1＝1+2×1＝3，
a2＝S2﹣S1＝（22+2×2）﹣（1+2×1）＝5，
a3＝S3﹣S2＝（32+2×3）﹣（22+2×2）＝7．
（2）当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝2n+1，
当n＝1时，S1＝a1＝3符合上式，
∴an＝2n+1，n≥1．
22．（1）解：设等差数列的公差为d，则，
于是，即，
当n≥2时，，而a1＝S1＝3满足上式，
所以数列{an}的通项公式an＝2n+1；
（2）证明：由（1），
则，
又，因此Sm+S3m﹣S2m＝2（S2m﹣Sm），
所以S2m﹣Sm是Sm和S3m﹣S2m（m∈N*）的等差中项