江西省部分重点中学2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（A卷）（含答案）

秘密★启用前【2024年1月】 试卷类型：A
2023-2024学年度江西省部分重点中学高二期末联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（ ）
A．1 B．45 C． D．
2．双曲线的离心率为，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．若随机变量X服从正态分布，，则（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
4．直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
5．如图1，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C． D．
7．甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．108种 B．96种 C．84种 D．72种
8．已知球O的两个相互垂直的截面圆和的公共弦的长度为2，若是直角三角形，是等边三角形，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A． B．平面
C．直线与平面的夹角为 D．三棱锥是正四面体
10．已知椭圆，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E，若点A，B分别在C，E上，，分别为C，E的中心，则（ ）
A．E的方程为 B．C和E没有交点
C．A，B的纵坐标之差可以为7 D．的最大值等于的最大值
11．已知F为抛物线的焦点，M，N，P，Q是C上四个不同的动点，满足直线，过F，其中M，P在第一象限，若直线与x轴的交点为，，，，的面积分别为，，，，则（ ）
A．时， B．直线与x轴的交点为
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．______．
13．已知正方体的棱长为1，点P在平面内，若P到直线的距离与到直线的距离相等，则P到的距离的最小值为______．
14．在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，直线与平面的夹角为______，三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心．
（1）证明：；
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
16．（15分）
已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）若D为的中点．
①求D的轨迹方程；
②求的最大值．
17．（15分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技（E-Sports）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表：
省代表队 A B C D E F G H I
电子竞技人数 45 52 24 38 57 19 26 47 34
霹雳舞人数 26 18 44 43 32 27 56 36 48
（1）从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过35人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过25人的概率；
（2）某省代表队准备进行为期3个月的霹雳舞封闭训练，对Powermove中的Swipe、Windmill、Air tracks、Flare、Headspin动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项评分，有一个动作达到“优秀”即可得1分．已知在一轮测试的5个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4分的次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
18．（17分）
如图2，在四边形中，，，，将沿着折叠，使得（如图3），过D作，交于点E．
（1）证明：；
（2）求；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（17分）
双曲线的焦距为，点在C上，直线交y轴于点P，过P作直线交C于G，H两点，且的斜率存在，直线，交l分别于M，N两点．
（1）求C的方程；
（2）求与的斜率之积；
（3）证明：A，O，M，N共圆．
数学试题参考答案与评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．B 3．B 4．C
5．C 6．A 7．B 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．ABD 10．BD 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．112 13． 14．，
四、解答题：共77分．
15．解：（1）因为G是的重心，所以，
则，
即；
（2）由（1）有，
所以，
，即．
16．解：（1）由题意有，所以C的方程为；
（2）设，，，则，
即，
当斜率存在时，有，即，
①当斜率存在时，由上述分析有，得，
当斜率不存在时，易知，满足上面得出的方程，
综上，D的轨迹方程为；
②由①知，D的轨迹是个椭圆，且F是该椭圆的右顶点，不难看出坐标原点O是该椭圆的左顶点，
所以．
17．解：（1）参与电子竞技的人数超过35人的代表队有5个，在此基础上，参与霹雳舞的人数超过25人的省代表队有4个，则所求概率为；
（2）在一轮测试中，得分不低于4分的概率为，
则甲队员在集训测试中得分不低于4分的次数服从二项分布，
由题意，，解得，注意到，所以，
即至少要进行18轮测试．
18．（1）证明：由题意有，，，，，
注意到，，
所以，，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）解：如图，作于H，则，，
易知，则，设，
由，得，
解得，即；
（3）解：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题设得，，，
所以，，，
设是平面的法向量，则，
即，可取，
设是平面的法向量，则，
即，可取，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
19．（1）解：由题意得，，得，，
所以C的方程为；
（2）解：由题设知过，故设，，，
由得，
故，，
则，
即，
亦即与的斜率之积为；（方法不唯一，答案对即可）
（3）证明：只需证明，即，亦即证明，有，
即证明（＊），
注意到，
故（＊）式成立，所以，
所以A，O，M，N共圆．
（这是逆向推理，得出四边形对角互补即可）
附：第19题图