高二数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则的元素个数为
A. B. C. D.
2. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则
A. B. C. D.
3. 设，分别是空间中的直线，的方向向量，，.记甲：，，不共 面，乙：与异面，则
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
4. 已知点，，若直线与线段有公共点，则
A. B.
C. D.
5. 已知直线与圆交于，两点，且，则 实数
A. B. C. D.
6. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为
A. B. C. D.
7. 已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线 的距离为
A. B. C. D.
8. 一个边长为的正方形被等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）； 再将剩余的每个正方形都等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如 此继续操作下去，到第次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A. B. C. D.
10.已知，是平面内两个定点，且，则满足下列条件的动点的轨迹为圆的是
A. B.
C. D.
11.记为数列的前项和，若，，则
A.为等比数列 B.为等差数列
C.为等比数列 D.为等差数列
12.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且点到平面的距离为，则
A.该圆锥的体积为 B.直线与平面所成的角为
C.二面角为 D.直线与所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，，若，，共面，则 .
14.已知数列，对都有，且，则 .
15.已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则实数的一个取值为 .
16.已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，若直线，与直线交于，两点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知等比数列的前项和为，公比，.
（1）设，求；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）
如图，在三棱柱中，侧面和为正方形，，，，分别为，的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的大小.
19.（12分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且.
（1）求；
（2）若点，在抛物线上，且线段的中点为，求.
20.（12分）
如图，已知正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
21.（12分）
甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元.
（1）求，；
（2）当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年.
22.（12分）
已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，
，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值.高二数学参考答案
一、选择题（每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B D D C A
二、选择题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AD BC AB BCD
三、填空题（每小题5分）
题号 13 14 15 16
答案 或其中一个
四、解答题
17.（10分）
解：（1）由题意知，， 1分
解得， 2分
所以， 3分
所以. 5分
（2）， 6分
， 8分
所以
. 10分
18.（12分）
（1）证明：因为侧面和为正方形，
所以，，，
又，所以，可得，
所以，，两两垂直， 1分
以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系. 2分
则，，，， 3分
所以， ， 4分
，，，
可得，
所以直线与所成角的余弦值为. 6分
（2），，， 7分
设平面的一个法向量为，则
，令，可得， 9分
设直线与平面所成角为，
则， 11分
所以直线与平面所成角的大小为. 12分
19.（12分）
解：（1）由题意知，抛物线的焦点，
圆的圆心为，半径， 1分
则， 3分
又，可得. 5分
（2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为，
，， 6分
由，可得， 7分
所以，， 8分
因为线段的中点为，
所以， 9分
即，所以， 10分
所以， 11分
所以. 12分
法二：设，，
由，可得， 6分
即， 7分
因为线段的中点为，
所以，， 9分
所以， 10分
由，可得，所以，
所以，
（或直线的方程为，
由与联立可得） 11分
所以. 12分
20.（12分）
证明：（1）设与相交于点，连接，，
因为为正方形，所以为的中点， 1分
因为，分别为，的中点，
所以，，又，
所以平面平面，又因为平面， 4分
所以平面. 5分
（2）因为矩形，所以，
又因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，
面面，
所以平面，可得，， 6分
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系. 7分
因为，所以平面，所以，
因为正方形，所以，又，所以平面，
所以为平面的一个法向量， 9分
由题意知，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得， 11分
所以，
所以二面角的余弦值为. 12分
21.（12分）
解：（1）当时，
， 2分
所以， 3分
由题意知，， 4分
所以，相加得，
当时也满足上式，所以. 6分
（2）当时，，，可得，
因此当或时，不可能出现兼并收购的情况， 7分
当时，，，所以，
由题意知，甲企业可能兼并收购乙企业， 8分
如果出现兼并收购的情况，必满足，
法一：由，化简得， 9分
令，
当时，，所以满足，
， 10分
当时，，即，
所以，
当时，，即，
， 11分
综上可知，当时，，
所以在第年甲企业兼并收购乙企业. 12分
法二：由，化简得， 9分
当时，，，所以满足，
令，则， 10分
当时，，
所以， 11分
综上可知，当时，，即，
所以在第年甲企业兼并收购乙企业. 12分
（或，利用，（）的图象数形结合也可求得）
22.（12分）
解：（1）由题意知，， 2分
解得， 3分
所以的方程为. 4分
（2）由题意知，直线存在斜率，
设直线的方程为，，，
则
， 5分
由，可得， 6分
所以， 7分
则，
，
所以，
又， 8分
所以，
所以，可得， 9分
所以，即，
所以直线恒过点， 10分
令为的中点，则， 11分
由题意知，是的斜边，所以，
所以存在点，使得为定值. 12分
