12.2整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
【基本目标】
1.通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则.
2.掌握单项式相乘的几何意义.
3.会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题.
4.培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯.
【教学重点】
单项式与单项式相乘的法则.
【教学难点】
单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义.
一、复习旧知，导入新课
我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？
【教师活动】
我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我们知道，整式包括什么？（包括单项式和多项式.）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘.
二、师生互动，探究新知
1.一个长方体的底面积是4xy，高度是3x，那么这个长方体的体积是多少？
【学生活动】小组合作完成，在小组交流讨论后由代表发言.
【教师活动】每一步的依据是什么？（乘法交换律）
因此4xy·3x=4·xy·3·x=（4·3）·（x·x）·y=12x2y.（要强调解题的步骤和格式）
2.仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗？
【教师活动】第（2）题中在第二个单项式-4b2c中出现的c怎么办？
【学生活动】由小组讨论归纳单项式乘单项式的法则.
【教学说明】教师板书：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘,相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分。
教师巡视，针对同学问题及时纠正.
四、典例精析，拓展新知
例1边长是a的正方形面积是a·a，反过来说，a·a也可以看作是边长为a的正方形的面积.
探讨：3a·5ab的几何意义.
【答案】可以看作是长为a，宽为5b，高为3a的长方体的体积，也可以看作是长为5a，宽为b，高为3a的长方体的体积.
例2纳米是一种长度单位，1米=109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？
【分析】
长方体体积=长×宽×高
【答案】6×1028（立方纳米）
【教学说明】注意单位换算.
五、运用新知，深化理解
1.边长分别比2a和a的两个正方形按如图形式摆放，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.2a2 B.2 C.5a2-3a D.a2
2.光速约为3×105km/s，太阳光照射到地球所需的时间为5×102s，则太阳与地球间的距离是 km.
【答案】1.A 2.1.5×108
【教学说明】第1题若学生思维受阻时，引导阴影部分可以转化成哪些图形的积和差？直角三角形的底和高各是多少？
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
这节课内容较为简单，在探索单项式乘单项式法则时，注意让学生自己归纳，以提高学生使用数学语言的能力，在推导的过程中，注意每步依据为后面几何证明服务，从而培养逻辑思维能力，变式训练中表达阴影部分面积，旨在培养学生直观图感，将图形语言向数学符号语言转化能力，同时注意转化数学思想的应用.
课件19张PPT。12.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘第12章 整式的乘除八年级上册光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？分析：距离=速度×时间；
即（3×105）×（5×102）；
怎样计算（3×105）×（5×102）?地球与太阳的距离约是：
（3×105）×（5×102）
=(3 ×5) ×(105 ×102)
=15 ×10７
=1.5 ×108（千米）新课导入问题 1：问题 3：如何计算:4a2x5? (-3a3bx2)？问题 2：如果将上式中的数字改为字母，
即：ac5·bc2；怎样计算？ac5?bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：
ac5?bc2=(a?b)?(c5?c2)
=abc5+2=abc7.例1 计算：解：==相同字母的指数的和作为积里这个字母的指数只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式各因式系数的积作为积的系数单项式乘以单项式的结果仍是单项式.注意推进新课总结归纳：单项式乘以单项式法则单项式乘以单项式，只要将它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中的字母则连同它的指数一起作为积的一个因式。例2 计算：
(1) (-5a2b)(-3a); (2) (2x)3(-5xy2).解:(1) (-5a2b)(-3a)
= [(-5)×(-3)](a2?a)b
= 15a3b(2) (2x)3(-5xy2)
=8x3(-5xy2)
=[8×(-5)](x3?x)y2
=-40x4y2
算一算：
(1) 3x2·5x3 =
(2) 4y· (-2xy2) =(3) (-3x2y) ·(-4x) =
(4) (-4a2b)(-2a) =
(5) 3y(-2x2y2) =
(6) 3a3b·(-ab3c2) =
15X5-8xy312x3y8a3b-6x2y3-3a4b4c21、下列计算中，正确的是（ ）
A、2a3·3a2=6a6 B、4x3·2x5=8x8
C、2X·2X5=4X5 D、5X3·4X4=9X72、下列运算正确的是（ ）
A、X2·X3=X6 B、X2+X2=2X4
C、(-2X)2=-4X2 D、(-2X2)(-3X3)=6x5BD随堂演练3、下列等式①a5+3a5=4a5 ②2m2· m4=m8
③2a3b4(-ab2c)2=-2a5b8c2 ④(-7x) · x2y=
-4x3y中，正确的有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、44、如果单项式-3x4a-by2与 x3ya+b是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A、x6y4 B、-x3y2 C 、x3y2 D、 -x6y4BD5.下面的计算对不 对？如果不对，怎样改正？⑴⑷⑶⑵⑸6.算一算：(1) -5a3b2c·3a2b=
(2) x3y2·(-xy3)2=(3) (-9ab2) ·(-ab2)2=
(4) (2ab)3·(-a2c)2=
-15a5b3cx5y8-9a3b62a7b3c2-12a3b34a10(7)3x3y·(-2y)2 =
(8)xy3·(-4x)2 =(9)3x3y·(-4y2)2 =
(10)(-2ab)2· (-3a)3b =12x3y316x3y3
48x3y5-108a5b3-27a5b4c3-a4b3c（1）(-a)2·a3· (-2b)3-(-2ab)2· (-3a)3b解：原式=a2a3·(-8b3)-4a2b2·(-27a3)b
=-8a5b3+108a5b3
=100a5b37.计算（2）3x3y·(-2y)2-(-4xy)2·(-xy)-xy3·(-4x)2解：原式=3x3y·4y2-16x2y2· (-xy)-xy3·16x2
=12x3y3+16x3y3-16x3y3
=12x3y38.若n为正整数，且x3n=2,求2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。解： 2x2n ·x4n+x4n ·x5n
=2x6n+x9n
=2(x3n)2+(x3n)3
=2×22+23
=8+8
=16
∴原式的值等于16。9.已知
求m、n的值。由此可得：2m+2=43m+2n+2=9解得：m=1n=2∴m、n得值分别是m=1,n=2. 通过这节课的学习活动，你有什么收获？课堂小结1、理解掌握了单项 式乘法法则；
2、会利用法则进行单项式的乘法运算 。1.教材习题12.2 1、2题；
2.完成练习册本课时的习题.课后作业 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。 —— 毛泽东2.单项式与多项式相乘
【基本目标】
1.能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式.
2.会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算.
3.通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
本节课的教学重点是掌握单项式乘以多项式的法则.
【教学难点】
熟练地运用法则，准确地进行计算.
一、复习旧知，导入新课
1.单项式与单项式相乘法则.
2.完成下列各题.
（1）2x2·（-4xy）=（ ）；
（2）（-2x2）·（-3xy）=（ ）；
（3）（-ab）·（ab2）=( ).
二、师生互动，探究新知
1.5×（7-2+3）=5× +5× +5× ,依据是什么？将题中数转换成字母a、b、c、d，则a·（b+c+d）= .
2.你能将算出的结果用长方形的面积验证吗？如图
【教师活动】在教师引导下，学生总结法则，并用语言叙述，教师订正语言准确性.
【教学说明】板书：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加.即a（b+c+d）=ab+ac+ad.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视并及时反馈.
四、典例精讲，拓展新知
例 先化简，再求值.
（1）3x2（2x2-x+1）-x（3x3-4x2+2x），其中x=-1；
（2）x2（3-x）+x（x2-2x）+1,其中x=.
【分析】先利用单项式乘多项式的法则化简，再代入求值.
【答案】（1）化简得3x4+x3+x2，当x=-1时，原式=3.
（2）化简得x2+1,当x=时，原式=4.
【教学说明】教师强调运用法则做到一步一查确保计算准确无误，这类题应先化简，再求值.
五、运用新知，深化理解
先化简，再求值：
（1）3x（2x+y）-2x（x-y），其中x=1,y=15；
（2）已知x2-3=0,求x（x2-x）-x2（5+x）-9的值.
【答案】（1）4x2+5xy,5;(2)-6x2-9,-27.
【教师说明】（2）中宜将x2视为一个整体.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课法则推导利用乘法的分配律，从数类比到字母，学生亲切易懂，体现用字母代替数的思想，再让学生用长方形面积验证，培养思维严谨性，注重数形结合思想.
运用新知中，第（2）题将x2看作一个整体，提高计算灵活性.本课计算量有所加大，如何让学生计算更准确，除熟练运用法则外，还应对学生计算作心理指导.如做一步查一步，不要做完再检查，可通过演算比赛调动计算情绪.
课件16张PPT。12.2 整式的乘法
2.单项式与多项式相乘第12章 整式的乘除八年级上册1、单项式乘法法则：单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积的因式.遇到积的乘方 先做乘方，再做单项式相乘；注意：系数相乘不要漏掉负号。2、计算：(-a)2·a3· (-2b)3(-2xy)3· (-3x)2y3、多项式的概念，多项式与单项式的联系？-8a5b3 -72x5y4新课导入mabcmambmc 某街道为美化环境,对街道进行了大整治. 其中一项就是把一块矩形的空地补上了彩色地砖，成为市民休闲健身的场所.你能够表示出这块矩形空地的面积吗?= 你能用所学的知识解释m(a+b+c)=ma+mb+mc这个等式吗？m(a+b+c)=mambmc++乘法分配律怎样计算单项式2x与多项式3x2-x-5的积？推进新课2a2(3a2 -5b)=2a2 .3a22a2 .(-5b)+= 6a4-10a2b(-2a2)(3ab2-5b)=(-2a2). 3ab2(-2a2).(-5b)+= -6a3b2 + 10a2b运算时要注意哪些问题？① 不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的每一项；
② 去括号时注意符号的确定.说一说 单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的各项,再将所得的积相加.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘的运算法则是运用了“转化”的数学思想方法，利用分配律把单项式乘以多项式问题转化为前面学过的单项式与单项式相乘，最后再合并同类项．
（1）单项式与多项式的积是多项式，积的项数与多项式因式的项数相同；
（2）单项式乘以多项式是多项式乘法、因式分解、分式通分、解分式方程等知识的重要基础．举
例①②③例1. 下列各题的解法是否正确，如果错了，指出错 在什么地方，并改正过来.×××举
例(3) (-4x2) ?(3x+1)； 解：(-4x2) ?(3x+1)
=(-4x2) ?(3x)+(-4x2) ? 1
=(-4×3)(x2 ? x)+(-4x2)
= -12x3 -4x2.例2. 计算：解:解： yn(yn + 9y-12)-3(3yn+1-4yn)
= y2n+9yn+1-12yn-9yn+1+12yn = y2n
当 y=-3，n=2时，原式=(-3)2×2=(-3)4=81.4. 先化简，再求值：yn(yn +9y-12)-3(3yn+1-4yn)，
其中y=-3,n=2.举
例3.求 的值，其中x=2，y=-1.当 x=2，y=-1时，
原式的值为 3×23×(-1) +2×22×(-1)2 = -24+8 = -16.1. 计算： （1）-2x2 · (x-5y)；（2）(3x2-x+1)· 4x .-2x3+10x2y12x3-4x2+4x（3）(2x+1) · (-6x)；（4）3a·(5a-3b) .-12x2-6x15a2-9ab （5）(-3x2)·(4x-3)（6）2ab(5ab2+3a2b) （7）(-12xy2-10x2y+21y3)(-6xy3)10a2b3+6a3b2 72x2y5+60x3y4-126xy6 -12x3+9x2（8）随堂演练112、填空(1)（ ）
(2)
(3)
(4)已知a2(2ax-3ay)=2a6-3a3,则x= ,y= .-6ab2a14ab8a2b2413、先化简,再求值： (1)、2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b= -3 已知A=2x，B是多项式，在计算B＋A时，
小马虎同学把B＋A看成了B÷A，结果得x2＋0.5x，
则B＋A=____________.解析：
因为 A= 2x，B÷A＝x2＋0.5x，
所以 B=(x2＋0.5x)·2x＝2x3＋x2，
故 B＋A=(2x3＋x2)＋2x＝2x3＋x2＋2x.2x3＋x2＋2x 单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．单项式与多项式相乘的依据是乘法对加法的分配律．注意：单项式与多项式相乘,在没有合并同类项前，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同。积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定。
注意运用去括号法则，不要漏乘项． 通过这节课的学习活动，你有什么收获？课堂小结1.教材12.2习题 3、4、5题；
2.完成练习册本课时的习题.课后作业 学习这件事不在乎有没有人教你，最重要的是在于你自己有没有觉悟和恒心。 —— 法布尔3.多项式与多项式相乘
【基本目标】
1.能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式.会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算.
2.培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
3.培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力.
【教学重点】
掌握多项式乘以多项式的法则.
【教学难点】
运用法则进行混合运算时，不要漏项.
一、复习旧知，导入新课
指名学生说出单项式与多项式相乘的法则.（单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的的积相加.）
式子p（a+b）=pa+pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式.如果p=m+n，那么p（a+b）就成了（m+n）（a+b），这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题.（由此引出课题）
你会计算这个式子吗？你是怎样计算的？
二、师生互动，探究新知
【教师活动】（教师引导学生由繁化简，把（m+n）看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：［（m+n）（a+b）］=（m+n）a+（m+n）b=ma+mb+na+nb.
【教师活动】教材P28例图你会验证吗？
【教师活动】问题：（1）如何表示扩大后的林区的面积？
（2）用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？
【学生活动】学生分组讨论，相互交流得出答案.
【教师活动】观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到？如果能得到，又是怎样相乘得到的？（教师示范）
1.你能用语言叙述这个式子吗？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
2.两个多项式相乘，不先计算能知道结果中（合并同类项前）有几项吗？
3.在计算中怎样才能不重不漏？
这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用？若适用，应怎样计算？
【学生活动】学生小组讨论、交流、发言汇报.
三、随堂练习，巩固新知
完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时反馈，特别是漏乘现象.
四、典例精析，拓展新知
例甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-9x+10.
（1）你能知道式子中a、b的值各是多少吗？
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.
【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab.对比得到的结果可得-（3a-2b）=11；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，即乙的计算式为（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab.对比得到的结果可得出a,b的值.
解：（1）（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10.
（2）（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10.
∴-（3a-2b）=11,
a+2b=-9,解得a=-5,
b=-2.
（2）原式=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10.
五、运用新知，深化理解
若多项式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展开后不含x3项和x2项，试求m、n的值.
解：原式=x4+mx3+nx2-3x3-3mx2-3nx+4x2+4mx+4n=x4+（m-3）x3+（n-3m+4）x2+（4m-3n）x+4n，由题意得：
m-3=0,且n-3m+4=0
∴m=3,n=5.
【教学说明】教师提示各项系数对应，即待定系数法.
六、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
完成练习册中本课时对应的课后作业部分.
本节课推导多项式乘多项式法则时，从单项式乘多项式法则入手，用换元思想直接推导，思维有根基，为防止本节课中最大错误——漏乘现象，教师设置了一个探究关于多项式相乘后（没合并同类项前）的项数问题，很好的避免了这个错误.典例精析中的待定系数法初次接触，注意对学习困难的学生进行及时指导.
课件22张PPT。12.2 整式的乘法
3.多项式与多项式相乘第12章 整式的乘除八年级上册(1)(-x)3·(-x)3·(-x)5=______;
(2) (x2)4=_______;
(3) (x3y5)4=______; (4)(xy)3·(xy)4·(xy)5=______;
(5) (-3x3y)(-5x4y2z4)=_______;
(6)-3ab2(-4a+3ab-2)
=________________-x11x8x12y20x12y1215x7y3z412a2b2-9a2b3+6ab2知识回顾b窗口矮柜右侧矮柜mn图5-5a我们怎样来表示此厨房的总面积呢 ?新课导入a+bm+nabambmmab窗口矮柜右侧矮柜mn图5-5图5-6图5-7由图5-6,可得总面积为 (a+b)(m+n);由图5-7,可得总面积为 a(m+n)+b(m+n) 或 am+an+bm+nn.anbnna(1) (2) (3) anbm a+babanbmam + an + bm + bn=+++知识探究多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 提示：运算还未熟练时，算之前先把多项式的每个单项式拆分出来。 (1) (x+2y)(5a+3b) ;拆分成多个单项式：（x，2y）（5a，3b）按法则算得：x·5a , x·3b , 2y·5a , 2y·3b积相加得：x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b解：(x+2y)(5a+3b) =x ·5a +x ·3b +2y ·5a +2y ·3b=5ax+3bx+10ay+6by41233412典例解析 (2) (2x–3)(x+4) ;拆分成多个单项式：（2x，-3）（x， 4）按法则算得：2x·x, 2x·4, -3·x , -3·4积相加得：2x·x+2x·4+(-3)·x+(-3)·4解：(2x–3)(x+4)2x2 +8x –3x –12=2x2 +5x=–1212433412 (3) (3x+y)(x–2y) ；拆分成多个单项式：（3x，y）（x，-2y） 按法则算得：3x·x, 3x·（-2y）, y·x ,y·（-2y）积相加得：3x·x+3x·（-2y）+y·x +y·（-2y）解：(3x+y)(x–2y)=3x2 –6xy +xy –2y2=3x2 –5xy –2y2 12433412你注意到了吗？ 多项式乘以多项式，展开后项数很有规律，在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于两个多项式的项数的积。计算： (1)(x+y)(x–y);(2) (2a+b)2; (3) (x+y)(x2–xy+y2)注 意 !1.计算(2a+b)2应该这样做：
(2a+b)2=(2a+b)(2a+b)
=4a2+2ab+2ab+b2
=4a2+4ab+b2
切记 一般情况下
(2a+b)2不等于4a2+b2 .1.算一算:
(1) (2x+1)(x+3); (2) (m+2n)(m+ 3n):
(3) ( a - 1)2 ； (4) (a+3b)(a –3b ).
(5) (x+2)(x+3); (6) (x-4)(x+1)
(7) (y+4)(y-2); (8) (y-5)(y-3)答案: (1) 2x2+7x+3; (2) m2+5mn+6n2;
(3) a2-2a+1; (4) a2-9b2
(5) x2+5x+6; (6) x2-3x-4;
(7) y2+2y-8; (8) y2-8y+15.随堂练习2.填空：观察上面四个等式，你能发现什么规律？你能根据这个规律解决下面的问题吗？5 61 (-6)(-1) (-6)(-5) 6口答：3.确定下列各式中m、p的值:
(1) (x+4)(x+9) = x2 + m x + 36
(2) (x-2)(x-18) = x + m x + 36
(3) (x+3)(x+p) = x + m x + 36
(4) (x-6) (x-p) = x + m x + 36 (1) m =13 (2) m = - 20 (3) p =12, m= 15(4) p= -6, m= -12巩固练习 (3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2) ;
(x+y)(2x–y)(3x+2y).注意：(x+y)(2x–y)(3x+2y)是三个多项式相乘，应该选其中的两个先相乘，把它们的积用括号括起来，再与第三个相乘。判别下列解法是否正确，若错请说出理由。解：原式判别下列解法是否正确，若错请说出理由。解：原式判别下列解法是否正确，若错请说出理由。解：原式 通过这节课的学习活动，你有什么收获？课堂小结1.教材12.2习题 5 、6、7题；
2.完成练习册本课时的习题.课后作业 读和写是学生最必要的两种学习方法，也是通向周围世界的两扇窗口。 ——苏霍姆林斯基
