山东省济宁市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题 (含答案)

2023—2024学年度第一学期质量检测
高一数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
3．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．函数的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，若，则x所有可能的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．
10．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB
B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等
C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1
D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则
12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的周期为2
C． D．的图象关于中心对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数（，且）恒过的定点是______．
14．若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是______．
15．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______．
16．若函数，则关于x的不等式的解集是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
18．（12分）
已知函数的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调递减区间．
19．（12分）
已知函数．
（1）若的解集为，求a，b的值；
（2）解关于x的不等式．
20．（12分）
在平面直角坐标系xoy中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边OQ重合．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．（12分）
为提升居民幸福生活指数，着力打造健康舒适、生态宜居、景观优美的园林城市．某市政府利用城区人居环境整治项目资金，在城区要建一座如图所示的五边形ABCDE休闲广场．计划在正方形EFGH上建一座花坛，造价为32百元/；在两个相同的矩形ABGF和CDHG上铺草坪，造价为0.5百元/；再在等腰直角三角形BCG上铺花岗岩地坪，造价为4百元/．已知该政府预计建造花坛和铺草坪的总面积为，且受地域影响，EF的长度不能超过6m．设休闲广场总造价为y（单位：百元），EF的长为x（单位：m），FA的长为t（单位：m）．
（1）求t与x之间的关系式；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当x为何值时，休闲广场总造价y最小？并求出这个最小值．
22．（12分）
已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）试判断的单调性，并说明理由；
（3）定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围．
2023—2024学年度第一学期质量检测
高一数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．A
8．解：因为，可知，所以．
又方程有解，所以．
所以，，故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．BD 10．ABD 11．ACD 12．ABD
12．解：因为函数是定义在上的偶函数，且满足．
所以，
令得，所以．故A正确．
因为…①，所以…②
①－②得：，所以的最小正周期为2．故B正确．
．故C不正确．
由得，
所以图象关于中心对称．故D正确．所以选ABD．
三、填空题：每小题5分，共20分．
13． 14．2 15． 16．
15．解：，，
令，可知，所以，
又因为函数在上是单调递增函数，
所以在上单调递增．从而有，解得：．
16．解析：由函数，
得：为上的奇函数，且在上单调递减．
又，所以，即：，
所以，所以，解得：．故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．解（1）由，解得，所以．
又，可知，所以，故．
（2）因为，所以，又，，
所以．故实数a的取值范围为．
18．解：（1）因为函数的图象上相邻两个最高点之间的距离为，
可知，又，所以，
又因为函数的图象过点，
所以，又，可知；故．
（2）由（1）可知．
令，因为的单调递减区间为，
且由，解得．
故函数的单调递减区间为．
19．解（1）因为的解集为，
所以解得故，．
（2）由，可知，即，
当时，解得；当时，，解得，或；
当时，，解得，或．
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
20．解：（1）由已知得：，，
因为，所以，又，所以．
即，．又，
所以；．
所以．
（2）由（1）知，
又因为
．
21．解（1）由已知得：，所以，
（2）由已知得：，所以．
（3）由（2）知：，
所以，
当且仅当，即时，．
故当x为5m时，休闲广场总造价y最小，并且最小值为1500百元．
22．解：（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得，
所以函数的定义域是．
（2）在上单调递增．
理由如下：法一：
因为，
又在上为增函数，在上为减函数，
在上为增函数，在上为增函数，
故在上单调递增．
法二：
因为，
对任意，，且，可知，则
，
又，
可知，所以，
即．故在上单调递增，
（3）由（2）可知在上单调递增，设区间是函数的“完美区间”．则，．
可知方程在上至少存在两个不同的实数解，
即在上至少存在两个不同的实数解，
所以与在上至少存在两个不同的交点．
令，则，
所以，当且仅当时，取等号．
又在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，．
所以．故实数b的取值范围为．