第八章 §8.3 培优课 与球有关的内切、外接问题 学案（含答案）

培优课　与球有关的内切、外接问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系．
一、球与长(正)方体的简单切、接问题
知识梳理　
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝________，过在一个平面上的四个切点作截面，如图1.
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2＝________，过球心作正方体的对角面，如图2.
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径．若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，此时球的半径为r3＝________________，过球心作长方体的对角面，如图3.
4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为________．
例1　长方体的共顶点的三个侧面的对角线长分别为，，，则它的外接球的表面积为________．
反思感悟　球与长(正)方体的切、接问题的关键是根据“接点”和“切点”作出适当的截面，将空间问题转化为平面问题．
跟踪训练1　已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为(　　)
A．2 B. C. D.
二、直接法
例2　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．
反思感悟　本题运用公式R2＝r2＋d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．
跟踪训练2　已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为(　　)
A. B.π C．2π D．2π
三、构造法
例3　三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________．
反思感悟　一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为R，则有2R＝.
跟踪训练3　若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是________．
四、寻求轴截面圆半径法
例4　若正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，则此球的体积为________．
反思感悟　根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．
跟踪训练4　在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．
五、确定球心位置法
例5　已知三棱锥A－BCD的侧棱长为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为________．
反思感悟　找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等．正棱锥的外接球球心在垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点．
跟踪训练5　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
培优课　与球有关的内切、外接问题
知识梳理　
1.　
2.a　
3.　
4.2R＝a　
例1　　跟踪训练1　A
例2　
解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有解得
∴正六棱柱的底面外接圆的半径
r＝，
球心到底面的距离d＝.
∴外接球的半径R＝＝1.∴V球＝.
跟踪训练2　C　[
由球O的表面积S＝4πR2＝8π，得R＝，设圆柱的底面半径为r，
则其高h＝2r.由R2＝r2＋2＝2r2解得r＝1.
故圆柱的体积V＝πr2·2r＝2π.]
例3　4π
解析　因为AB⊥BC，BC⊥CD，
构造如图所示的长方体，
则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R.
∵VA－BCD＝××BC×CD×AB
＝×2×CD×2＝，
∴CD＝2，∴该长方体为正方体，
∴AD＝2，∴R＝，
∴三棱锥A－BCD外接球的体积为V＝πR3＝4π.
跟踪训练3　6π
解析　根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，，的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R，
则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6.
∴R2＝.
故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
例4　
解析　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，
∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，
∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在△ASC中，
由SA＝SC＝，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2.
∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形.
∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径.
故V球＝.
跟踪训练4　解　作正方体对角面的截面，如图所示，
设半球的半径为R，正方体的棱长为a，
那么CC′＝a，OC＝.
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
即a2＋2＝R2，∴R＝a.
从而V半球＝πR3＝π3
＝πa3，
V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3
＝π∶2.
例5　
解析　如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面△BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上，O′为外接球球心，令O′A＝O′D＝R，
OD＝DE＝×2×＝2，
AD＝2，
∴AO＝＝4，
∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2，
∴(4－R)2＋4＝R2，解得R＝，
∴V球＝πR3＝.
跟踪训练5　16π
解析　取PC的中点O(图略)，
∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，
∴OA＝PC，同理OB＝PC，
即OA＝OB＝OP＝OC，即点O到点P，A，B，C四点的距离相等，
∴点O为外接球的球心，
PC＝＝4，
∴R＝PC＝2，
∴S球＝4πR2＝16π.