第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
[学习目标]
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.了解简单组合体的概念及结构特征.
一、旋转体的结构特征
知识梳理
1.圆柱的概念及结构特征
圆柱 图形及表示
定义 以______________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱记作圆柱O′O
相关概念 圆柱的轴：________； 圆柱的底面：__________的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：__________的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，______的边
2.圆锥的概念及结构特征
圆锥 图形及表示
定义 以直角三角形的______所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中圆锥记作圆锥SO
相关概念 圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的________旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的概念及结构特征
圆台 图形及表示
定义 用________________的平面去截圆锥，________________之间的部分叫做圆台 图中圆台记作圆台O′O
相关概念 圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：________________的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.球的概念及结构特征
球 图形及表示
定义 ________________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球记作球O
相关概念 球心：半圆的________； 半径：连接________和球面上任意一点的________； 直径：连接球面上______并经过球心的________
例1 (多选)下列选项中，正确的是( )
A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
反思感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
跟踪训练1 (多选)下列说法正确的是( )
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
二、简单组合体的结构特征
知识梳理
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作________________.简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体________而成，一种是由简单几何体________________一部分而成.
例2 (1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.
(2)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形绕轴旋转而成( )
延伸探究 将本例(2)中的组合体变为如图所示的几何体，则可由下列哪个三角形绕轴旋转而成( )
反思感悟 判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
跟踪训练2 (1)如图所示的简单组合体的组成是( )
A.棱柱、棱台
B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台
D.棱柱、棱柱
(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
三、旋转体的有关计算
例3 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
反思感悟 (1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)求解.
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
(2)球的结构特征.
(3)简单组合体的结构特征.
2.方法归纳：分类讨论、转化与化归.
3.常见误区：同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
1.(多选)下列说法中不正确的是( )
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是( )
3.一条排水管的截面如图.已知排水管的截面圆半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面水深CD等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
知识梳理
1.矩形的一边 旋转轴 垂直于轴
平行于轴 平行于轴
2.一条直角边 斜边
3.平行于圆锥底面 底面与截面
垂直于轴
4.半圆以它的直径 圆心 球心 线段
两点 线段
例1 CD 跟踪训练1 BD
知识梳理
简单组合体 拼接 截去或挖去
例2 (1)解 ①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
(2)A [此几何体自上向下由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.]
延伸探究 D [该组合体为一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥，是由D中的图形绕轴旋转而成的.]
跟踪训练2 (1)B (2)D
例3 解 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，
则πr＝5π，
πr＝8π，
∴r＝5，r＝8，
又∵R2＝r＋d＝r＋d，
∴d－d＝8－5＝3，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，
又d1－d2＝1，
∴解得
∴R＝＝＝3，
即球的半径为3.
跟踪训练3 解 设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
所以＝.
所以＝＝.
解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm.
随堂演练
1.ABD 2.B 3.B 4.16π或9π第八章 立体几何初步
§8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
[学习目标]
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.
一、空间几何体、多面体、旋转体的定义
问题1 观察下列物体，它们有什么特点？
知识梳理
1.空间几何体：如果我们只考虑物体的______和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
2.多面体、旋转体
类别 多面体 旋转体
定义 一般地，由若干个________围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的____________旋转所形成的曲面叫做________，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关概念 面：围成多面体的各个__________； 棱：两个面的______； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
二、棱柱的结构特征
知识梳理
1.棱柱的结构特征
棱柱
定义 有两个面互相________，其余各面都是__________，并且相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形及表示 图中的棱柱记作棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
相关概念 底面：两个互相________的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的____________； 顶点：侧面与底面的____________
分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2.几个特殊的棱柱
(1)直棱柱：________________________的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；
(2)斜棱柱：________________________的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；
(3)正棱柱：底面是正多边形的__________叫做正棱柱(如图③)；
(4)平行六面体：底面是________________的四棱柱也叫做平行六面体(如图④).
例1 (1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是( )
A.所有的面都是平行四边形
B.每个面都不会是三角形
C.两底面互相平行，并且各侧棱也互相平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
反思感悟 棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形.
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
跟踪训练1 下列命题中正确的是( )
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
三、棱锥的结构特征
问题2 图中的多面体具有怎样的特点？
知识梳理
棱锥
定义 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形及表示 图中的棱锥记作棱锥S—ABCD
相关概念 底面：________面； 侧面：有公共顶点的各个________面； 侧棱：相邻侧面的________； 顶点：各侧面的________
分类 (1)按底面多边形的边数来分，可以分为：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体； (2)底面是________，并且顶点与底面中心的连线________底面的棱锥叫做正棱锥
例2 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱互相平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
反思感悟 类比棱柱结构的辨析方法，棱锥结构的辨析方法有2种
(1)直接法(扣定义)：①看面：即观察这个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；②看线：即观察侧棱是否相交于一点.
(2)举反例.
跟踪训练2 下列说法中正确的是( )
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
四、棱台的结构特征
问题3 如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的下部分具有怎样的特点？
知识梳理
棱台
定义 用一个______________的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图形及表示 图中的棱台记作棱台ABCD—A′B′C′D′
相关概念 上底面：平行于原棱锥底面的________； 下底面：原棱锥的________； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上、下底面的公共顶点
分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
例3 (多选)下列选项中，不正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
跟踪训练3 下面四个几何体中，为棱台的是( )
1.知识清单：
(1)多面体、旋转体的定义.
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.方法归纳：举反例法，定义法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
1.下列多面体中，是棱柱的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( )
A.四棱柱 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱锥
3.(多选)下列说法不正确的是( )
A.棱台的两个底面相似
B.棱台的侧棱长都相等
C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
问题1 可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.
知识梳理
1.形状 大小
2.平面多边形 一条定直线 旋转面 多边形 公共边
知识梳理
1.平行 四边形 平行 平行 公共边
公共顶点
2.(1)侧棱垂直于底面 (2)侧棱不垂直于底面 (3)直棱柱 (4)平行四边形
例1 (1)CD
(2)解 ①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
跟踪训练1 D
问题2 通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.
知识梳理
多边形 三角形 多边形 三角形 公共边 公共顶点 正多边形
垂直于
例2 AB [由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，如图所示的几何体均满足条件，但都不是棱锥，故D错误.
]
跟踪训练2 D
问题3 截得的下部分上、下两个面互相平行且相似，各侧面为梯形.
知识梳理
平行于棱锥底面 截面 底面
例3 ABC [A中的平面不一定平行于底面，故A错；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错；由棱台的定义知，D正确.]
跟踪训练3 C
随堂演练
1.D 2.B 3.BCD 4.12
