第八章 §8.2 立体图形的直观图 学案（含答案）

§8.2　立体图形的直观图
[学习目标]　
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
知识梳理　
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
例1　用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
反思感悟　在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1　用斜二测画法画边长为4的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
二、直观图的还原与计算
例2　如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为________.
反思感悟　由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积S′与原图形面积S的关系为S′＝S或S＝2S′.
跟踪训练2　(1)如图，△A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
三、空间几何体的直观图的画法
问题　我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？
知识梳理　
空间几何体直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个与x轴、y轴都垂直的________轴，直观图中与之对应的是________轴.
(2)画底面：____________表示水平平面，____________和____________表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中____________和________都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为________.
例3　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
反思感悟　空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图.
(2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练3　用斜二测画法画出正六棱锥P－ABCDEF的直观图.(尺寸自定)
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)直观图的还原与计算.
(3)空间几何体直观图的画法.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
1.(多选)关于斜二测画法所得到的水平放置的平面图形的直观图，下列说法正确的是(　　)
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
2.若利用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应(　　)
A.平行于z′轴且长度为10 cm
B.平行于z′轴且长度为5 cm
C.与z′轴成45°且长度为10 cm
D.与z′轴成45°且长度为5 cm
3.(多选)如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图形，可能是△ABC的直观图的是(　　)
4.如图，△A′O′B′是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图，则△AOB的面积是______.
§8.2　立体图形的直观图
知识梳理
45°　135°　水平面　x′轴或y′轴　线段　保持原长度不变　一半
例1　解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
跟踪训练1　解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系.
(2)画对应的x′轴、y′轴，
使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2，
在y′轴上截取O′A′＝OA.
连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
例2　菱形　24 cm2
解析　如图，在原图形OABC中，
应有OA＝O′A′
＝6 cm，
OD＝2O′D′
＝2×2
＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OC＝
＝＝6(cm)，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
S四边形OABC＝OA×OD＝6×4
＝24(cm2).
跟踪训练2　(1)D　(2)D
问题　先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图.
知识梳理
(1)z　z′　(2)x′O′y′平面
y′O′z′平面　x′O′z′平面
(3)平行性　长度　(4)虚线
例3　解　(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了.
跟踪训练3　解　画法：
(1)画出正六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图1；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图2；②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以点M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点.在z′轴的正半轴上取点P′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图3.
随堂演练
1.AB　2.A　3.CD　4.16