第八章 8.5.1　直线与直线平行 学案（含答案）

§8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
[学习目标]　
1.会判断空间两直线的位置关系.
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．
一、基本事实4
问题1　在如图所示的正方体ABCD－A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC与A′B′平行吗？由此，你能得到什么结论？
知识梳理　
文字语言 平行于同一条直线的两条直线________
图形语言
符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c ______
作用 证明两条直线平行
例1　如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
延伸探究　若条件中增加“AC＝BD”，那么四边形EFGH是什么图形？
反思感悟　基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．证明两直线平行的方法一般有三角形的中位线、平行四边形、点分线段成比例等．
跟踪训练1　如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．
二、空间等角定理
问题2　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
知识梳理　
1．定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
2．推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别________，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
反思感悟　等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
跟踪训练2　(1)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
1．知识清单：
(1)基本事实4的应用．
(2)等角定理的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补．
1．已知直线a，b，c，d，a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A．全等
B．不相似
C．仅有一个角相等
D．相似
4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β＝________.
8.5.1　直线与直线平行
问题1　平行.得到事实：平行于同一条直线的两条直线平行.
知识梳理
平行　a∥c　
例1　证明　因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，
EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
延伸探究　解　由题意得EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝BD，所以EH∥FG，EH＝FG，因为AC＝BD，则EF＝FG＝GH＝EH，所以四边形EFGH为菱形.
跟踪训练1　证明　如图，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝AC.
∵AA1＝CC1，且AA1∥CC1，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
问题2　成立.当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置.
知识梳理
1.相等或互补　
2.平行
例2　证明　如图，连接EE1.
∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1E1綉AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1A綉E1E，
又A1A綉B1B，∴E1E綉B1B，
∴四边形E1EBB1是平行四边形.
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，
且∠B1E1C1和∠BEC均为锐角，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
跟踪训练2　(1)
解析　∵AA′∩BB′＝O，
且＝＝，∴AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，
∴＝2＝.
(2)证明　如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以FG∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD綉AB，A1B1綉AB，
由基本事实4知CD綉A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綉B1C.
又B1C∥FG，
由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证A1C1∥GE，DC1∥FE.
又∠DA1C1与∠FGE，∠A1DC1与∠GFE，∠DC1A1与∠FEG的两条边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG.
所以△EFG∽△C1DA1.
随堂演练
1.A　2.B　3.D　4.60°或120°