第八章 8.5.3 平面与平面平行 学案（含答案）

8.5.3　平面与平面平行
[学习目标]　
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理．
一、平面与平面平行的判定定理
问题1　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
知识梳理　
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
例1　(1)平面α与平面β平行的充分条件可以是(　　)
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a α，a β
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1.
反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．证明问题时，使结论成立的条件一定要叙述完整．
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，CD∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？
知识梳理　
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线________
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
图形语言
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接PM，N是PM与DE的交点，连接CM，NF，求证：NF∥CM.
跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
(2)试确定点F的位置．
三、平行问题的综合应用
例3　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
反思感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
跟踪训练3　如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
1．知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理．
(2)平面与平面平行的性质定理．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：平面与平面平行的条件不充分．
1．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
2．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是(　　)
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
3．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则AC∥BD的充要条件是(　　)
A．AB∥CD
B．AD∥CB
C．AB与CD相交
D．A，B，C，D四点共面
4.如图，在三棱锥P－ABC中，M是PC的中点，E是AM的中点，点F在棱PB上，且满足EF∥平面ABC，则BF∶FP＝________.
8.5.3　平面与平面平行
问题1　三角尺和桌面一定平行，硬纸片不一定平行.
知识梳理
两条相交直线　
例1　(1)D
(2)证明　连接EF，
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，E，F分别为DD1，CC1的中点，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝CF，
∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形，
则AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面BFD1，D1F 平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
跟踪训练1　证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
问题2　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.
当a与b不异面，即a与b在同一个平面内时，a与b平行.
知识梳理
平行　a∥b　
例2　证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
跟踪训练2　(1)证明　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)解　取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME綉A1B1，
又A1B1綉C1D1，
∴ME綉C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM綉C1F，
∴F为棱CC1的中点.
例3　证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF；
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G与平面ABC有公共点G，
则有经过G的直线，交BC于点H，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，
∴H为BC的中点.
跟踪训练3　解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∴AB∥CD，可得＝.
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴＝，解得BD＝.
随堂演练
1.A　2.D　3.D　4.1∶3