第八章 §8.6 习题课 异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法 学案（含答案）

习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
[学习目标]　
1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.
2.掌握直线与平面所成角的求法．
一、异面直线所成的角
例1　如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
反思感悟　求异面直线所成的角的方法
求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
跟踪训练1　如图，已知在三棱锥A－BCD中，AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，BD＝，AC＝，求异面直线AC与BD所成角的大小．
二、直线与平面所成的角
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值．
反思感悟　求斜线和平面所成的角的步骤
(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．
(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．
(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成角的余弦值．
1．知识清单：
(1)异面直线所成的角．
(2)直线与平面所成角的求解方法．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角．
1. 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为(　　)
A．∠DD′A B．∠AD′C′
C．∠ADB′ D．∠DAD′
2．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于(　　)
A．20° B．70° C．90° D．110°
3. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小变化为(　　)
A．变大 B．变小
C．不变 D．有时变大有时变小
4. 如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC和平面ABC所成角的正切值为________．
习题课　异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
例1　D　[连接BC1，由题意得BC1∥AD1，
则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．
连接A1C1，
由AB＝1，AA1＝2，
得A1C1＝，A1B＝BC1＝，
故cos∠A1BC1＝
＝＝，
即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.]
跟踪训练1　解　如图，取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接EF，FG，GM，ME，EG.
则MG綉BC，EM綉AD.
因为AD⊥BC，所以EM⊥MG.
在Rt△EMG中，
有EG＝＝1.
由图可知，∠EFG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，
因为EF＝BD＝，
FG＝AC＝，
所以EF2＋FG2＝EG2，
所以EF⊥FG，即AC⊥BD.
所以异面直线AC与BD所成角的大小为90°.
例2　解　如图，取PC的中点为E，连接EO，则OE∥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.又OE∥BC，
∴OE⊥平面PAC，
∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角．
设PA＝AC＝BC＝2，则OE＝1，CE＝，OC＝，
∴cos∠OCE＝＝＝.
∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为.
跟踪训练2　解　如图，设正三棱锥S－ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a.
设O为底面△ABC的中心，
则∠SAO为SA和平面ABC所成的角．
在Rt△SOA中，
因为AO＝×a＝a，
所以cos∠SAO＝＝＝，
即侧棱和底面所成角的余弦值为.
随堂演练
1．A　2.B　3.C　4.2