第八章 8.6.1 直线与直线垂直 学案（含答案）

§8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
[学习目标]　
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.
2.理解并掌握异面直线所成的角.
3.会求任意两条直线所成的角．
一、异面直线所成的角
问题　平面内两条直线所成的角的范围是多少？
知识梳理　
异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为α，则0°<α≤90°
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成角的大小；
(2)FO与BD所成角的大小．
反思感悟　求两条异面直线所成角的步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．
(2)证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出所作的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
(4)结论：可用“一作二证三计算四结论”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°<α≤90°.
跟踪训练1　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
二、直线与直线垂直
知识梳理　
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线________________．直线a与直线b垂直，记作________．
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.
反思感悟　要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直．
跟踪训练2　如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
1．知识清单：
(1)平面内两直线的夹角．
(2)异面直线所成的角．
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：容易忽视异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°.
1．垂直于同一条直线的两条直线(　　)
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．和两条异面直线都垂直的直线(　　)
A．有无数条
B．有两条
C．只有一条
D．不存在
4. 在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
8．6.1　直线与直线垂直
问题　.
例1　解　(1)∵CG∥BF，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，
∵FB＝HD，
FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
跟踪训练1　解　如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
知识梳理
互相垂直　a⊥b
例2　证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴A1D1綉BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，
∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成的角即为直线AO与D1C所成的角，
如图，连接AC，AD1，
易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，
∴AO⊥A1B.
跟踪训练2　证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，
F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，
∴BE和EF所成的角为∠BEF，
即为异面直线BE与AC′所成的角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，
∵AB＝BB′＝2，
∴AC′＝2，∴EF＝.
在等边三角形ABC中，
BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝
＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
随堂演练
1．D　2.B　3.A　4.60°