第八章 8.6.2 直线与平面垂直 学案（含答案）

8.6.2　直线与平面垂直
[学习目标]　
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题．
一、直线与平面垂直的定义
问题1　如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？
问题2　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
知识梳理　
1．直线与平面垂直的定义及画法
定义 一般地，如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
有关概念 直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________，它们唯一的公共点P叫做________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.过一点垂直于已知平面的直线________________一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，____________的长度叫做这个点到该平面的距离．
例1　(多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事．
跟踪训练1　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
二、直线与平面垂直的判定定理
问题3　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
知识梳理　
文字语言 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，________＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
反思感悟　证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟踪训练2　如图，在四面体ABCD中，棱CD＝，其余各棱长都为1，E为CD的中点．求证：
(1)CD⊥平面ABE；
(2)AE⊥平面BCD.
三、直线与平面所成的角
问题4　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？
知识梳理　
直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面________，但不与这个平面________，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中________
斜足 斜线和平面的______，如图中________
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引______，过______和________的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为________
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中_______； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是________
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则________________
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．
(1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小．
延伸探究　例3条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
反思感悟　求直线与平面所成的角的步骤
(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角．
(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角．
(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．
(4)答．
跟踪训练3　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
四、直线与平面垂直的性质定理
问题5　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？
知识梳理　
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言 a⊥α，b⊥α a∥b
图形语言
例4　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
反思感悟　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用基本事实4：证两条直线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
跟踪训练4　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
1．知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义．
(2)直线与平面垂直的判定定理．
(3)直线与平面所成的角．
(4)直线与平面垂直的性质定理．
2．方法归纳：转化思想，数形结合．
3．常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直．
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直
B．过平面外一点有无数条直线与平面所成的角为30°
C．一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直
D．一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直
2．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是(　　)
A．a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b B．a⊥b，a⊥α b∥α
C．a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c D．a⊥α，b⊥α a∥b
3．(多选)直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是(　　)
A．a和b垂直于正方体的同一个面
B．a和b在正方体两个相对的面内，且共面
C．a和b平行于同一条棱
D．a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直
4. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为________．
8．6.2　直线与平面垂直
问题1　始终保持垂直．
问题2　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
知识梳理
1．任意一条　l⊥α　垂线　垂面　垂足
2．有且只有　垂线段
例1　ABD　跟踪训练1　AC
问题3　不一定．折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直．
知识梳理
两条相交直线　m∩n　
例2　证明　方法一　∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
则A1O＝，OM＝，A1M＝3，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，
∴A1O⊥平面MBD.
方法二　连接A1B，A1D，OM(图略)．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1B＝A1D，
O为BD的中点，
∴A1O⊥BD.
令正方体的棱长为2，
在Rt△A1AO和Rt△OCM中，
tan∠AA1O＝＝，
tan∠COM＝＝，
故△A1AO∽△OCM，
∴∠AOA1＋∠COM＝90°，
∴∠A1OM＝90°，
∴A1O⊥OM，
∵BD∩OM＝O，
BD 平面MBD，
OM 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
跟踪训练2　证明　(1)∵E为CD的中点，且AD＝AC，
∴CD⊥AE.
又∵BD＝BC，
∴CD⊥BE.
∵AE∩BE＝E，AE，BE 平面ABE，
∴CD⊥平面ABE.
(2)∵AD＝AC＝1，DC＝，
∴∠DAC＝90°，AE＝.
同理BE＝，
∵AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥BE.
又AE⊥CD，CD∩BE＝E，且CD，BE 平面BCD，
∴AE⊥平面BCD.
问题4　铅笔和它在桌面上的射影所成的角．
知识梳理
相交　垂直　直线PA　交点　点A
垂线　垂足　斜足　直线AO　∠PAO　90°　0°　0°≤θ≤90°
例3　解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为1，
则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，
又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
延伸探究　解　如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a.
因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
在Rt△A1BO中，
A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B.
所以∠BA1O＝30°，
所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
跟踪训练3　解　由题意知，A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面ABC上的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面ABC所成的角．
又∵在Rt△MBC中，
BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°
＝5×＝.
在Rt△MAB中，
MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，
sin∠MCA＝＝＝，
即MC与平面ABC所成角的正弦值为.
问题5　在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行．
知识梳理
平行
例4　证明　∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，
∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
跟踪训练4　证明　∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
随堂演练
1．BCD　2.B　3.ABC　4.45°