第八章 8.6.3 平面与平面垂直 学案（含答案）

8.6.3　平面与平面垂直
[学习目标]　
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．
一、二面角的概念
知识梳理　
二面角
1．从一条直线出发的两个__________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的________，这两个半平面叫做二面角的面．
2．画法：
3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
4．二面角的平面角：
(1)在二面角α－l－β的棱l上________一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的________叫做二面角的平面角，如图．
(2)二面角的平面角α的取值范围是____________．平面角是________的二面角叫做直二面角．
例1　如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．
反思感悟　(1)求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
(2)作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点．
跟踪训练1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
二、平面与平面垂直的定义和判定
知识梳理　
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.
(2)画法：
2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
符号语言：a α，a⊥β α⊥β.
例2　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面ACD′⊥平面BDD′B′.
反思感悟　证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．
(2)利用面面垂直的判定定理，其实质归根结底还是找一条直线与平面内的两条相交直线垂直，一定要把定理用符号语言叙述完整．
跟踪训练2　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
三、平面与平面垂直的性质定理
问题　黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？
知识梳理　
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面________
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，______，________ a⊥β
图形语言
例3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点
(1)两个平面垂直．
(2)直线必须在其中一个平面内．
(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练3　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CF＝1.求证：EF⊥A1C.
1．知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角．
(2)平面与平面垂直的定义和判定定理．
(3)平面与平面垂直的性质定理．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：面面垂直性质定理中，在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直．
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
4. 如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
8．6.3　平面与平面垂直
知识梳理
1．半平面　棱　
4．(1)任取　∠AOB
(2)0°≤α≤180°　直角
例1　解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，
则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角．
设点H是△BCD的中心，连接AH，
则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上．
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，
HM＝×2×＝，
则cos∠AMB＝＝＝，
即所求二面角的平面角的余弦值为.
跟踪训练1　解　由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，
即二面角P－BC－A的大小是45°.
知识梳理
1．(1)直二面角
例2　证明　∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴BB′⊥平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
又AC⊥BD，BD∩BB′＝B，BD，BB′ 平面BDD′B′，
∴AC⊥平面BDD′B′，
∵AC 平面ACD′，
∴平面ACD′⊥平面BDD′B′.
跟踪训练2　证明　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，
所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，
B1M＝＝，
同理BM＝＝，
又B1B＝2，
所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，
所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM 平面ABM，
所以平面ABM⊥平面A1B1M.
问题　找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面．
知识梳理
交线　垂直　a α　a⊥l
例3　证明　如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
跟踪训练3　证明　过点E作EN⊥AC于点N，连接NF，AC1，如图，
由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面A1ACC1，
所以EN⊥平面A1ACC1，
又因为A1C 平面A1ACC1，
所以EN⊥A1C，
因为E为等边△ABC的边BC的中点，
所以CE＝2，
在Rt△CNE中，CN＝CE·cos 60°＝2×＝1，
则＝＝，所以NF∥AC1，
又在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C，
故NF⊥A1C，
因为NF∩EN＝N，NF，EN 平面EFN，
所以A1C⊥平面EFN，
所以EF⊥A1C.
随堂演练
1．C　2.C　3.B　4.