第九章 9.1.2 分层随机抽样 学案（含答案）

9.1.2　分层随机抽样
[学习目标]　
1.理解分层随机抽样的概念.
2.掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本.
3.掌握两种抽样的区别与联系．
一、分层随机抽样的定义
问题1　某中学高一年级共有712名学生，男生有326名，女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本来调查高一年级学生的平均身高，如何减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果？
知识梳理　
分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行________________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为________．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成________，那么称这种样本量的分配方式为________________．
例1　某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个样本容量为36的样本，则合适的抽样方法是(　　)
A．抽签法
B．随机数法
C．分层随机抽样
D．其他抽样方法
反思感悟　使用分层随机抽样的条件
分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
跟踪训练1　分层随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　　)
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按比例分配等可能抽样
D．所有层抽取个体数量相同
二、分层随机抽样中的相关运算
问题2　你能总结一下按比例分层随机抽样的步骤吗？
例2　某学校的学生由小学部、初中部、高中部构成，其中小学部与初中部共有700人，该校领导采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，则该校高中部有________名学生．
反思感悟　在分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．
跟踪训练2　某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体情况，现采用按比例分配分层随机抽样的方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为(　　)
A．14 B．20 C．21 D．70
三、用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
问题3　在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数以及第2层的总体平均数和样本平均数该如何计算？
知识梳理　
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为和，总体平均数分别为和，总体平均数为，样本平均数为，则＝________________＝________________，
＝______________＝______________.
在比例分配的分层随机抽样中，＋＝＋＝.
例3　某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
反思感悟　求总体平均数的方法有
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
跟踪训练3　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则据此估计高二总体数学成绩的平均数为(　　)
A．110
B．125
C．95
D．105
1．知识清单：
(1)分层随机抽样的定义．
(2)分层随机抽样中的相关运算．
(3)用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数．
2．方法归纳：数据分析．
3．常见误区：在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是否相等与是否按比例分配有关．
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，女生中随机抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　)
A．分层随机抽样
B．抽签法
C．随机数法
D．其他随机抽样
2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　)
A．9 B．10 C．12 D．13
3．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人，甲读高一，乙读高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的是(　　)
A．应该采用分层随机抽样
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的样本容量是抽取的235名学生的视力
4．某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各随机抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为________分．
9．1.2　分层随机抽样
问题1　可以将男生和女生看作两个群体，按样本比例分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法．
n男＝×50≈23，
n女＝×50≈27.
知识梳理
简单随机抽样　层　比例　比例分配
例1　C　跟踪训练1　C
问题2　按比例分层随机抽样的实施步骤：
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；
第二步，计算各层所占比例．所占比例＝；
第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数＝样本量×各层所占比例；
第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；
第五步，综合每层抽取的样本，组成总样本．
例2　500　跟踪训练2　A
问题3　＝
知识梳理
　＋　　＋
例3　解　初中部抽取的人数为
60×＝34，
高中部抽取的人数为
60×＝26，
整个学校平均视力为
×1.0＋×0.8≈0.91，
所以在初中部、高中部各抽取34,26人，整个学校平均视力约为0.91.
跟踪训练3　D
随堂演练
1．A　2.D　3.A　4.108