陕西省西安重点大学附属中学2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题(含答案)

西安重点大学附中 2023~2024 学年第一学期
高一年级期末考试数学试题
注意：本试题共4页，四道大题.
一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
l 命题“ n∈Z, n∈Q”的否定是( )
A. n∈Z, n Q B. n∈Z, n Q C. n Z, η Q )D. n Z, n Q
2. 函数 的零点所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (3,4)
3. 《西游记》、 《三国演义》、 《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著.学校读书社共有 100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这 100 名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为( )
A. 80 B. 70 C. 60 D. 50
4.如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离(y)与跑步时间(x)之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是( )
5.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元) 与机器运转时间 x(单位：年) 的关系为 则该公司每台机器年平均利润的最大值是( )万元.
A. 8 B. 12 C. 28 D. 56
6. 中国古代钱币历史悠久，品种纷繁，多姿多彩，大多数是以铜合金形式铸造的，方孔钱是古代钱币最常见的一种，如图1. 现有如图2 所示某方孔钱中心方孔为正方形，M，N为正方形的顶点，O为圆心，A为圆上的点，且 定义方孔钱金属面积比率 则该方孔钱金属面积比率约为( )(方孔钱厚度不计，π ≈3)
A. 83.3% B. 88.9% C. 92.3% D. 96.3%
7. 已知 则
B. C. D. 1
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(1-2x)为偶函数,且当0A. f(x)的周期为2 B. f(1)+f(2)+…+f(2023) = 3
的所有零点之和为 16
二、多选题：本大题共4 小题，每小题4分，共 16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 4分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 对于实数a, b, c下列说法正确的是( )
A. 若a>b>0, 则 B. 若a>b, 则
C. 若a > 0 >b, 则 D. 若c > a >b, 则
10. 下列四个命题中，是真命题的是( )
A. x ∈ R, 且 B. x ∈R, 使得
C. 若x∈R, 则函数 的最小值为2
D. 当111. 关于函数f(x) = sin|x|+|sinx|的叙述正确的是( )
A. f(x)是偶函数 B. f(x)在区间(π/2,π)单调递减
C. f(x)在[-π,π]有4 个零点 D. 2π是f(x)的一个周期
12. 在平面直角坐标系 xOy中，角θ以坐标原点 O为顶点，以 x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P(x ,y ), |OP|=r(r>0), 定义 则( )
A. μ(π+θ)= v(θ)
C. 若 且θ∈(0,π), 则 D. 若 且θ∈(0,π), 则
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共 16分.
13. 将函数y = sinx图象上各点的横坐标缩小为原来的 / ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π/24个单位长度得到函数y = f(x)的图象, 则f(x)的解析式为 .
14. 已知 则a, b, c的大小关系为 .
15. 函数 没有最小值，则a的取值范围是 .
16.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 α，大正方形的面积为S ，小正方形的面积为S , 若 则sinα+cosα的值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (8分) 已知函数 的定义域为A， 集合C ={x|x-a<0, a∈R}.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求(CRA)∩B;
(3)若A C, 求实数a的取值范围.
18. (8分) (1) 证明差角的余弦公式(
(2) 若 求 的值.
19. (10分) 已知实数a>0且a≠1, 函数
(1)设函数g(x)= f(x)-x, 若g(x)在(0,2]上恰有两个零点, 求a的取值范围;
(2)设函数 若h(x)在[2,4]上单调递增, 求a的取值范围.
20 (10分) 2022 年 10月 16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕. 二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果. 某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构. 该地区现有 260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5 万元. 为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工. 据测算，若动员x(x>0)户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为3 万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%.
(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
(2)在(1) 的条件下，要使这 260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求 a的最大值.
21. (10分) 已知函数
(1)求函数f(x)在 上的单调区间；
(2)若存在 使等式 成立，求实数m的最大值和最小值.
22. (10分) 已知函数 且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性并给出证明；
(2)若对于任意的 恒成立，求实数a的取值范围.
西安重点大学附中 2023~2024学年第一学期
高一年级期末考试数学评分标准
一、单选题
1-8 ABBD ADBC
二、多选题
9. ABC 10. BD 11. AB 12. BC
三、填空题
13. f(x)= sin(4x+π/6) 14. c四、解答题
17. (1){x|2(2){x|1(3)a >4
【分析】(1) 根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式求解；
(1) 直接根据补集和交集的定义计算即可；
(3) 直接根据集合问的包含关系列式计算.
【详解】(1) 对于函数
有 解得2所以函数f(x)的定义域为{x|2 (2) 山 (1) 得A={x|2又B = {x|1 < x< 10},
所以(CRA)∩B ={x|1(3) 因为A={x|24. (8分)
18. (1) 答案见解析:
【分析】(1)利用旋转对称性及两点间的距离公式，即可证明.
(2) 根据已知条件，将式子化成含( 的式子，即可求出该式的值.
【详解】解: (1) 不妨令α≠2kπ+β,k∈Z.
设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴与始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆
相交于点P (cosα,sinα),A (cosβ,sinβ),P(cos(α-β), sin(α-β)), (1分)
显然 根据两点间的距离公式，得
(2分)
化简得 (3分)
当α= 2kπ+β(k∈Z)时, 上式仍然成立.
所以对于任意角α,β有cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ.(4分)
(2) 由题意
(5分)
(6分)
(7分)
(8分)
【分析】(1) 参变分离可得 在(0,2] 上有两个解，令 令 求出M(t)的最大值与左端点的函数值，即可求出参数的取值范围；
(2)分0<α<1和α>1两种情况讨论，结合对数函数的性质得到f(x)在[2，4]上的单调性与取值情况，从而得到不等式组，解得即可.
【详解】(1) 依题意 在(0，2]上有两个零点，
可化为 在((0,2]上有两个解,
即y=a与 在(0,2]上有两个交点, (1分)
设 令 (2分)
得 乂 (3分)
且M(t)在 上单调递增， 在( 上单调递减，M(t)的图象如下所示：
(4分)
由图可得 符合a>0且a≠1, 所以 (5分)
(2) 因为 在[2,4]上单调递增,
①当0则 在[2,4]上为减函数, 且f(x) >0在[2,4]上恒成立,所以 不等式无解；(7分)
②当a>1时, 在定义域上为增函数，
则 在[2,4]上为增函数, 且f(x) > 0在[2,4]上恒成立,所以 解得 (9分)
综上所述： (10分 )
20. (1)(0,240]
(2)22
【分析】(1) 依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为(0，240]；
(2)化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22.
【详解】(1) 根据题意可知, 需满足(260-x)×3.5×(1+5x%)≥3.5×260,(2分)
化简为 解得0故x 的取值范围为(0,240](5分)
(2)由题意得: (7分)
整理可得 (8分)
因为
当且仅当x=52时, 取到最小值 10; 所以a≤22, (9分)
即a的最大值为22(10分)
21. (1) f(x)的单调递增区间是 ， 单调递减区间是
(2) 实数m 的最大值为3，最小值为
【分析】(1) 根据三角恒等变换，化简得f(x)，再求其单调性即可；
(2) 确定f(x)∈ [1,2], 等式[ 可化为 利用对勾函数的性质即可求实数m的最大值和最小值.
【详解】(1) 原式: (2分)
令 解得 (3分)
又因为 可得函数的递增区间为 ，递减区间为
所以函数f(x)在[0,π/6]单调递增,在[ 单调递减.(5分)
(2) 因为
因为 则 (7分)
∴t=f(x)∈ [1,2],
等式 可化为 (8分)
上单调递减，在( ，2]上单调递增，由对勾函数的单调性可得，函数m在|
当t= 1时, 时, 时, m = 3,
故实数 m的最大值为3，最小值为2 .(10 分)
22. (1)奇函数, 证明见解析;
(2)答案见解析；
【分析】(1) 根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可；
(2) 利用奇函数和单调性求解不等式即可.
【详解】(1)
f(x)是奇函数;
证明：要使f(x)有意义，需满足 解得-17 又 , (3 分)
所以f(x)为奇函数;(4分)
(2) 由 得
由(1) 知f(x)为奇函数, 所以-
所以 (5分)
其中a ,解得0因为
令 则 在(-17,17)上单调递增, (7分)
当0令 即
而 所以 即0当1令 即
而 所以 即t < -1或t>4, 所以15 综上, 实数a的取值范围是(0,1)∪(15,17). (10分)