山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

高二年级考试
数学试题2024.01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，若，则（ ）
A．6 B．9 C． D．
3．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．直线倾斜角的范围为
C．当时，直线与直线垂直
D．直线过定点
10．已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则该曲线为双曲线
B．若该曲线是椭圆，则
C．若该曲线离心率为，则
D．若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率
11．如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若为的中点，则直线平面
C．异面直线与所成角的正弦值的范围是
D．直线与平面所成角的正弦的最大值为
12．已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则所有可能取值的集合为
C．若，则
D．若为正整数，则的前项和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知为等差数列的前项和，且满足，则_____________．
14．已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则_____________．
15．已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为_____________．
16．已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知递增等差数列满足，且成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）如图，在三棱柱中，平面为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（12分）已知动点到直线的距离比到点的距离大1，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为4．
（1）求曲线的方程；
（2）经过点的直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，若，求直线的方程．
20．（12分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照右图排列规律的数1，5，12，22，…，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）．
图1 图2
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求．
22．（12分）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断直线是否过定点 若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
高二年级考试
数学试题参考答案及评分标准2024.01
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C D B C B D
二、多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 BC AD ACD BCD
三、填空题：
13．26 4． 15． 16．4
四、解答题：
17．解：（1）设的公差为，
成等比数列
或
单调递增
（2）
．
18．解：（1）连接交于，连接
侧面为平行四边形
为的中点，
又为的中点
平面平面
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
设平面的法向量为，则即
取，则
到平面的距离
19．解：（1）由题意知，点到直线的距离等于
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线
曲线的方程为
椭圆的长轴长为焦点．
曲线的方程为
（2）由题意知，直线的斜率必存在，设为，则直线的方程为
由，整理得
设，则
由，整理得
设，则
解得
的方程为
20．解：（1）由题意可知
当时，
累加得
当时，满足上式．
当时，
，即
，
数列是首项为1，公比为的等比数列
（2）
①
②
①-②得
21．解：（1）分别为的中点，
．
平面
平面
平面
是二面角的平面角
．
为等边三角形
．
平面
平面
又平面
（2）设中点为，由（1）知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面的法向量为，则
即
取，则
设
设与平面所成的角为，则
解得或（舍）
22．解：（1）由题意可知：
解得
双曲线的方程为
（2）当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为
由
整理得
与左支交于两点
解得
设，则
直线的方程为
代入整理得
设，则
，
同理
直线的斜率
直线的方程为，即
直线过定点
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不妨设点在轴上方，则，直线的方程为
由，解得
同理
此时直线过点