第七章 二次根式 章末复习（含答案）

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第七章 二次根式
章末复习
考点1 三个概念
概念1 二次根式
1.下列式子中，一定是二次根式的是( )
2.式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )
概念2 最简二次根式
3. 在根式① +b ;②;③ -xy;④中，最简二次根式的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
概念3 同类二次根式
4.下列各式与 是同类二次根式的是( )
考点2 四个性质
性质
5.下列计算正确的是( )
6.化简 的结果为( )
A. -2 B.2 C.2a-4 D.4-2a
7.对于 在有理数范围内不能进行因式分解，但故 这就把 在实数范围内进行了因式分解. 按照这个思路， 在实数范围内因式分解的结果是______________.
性质
8.已知三角形的三条边长为 3，5，k，化简：
A.8 B. -8 C.2k-10
9.已知，那么化简代数式 的结果是( )
10.甲、乙两名同学做一道相同的题目.
化简求值： 其中
甲同学的解法：原式
乙同学的解法：原式
请问哪名同学的解法正确 请说明理由.
性质3 积的算术平方根的性质
11. 若 则化简 的结果是( )
12.能使得成立的所有整数a 的和是__________.
性质 4 商的算术平方根的性质
13.化简:
考点3 一个运算——二次根式的运算
14.下列计算正确的是( )
15.计算:
考点4 两个技巧
技巧1 利用倒数法比较大小
16.比较 与 的大小.
技巧2 整体代入求值
17.已知 分别求下列代数式的值：
18.已知 求 的值.
考点5 两个应用
应用1 利用二次根式解决几何问题
19.已知长方形的长为 a，宽为 b，且 请解决下列问题：
(1)求这个长方形的周长.
(2)若一个正方形的面积和这个长方形的面积相等，求这个正方形的边长.
应用2 利用二次根式解决实际问题
20.有一个矩形木板，木工采用如图方式，在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板，求剩余木板的面积.
考点6 两种思想
思想1 数形结合思想
21.已知实数a,b,c 在数轴上的对应点如图所示，化简
思想2 分类讨论思想
22.阅读下列解题过程：
若代数式 的值是2，求a的取值范围.
解:当a＜1时,原式 解得 (舍去);
当 时，原式 符合题意；
当 a＞3 时,原式 ,解得a=3(舍去).
综上，a的取值范围是
上述解题过程主要运用了分类讨论思想，请你根据上述方法，解答下列问题：
(1) 当 时, 化 简:
(2)若等式 成立，则a的取值范围是_____________.
(3)若 求a的值.
参考答案
1. A
2. C
3. C 【点拨】①是最简二次根式；②被开方数含分母，不是最简二次根式；③是最简二次根式；④被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式.
4. C 【点拨】 ∴ 与 是同类二次根式的是
5. A
6. D 【点拨】 有意义， 则
故
8. A
9. B 【点拨】
10.【解】甲同学的解法正确，理由如下：
且 即
乙同学在去绝对值符号时忽略了 与a的大小关系，导致错误.
11. C 【点拨】由题意可知 又∵,
12.5 【点拨】由题意,得 解得
又∵a是整数,∴a可以取-1,0,1,2,3.
∴ 它们的和是-1+0+1+2+3=5.
【点拨】 原式
14. D 【点拨】 故此选项不正确；与 不能合并，故此选项不正确； 故此选项不 正确； 故此选项正确.
15.【解】(1)原式
(2)原式
(3)原式
16.【解
又∵
【点拨】一般地,已知a>0,b>0,如果 那么;如果 那么
17.【解】 则
(2)由(1)知
18.【解】原式
∴原式=(6+1) ×(6+5) =77.
19.【解】(1)这个长方形的周长
(2)这个正方形的面积
∴这个正方形的边长为
20.【解】∵两个正方形木板的面积分别为 和
∴ 这两个正方形的边长分别为
∴剩余木板的面积为
21.【解】由题图可知(
∴原式
22.(1)3 (2)3≤a≤7
【点拨】当a <3 时, 解得 3(舍去);当3≤a≤7时,符合题意;当时, 解得a =7(舍去).
综上所述,a 的取值范围为3≤a≤7.
【解】当a< -1时, 解得 a = -2,符合题意;当时, 此方程无解，故 不符合题意；当 时, 解得 ，符合题意.
综上所述，a的值为 或6.
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