§9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
第1课时 总体取值规律的估计
[学习目标]
1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法.
2.掌握用频率分布直方图估计总体．
一、频率分布直方图
问题1 请阅读课本第193页到第194页，为了探索一组数据的取值规律，我们通常要怎样做？
问题2 如果要统计月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，采用什么表示更直观？
知识梳理
画频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中________与________的差．
(2)决定组距与组数：当样本量不超过100时，常分成________组，为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
(3)将数据分组．
(4)列频率分布表：一般分四列：分组、________________、频数、________.其中频数合计是样本容量，频率合计是________．
(5)画频率分布直方图：横轴表示数据，纵轴表示________．小长方形的面积＝组距×________＝________.各小长方形的面积和等于1.
例1 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩(单位：分)分组及各组的频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60,90)的学生比例．
反思感悟 在绘制出频率分布表以后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高．
跟踪训练1 为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示．
分组 频数 频率
[145.5,149.5) 1 0.02
[149.5,153.5) 4 0.08
[153.5,157.5) 20 0.40
[157.5,161.5) 15 0.30
[161.5,165.5) 8 0.16
[165.5,169.5] m n
合计 M N
(1)求出表中m，n，M，N的值；
(2)画出频率分布直方图；
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm及以上的频率．
二、频率分布直方图的应用
例2 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110(含110)以上为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约为多少？
反思感悟 频率分布直方图的性质
(1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
(2)＝样本容量．
(3)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
跟踪训练2 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
1．知识清单：
(1)频率分布直方图．
(2)频率分布直方图的应用．
2．方法归纳：图表识别、数据分析．
3．常见误区：频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清．
1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是( )
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
2．一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在[10,50)内的频率为( )
A．0.5 B．0.24 C．0.6 D．0.7
3．某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资(单位：百元)，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用比例分配的分层随机抽样方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则应从月工资在区间[30,35)内的工薪阶层中抽出________人．
4．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：千克)情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为________．
9．2.1 总体取值规律的估计
第1课时 总体取值规律的估计
问题1 一般先用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来．
问题2 频率分布表或频率分布直方图．
知识梳理
(1)最大值 最小值 (2)5～12
(4)频数累计 频率 1
(5) 频率
例1 解 (1)频率分布表如下．
成绩分组 频数累计 频数 频率
[40,50) 2 0.04
[50,60) 3 0.06
[60,70) 10 0.2
[70,80) 15 0.3
[80,90) 12 0.24
[90,100] 8 0.16
合计 50 1.00
(2)画出频率分布直方图，如图所示．
(3)学生成绩在[60,90)的频率为(0.2＋0.3＋0.24)×100%＝74%，所以估计成绩在[60,90)的学生比例为74%.
跟踪训练1 解 (1)方法一
N＝1.00，n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，＝，
解得m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
方法二 M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1.00，
n＝＝＝0.04.
(2)画出频率分布直方图，如图所示．
(3)由频率分布直方图可知，样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，且身高在161.5 cm及以上的频率为0.16＋0.04＝0.20，由此可估计全体女生中身高在[153.5，157.5)范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5 cm及以上的频率约为0.20.
例2 解 (1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小，
第二小组的频率为
＝0.08.
因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由频率分布直方图可知该校高一年级全体学生的达标率约为×100%＝88%.
跟踪训练2 解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为
1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率约为0.4.
(2)根据题意可知样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
样本中分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
所以估计总体中分数在区间[40,50)内的人数约为400×＝20.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，
所以样本中的男生人数为
30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以估计总体中男生和女生人数的比例约为3∶2.
随堂演练
1．C 2.D 3.15 4.48第2课时 统计图表的识别
[学习目标]
1.在问题情境中会用不同的统计图分析样本数据.
2.能从统计图表中获取有价值的信息，估计总体的分布规律．
一、几种不同的统计图
问题 观察以下四种统计图，你能说出其各自的优点吗？
(1)条形图(如图)．
(2)扇形图(如图)．
(3)折线图(如图)．
(4)直方图(如图)．
例1 (多选)四种统计图：①条形图；②扇形图；③折线图；④直方图．四个特点：(a)易于比较数据之间的差异；(b)易于显示各组之间的频数的差别；(c)易于显示数据的变化趋势；(d)易于显示每组数据相对于总数所占的比例．下列统计图与特点选配方案正确的是( )
A．①与(a) B．②与(c)
C．③与(d) D．④与(b)
反思感悟 (1)不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如：扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．
(2)不同的统计图适用的数据类型也不同．例如，条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续型数据等．
跟踪训练1 某中学高一(2)班甲、乙两名同学自高中以来每次数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95,75,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
为了了解这两名同学数学考试成绩的变化情况，下列使用的统计图最方便的是( )
A．频率分布直方图 B．条形图
C．扇形图 D．折线图
二、利用各种统计图表对数据进行分析
例2 (1)某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了如下两张不完整的统计图．
①本次被调查的学生有多少名？
②补全上面的条形统计图(图①)，并计算出喜好菠萝味牛奶的学生人数在扇形统计图(图②)中所占圆心角的度数；
③该校共有1 200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少盒？
(2)如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图和条形统计图．
反思感悟 (1)条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率．
(2)扇形图是用整个圆的面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数．
(3)在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义．
跟踪训练2 (1)(多选)某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图，则以下说法正确的是( )
A．54周岁以上的参保人数最少
B．18～29周岁人群参保的总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D．30周岁及以上的参保人数约占总参保人数的20%
(2)(多选)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”．如图是某市2023年空气质量指数(AQI)的月折线图．下列关于该市2023年空气质量的叙述中，说法正确的是( )
A．全年平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良
B．每月都至少有一天空气质量为优
C．2月、8月、9月和12月均出现污染天气
D．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份
1．知识清单：
(1)常见统计图表的特点．
(2)利用各种统计图表对数据进行分析．
2．方法归纳：图表识别、数据分析．
3．常见误区：对表格中数据代表的意义理解不清．
1．把过期的药品随意丢弃，会对土壤和水体造成污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图所示，其中对过期药品处理不正确的家庭有( )
A．79% B．80% C．18% D．82%
2．统计某商城一年中各月份的收入、支出(单位：万元)情况，并制作折线图所图所示，则下列说法正确的是( )
A．利润最高的月份是2月份
B．7月份至9月份的月平均支出为50万元
C．支出的最高值与支出的最低值的比是3∶1
D．2月份至3月份的收入的变化量与11月份至12月份的收入的变化量相同
3．小张刚参加工作时，月工资为5 000元，各种用途占比统计如图(1)所示的条形图．后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图(2)所示的折线图，已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为( )
A．5 500 B．6 000
C．6 500 D．7 000
4．小吴一星期的总开支(单位：元)分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
A．1% B．2% C．3% D．5%
第2课时 统计图表的识别
问题 条形图能直观显示每组中的具体数据；
扇形图能直观显示各部分所占总体的百分比；
折线图能直观显示数据的变化趋势；
直方图能直观显示数据的分布情况．
例1 AD 跟踪训练1 D
例2 (1)解 ①根据喜好核桃味牛奶的学生数，得本次被调查的学生人数(样本容量)为10÷5%＝200.
②喜好香橙味牛奶的学生人数是200－38－62－50－10＝40，补全条形图，如图所示，
喜好菠萝味牛奶的学生人数为50，
在扇形统计图中所占圆心角的度数为×360°＝90°.
③草莓味要比原味的多
×(62－38)＝144(盒)．
(2)解 该市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如表所示：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低气温(℃) －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2
其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%；最低气温为－2 ℃的有1天，占10%；最低气温为－1 ℃的有2天，占20%；最低气温为0 ℃的有2天，占20%；最低气温为1 ℃的有1天，占10%；最低气温为2 ℃的有3天，占30%.故绘制的扇形统计图如图所示．
条形统计图如图所示．
跟踪训练2 (1)AC (2)ABC
随堂演练
1．D 2.D 3.A 4.C
