第九章 9.2.2 总体百分位数的估计 学案（含答案）

9.2.2　总体百分位数的估计
[学习目标]　
1.结合实例，能用样本估计百分位数.
2.理解百分位数的统计含义．
一、百分位数的定义
问题1　请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量标准转化为数学问题具体指什么？
问题2　你能制定一下具体方案吗？
知识梳理　
1．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据________________这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按________________排列原始数据．
第2步，计算i＝________.
第3步，若________不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的____________．
3．一组数据常用的分位数：
(1)中位数相当于是第________百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．
(2)第25,50,75百分位数，这三个分位数把一组________________排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
(3)第25百分位数也称为________四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为________四分位数或上四分位数等．
例1　下列表述不正确的是(　　)
A．50%分位数就是总体的中位数
B．第p百分位数可以有单位
C．一个总体的四分位数有4个
D．样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
反思感悟　分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息．
跟踪训练1　15%分位数的含义是(　　)
A．总体中任何一个数小于它的可能性是15%
B．总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%
C．总体中任何一个数大于它的可能性是15%
D．总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15%
二、由原始数据求百分位数
例2　(1)已知一组数据从小到大排列为0,4,5,6,8,10,12,15，则这组数据的45%分位数、75%分位数分别是(　　)
A．5.5,10 B．5.5,12 C．6,11 D．6,10
(2)若下表是某校校级联欢晚会比赛中12个班级的得分情况，则得分的第30百分位数是(　　)
班级得分 7 8 9 10 11 13 14
频数 2 1 2 3 1 2 1
A.11 B．10.5 C．9.5 D．9
反思感悟　计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)排列：按从小到大排列原始数据；
(2)算i：计算i＝n×p%；
(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
跟踪训练2　已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37，m,40,50；乙组：24，n,33,44,48,52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则等于(　　)
A. B. C. D.
三、统计图表中的百分位数
例3　我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86%的居民生活用水不超过这个标准．在本市居民中随机抽取了100户家庭，统计其某年的月均用水量(单位：吨)，通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a，m的值；
(2)如果我们称m为这组数据的86%分位数，那么这组数据的50%分位数是多少？
延伸探究　根据例3中的频率分布直方图计算月均用水量的15%分位数．
反思感悟　由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2)可采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
跟踪训练3　某班60名学生期中考试物理成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则该成绩的第70百分位数约为(　　)
A．73.6 B．75.5 C．76.2 D．78.3
1．知识清单：
(1)百分位数的定义．
(2)由样本数据求百分位数．
(3)由频数(频率)分布表及频率分布直方图求百分位数．
2．方法归纳：数据分析、数形结合．
3．常见误区：求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列．
1．(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)
A．这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
2．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是(　　)
A．14 B．17
C．19 D．23
3．下表记录了某地区某个月连续8天的空气质量指数(AQI)．
时间 1 2 3 4 5 6 7 8
空气质量指数(AQI) 20 28 24 33 31 35 36 38
则这组空气质量指数的25%分位数为(　　)
A．24 B．26
C．28 D．31
4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．
9．2.2　总体百分位数的估计
问题1　寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.
问题2　把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现，区间(13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．一般地，我们取这两个数的平均数＝13.7.
知识梳理
1．p%　小于或等于
2．从小到大　n×p%　i　平均数
3．(1)50　(2)由小到大　(3)第一
第三
例1　C　跟踪训练1　B
例2　(1)C　(2)D
跟踪训练2　A
例3　解　(1)由频率分布直方图得
(0.16＋0.30＋0.40＋0.50＋0.30＋0.16＋a＋a＋a)×0.5＝1，
解得a＝0.06.
由频率分布直方图得月均用水量在[0,3)内的频率为1－(0.16＋0.06＋0.06)×0.5＝0.86.
∵计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86%的居民生活用水不超过这个标准．
∴m≈3.
(2)由频率分布直方图知，数据在[0,2)内的频率为(0.06＋0.16＋0.30＋0.40)×0.5＝0.46，在[2,2.5)内的频率为0.50×0.5＝0.25，
∴这组数据的50%分位数是
2＋×0.5＝2.08(吨)．
延伸探究　解　由例3的频率分布直方图可知，月均用水量在[0,1)内的频率为(0.06＋0.16)×0.5＝0.11，
在[1,1.5)内的频率为
0．30×0.5＝0.15.
∴月均用水量的15%分位数约为1＋×0.5≈1.133(吨)．
跟踪训练3　D　[由题意可求得a＝0.005，则[50,70)对应的频率为0.005×10＋0.04×10＝0.45，[70,80)对应的频率为0.03×10＝0.3，0.3＋0.45＝0.75>0.7，所以第70百分位数在[70,80)之间，即第70百分位数为70＋×10≈78.3.]
随堂演练
1．AC　2.D　3.B　4.