第九章 9.2.3 总体集中趋势的估计 学案（含答案）

9.2.3　总体集中趋势的估计
[学习目标]　
1.会求样本数据的众数、中位数、平均数.
2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势．
一、众数、中位数、平均数
知识梳理　
1．众数：一组数据中出现________最多的数．
2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在________位置的数(或中间两个数的____________)叫做这组数据的中位数．
3．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝______________叫做这n个数的平均数．
例1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求出这17名运动员的成绩的众数、中位数与平均数．
反思感悟　平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数．
跟踪训练1　某工厂10名工人某天生产同一类型的零件，生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.记这组数据的中位数为a，平均数为b，众数为c，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
二、总体集中趋势的估计
问题1　我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．从下面的三幅图中，你能发现平均数和中位数的大小存在什么关系吗？
问题2　什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描述？什么样的问题可以用众数描述？
例2　某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：
甲　7.5　7.5　7.8　7.8　8.0　8.0　8.2　8.3　8.4　9.9
乙　7.5　7.8　7.8　7.8　8.0　8.0　8.3　8.3　8.5　8.5
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数，那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？
反思感悟　众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大或较小时，可用中位数描述其集中趋势．
跟踪训练2　学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(　　)
A．8,9 B．8,8.5
C．16,8.5 D．16,14
三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
例3　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分．
反思感悟　利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法
(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中．中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数)．平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和．
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数．
跟踪训练3　根据如图所示的频率分布直方图求出样本数据的众数、中位数和平均数．
1．知识清单：
(1)中位数、众数、平均数的计算．
(2)总体集中趋势的估计．
(3)频率分布直方图中的中位数、众数、平均数．
2．方法归纳：数据分析统计．
3．常见误区：求中位数时，需要先把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再找中间位置的数或中间两数的平均数．
1．在一次体育测试中，某班6名同学的成绩(单位：分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据，下列说法错误的是(　　)
A．众数是83 B．中位数是83
C．极差是30 D．平均数是83
2．(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是(　　)
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
3．已知一组数据0,2，x,4,5的众数是4，那么这组数据的平均数是________．
4．某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是________分．
9．2.3　总体集中趋势的估计
知识梳理
1．次数　
2．中间　平均数
3.(x1＋x2＋…＋xn)
例1　解　在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是＝×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝≈1.69.
故这17名运动员的成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
跟踪训练1　C
问题1　一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(如图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(如图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(如图(3))，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．
问题2　一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．
例2　解　甲选手的最后得分为×(7.5＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.2＋8.3＋8.4)＝8.
乙选手的最后得分为×(7.8＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.3＋8.3＋8.5)＝8.062 5.
若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，
则甲选手的得分为×(7.5＋7.5＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.2＋8.3＋8.4＋9.9)＝8.14，
乙选手的得分为×(7.5＋7.8＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.3＋8.3＋8.5＋8.5)＝8.05.
去掉最高分与最低分时，甲的得分低于乙的得分，即乙的排名靠前；若直接用10位评委评分的平均数作为得分，则甲的得分高于乙的得分，即甲的排名靠前．两种评分下，甲、乙两位选手的排名变化大，去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数作为选手的最后得分更好，这是因为平均数对样本数据的极端值比较“敏感”．
跟踪训练2　A
例3　解　(1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数m＝75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，
前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，
所以中位数n＝70＋
≈73.3.
(2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估计这次考试的物理成绩的平均分是71分．
跟踪训练3　解　在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的估计值，得众数约为125.5.中位数左边和右边的直方图的面积相等，设中位数为x，则由图可知x∈[124.5,126.5)，则(x－124.5)×0.2＋2×0.075＋2×0.05＝0.5，解得x＝125.75，即中位数约为125.75.使用组中值求平均数，则＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，即平均数约为125.8.
随堂演练
1．D　2.ABC　3.3　4.68