山东省济宁市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案）

济宁市2023-2024学年高二上学期期末质量检测
数学试题2024.02
本试卷共4页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知数列为等差数列，且，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．圆与圆的公共弦的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱柱中，，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则r＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若椭圆：的左、右焦点分别为，，P为C上的任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线l：，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线l恒过点 B．若直线l的倾斜角为，则
C．原点到直线l距离的最大值为 D．若直线l不经过第四象限，则
10．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则 B．若，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
11．已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．是递增数列 B．时，n的最大值为13
C．数列中的最大项为 D．时，n的最大值为27
12．如图所示，在棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点到平面BDE的距离为
B．异面直线与BE所成角的余弦值为
C．三棱锥的外接球的表面积为11π
D．若点M在底面ABCD内运动，且点M到直线的距离为，则点M的轨迹为一个椭圆的一部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列的前n项和为，且，，则______．
14．若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则______．
15．如图，二面角α－l－β的大小为60°，其棱l上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝3，AC＝2，BD＝2，则C，D两点间的距离为______．
16．已知双曲线(，)的左焦点为F，过点F的直线l与圆相切于点N，与C的右支交于点P，若，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)已知圆M过点，，．
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过原点的直线l交圆M于E，F两点，且，求直线l的方程．
18．(12分)一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．
(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
19．(12分)已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值．
20．(12分)已知数列的前n项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
21．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是菱形，且，，．
(1)求证：平面ACF；
(2)在线段AE上是否存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为．若存在，请说明点M的位置；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知椭圆C：()的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，且．
(1)求C的标准方程；
(2)不过原点O的直线l：与C交于不同的两点A，B，在OA的延长线上取一点D使得OA＝AD，连接BD交C于点E(点E在线段BD上且不与端点重合)，若，试求直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值．
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数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．AC 10．ACD 11．BC 12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．121 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．解：(1)因为AB的中点为，AB的斜率为1，
所以AB的垂直平分线为，即．
又BC的垂直平分线为y＝0，
联立得，所以圆心M的坐标为．
所以圆的半径为，所以圆M的标准方程为．
(2)显然直线l的斜率存在，设其方程为．
设圆心到直线l的距离为d，则，
则，解得，
所以直线l的方程为，即．
18．解：(1)把4个红球标记为A，B，C，D，2个蓝球标记为1，2．
从箱子中随机抽取两球的样本空间为
，
共有15个样本点，
设事件E＝“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，
则事件，包含7个样本点，
∴．
(2)设事件F＝“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，
事件M＝“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，
事件N＝“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，
则，且M与N互斥．
所以，，
则．
19．解：(1)由题意知，点M到准线的距离为3，
所以，解得p＝2．
故C的方程为．
(2)设，，由得．
所以，．
由；得(*)．
因为，所以，
即，解得或0．
又直线l不过原点O，所以．
又满足(*)式，所以．
20．解：(1)因为，①
当n＝1时，，所以．
当n≥2时，，②
由①－②得，即，
所以，又，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，故．
(2)因为，所以，
解得，所以．
所以，
，
两式相减得．
．
所以．
21．(1)证明：取AD的中点O，连接OE，OB，
∵为等边三角形，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面ADE，
∴平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，且，∴，
故以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
∴，∴，，
∴，即，
又，平面ACF，平面ACF，，
∴平面ACF．
(2)假设存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为，
设，，则，
所以，，．即，
∴，，
设平面MBC的法向量为，
则即，∴，
令，得，
又平面MAD的法向量为，
∴，解得或(舍去)，
所以，存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为，
点M为线段AE的中点．
22．解：(1)由可得，
又因为离心率，所以，
又，联立解得，，
所以椭圆C的标准方程为
(2)设，，
联立可得，
则(*)
，
所以，
因为点A为OD中点，所以，
由，可得点E为BD中点，
所以点E的坐标为，
将点E代入椭圆，可得，
化简得，
又，
代入上式可得，，即．
把，，代入得，且满足(*)式．
则直线l与坐标轴所围成三角形面积为
，
当且仅当即时取等号．
所以直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值为．