第十章 10.1.1 有限样本空间与随机事件 学案（含答案）

第十章　概　率
§10.1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件
[学习目标]　
1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.
2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义．
一、有限样本空间
问题1　体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？
知识梳理　
1．我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；(重复性)
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(可预测性)
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．(随机性)
2．样本点、样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的____________称为样本点 用______表示
样本空间 ________样本点的集合称为试验E的样本空间 用______表示
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为________________ Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
例1　写出下列试验的样本空间：
(1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况．
跟踪训练1　写出下列试验的样本空间：
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
(2)从一批产品(正品和次品均大于3件)中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况．
二、随机事件、必然事件、不可能事件
问题2　有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．设事件A＝“转出的数字是5”，事件B＝“转出的数字是0”，事件C＝“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？
问题3　假设猜数方案为“是奇数”或“是偶数”，乙猜“是奇数”，若将乙获胜记为事件M，则M中包含哪些样本点？
知识梳理　
随机事件 我们将样本空间Ω的________称为________，简称事件，并把只包含________样本点的事件称为______，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为________
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为________
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为__________
例2　试验E：甲、乙两人玩猜拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲、乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
反思感悟　对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求．
跟踪训练2　如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.
三、随机事件的含义
例3　在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}．
反思感悟　解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
跟踪训练3　柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
1．知识清单：
(1)随机试验．
(2)样本空间．
(3)随机事件、必然事件与不可能事件．
2．方法归纳：列举法、列表法、树状图法．
3．常见误区：在列举样本点时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏．
1．将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．不能判定
2．已知集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为(　　)
A．8 B．9 C．12 D．11
3．抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝_____________________.
4．用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是____________________________．
§10.1　随机事件与概率
10．1.1　有限样本空间与随机事件
问题1　10个可能结果；可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
知识梳理
2．每个可能的基本结果　ω　全体
Ω　有限样本空间
例1　解　(1)该试验的样本空间
Ω1＝{3,4,5，…，18}．
(2)该试验所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间
Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
(3)如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色这三种颜色，则此试验的样本空间Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}．
跟踪训练1　解　(1)如图，
设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，
所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}．
(2)设正品为H，次品为T，
则样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}．
问题2　“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件；“转出的数字是0”，即B＝{0}，不是样本空间Ω＝{1,2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件；C＝Ω＝{1,2，…，10}，故事件C是必然事件．
问题3　M＝{1,3,5,7,9}．
知识梳理
子集　随机事件　一个　基本事件　事件A发生　必然事件　不可能事件
例2　解　设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)(i，j＝w1，w2，w3)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间Ω＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因为事件A表示随机事件“甲、乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个，分别为(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}；
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个，分别为(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}；
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
所以事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．
跟踪训练2　解　M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}．
例3　解　(1)事件A所含的样本点中的第二个数均为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
(3)事件C所含的样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之差的绝对值为2.
跟踪训练3　解　(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．
随堂演练
1．C　2.D
3．{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)}
4．甲、乙两个小球所涂颜色相同